1．1.3集合的基本運算第1課時并集與交集[學習目標]1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.2.能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.3.能夠利用交集、并集的性質解決有關問題．[知識鏈接]下列說法中，不正確的有________：①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素組成的新集合為{1,2,3,3,4,5}；②集合A＝{5,6,8}，集合B＝{5,7,8}，由集合A和集合B的所有元素組成的新集合為{5,6,7,8}；③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素組成的集合為{3}．答案①[預習導引]1．并集和交集的概念及其表示類別概念自然語言符號語言圖形語言并集由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}2.并集與交集的運算性質并集的運算性質交集的運算性質A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?A?B?A∪B＝BA?B?A∩B＝A解決學生疑難點要點一集合并集的簡單運算例1(1)設集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}答案(1)A(2)C解析(1)由定義知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)在數軸上表示兩個集合，如圖．規律方法解決此類問題首先應看清集合中元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數集，可以根據并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結果；若是用描述法表示的數集，可借助數軸分析寫出結果，此時要注意當端點不在集合中時，應用“空心點”表示．跟蹤演練1(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，則集合A∪B是()A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，則M∪N＝________.答案(1)C(2){x|x＜－5，或x＞－3}解析(1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．(2)將－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在數軸上表示出來．則M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．要點二集合交集的簡單運算例2(1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，則A∩B等于()A．{2}B．{4}C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4}(2)設集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}答案(1)D(2)A解析(1)觀察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．(2)在數軸上表示出集合A與B，如下圖．則由交集的定義可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．規律方法求交集就是求兩集合的所有公共元素組成的集合，和求并集的解決方法類似．跟蹤演練2已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}，求A∩B，A∪B.解∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}，把集合A與B表示在數軸上，如圖．∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}＝{x|－1＜x≤0，或eq\f(5,2)≤x≤3}；A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥eq\f(5,2)}＝R.要點三已知集合交集、并集求參數例3已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求實數a解由A∩B＝?，(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a(2)若A≠?，如下圖：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\f(1,2)≤a≤2.綜上所述，a的取值范圍是{a|－eq\f(1,2)≤a≤2，或a＞3}．規律方法1.與不等式有關的集合的運算，利用數軸分析法直觀清晰，易于理解．若出現參數應注意分類討論，最后要歸納總結．2．建立不等式時，要特別注意端點值是否能取到，分類的標準取決于已知集合，最好是把端點值代入題目驗證．跟蹤演練3設集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范圍．解如下圖所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，則集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}答案A解析集合A有4個元素，集合B有3個元素，它們都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5個元素．故選A.2．設A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，則如圖中陰影部分表示的集合為()A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}答案A解析注意到集合A中的元素為自然數，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此陰影部分顯然表示的是A∩B＝{2}．3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，則P∩M等于()A．{1,2}B．{0,1,2}C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}答案B解析由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}．4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}，則()A．A∩B＝?B．A∪B＝RC．B?AD．A?B答案B解析∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}，∴A∩B＝{x|－eq\r(5)＜x＜0，或2＜x＜eq\r(5)}，A∪B＝R.故選B.5．設集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，則實數k的取值范圍為________．答案k≤6解析因為N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－eq\f(k,2)}，且M∩N≠?，所以－eq\f(k,2)≥－3?k≤6.1.對并集、交集概念的理解(1)對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區別，它們是“相容”的．“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分，特別地，當集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.2．集合的交、并運算中的注意事項(1)對于元素個數有限的集合，可直接根據集合的“交”、“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．(2)對于元素個數無限的集合，進行交、并運算時，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意端點值能否取到．一、基礎達標1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，則A∪B等于()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案A解析結合數軸得A∪B＝{x|x≥－1}．2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，則M∩N等于()A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}答案A解析集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，則M∩N＝{0,1,2}，故選A.3．設集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N等于()A．{0}B．{0,2}C．{－2.0}D．{－2,0,2}答案D解析集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，選D.4．設集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，則M∩N等于()A．{x|1≤x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|2＜x≤3}D．{x|2≤x≤3}答案A解析∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．5．設A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，則實數t的取值范圍是()A．t＜－3B．t≤－3C．t＞3D．t≥3答案A解析B＝{y|y≤t}，結合數軸可知t＜－3.6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，滿足A∩B＝{2}，則實數a＝________.答案2解析∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，滿足B∪C＝C，求實數a的取值范圍．解(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．(2)∵C＝{x|x＞－eq\f(a,2)}，B∪C＝C?B?C，∴－eq\f(a,2)<2，∴a＞－4.二、能力提升8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為()A．0B．1C．2D．4答案D解析∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝AA．－3≤m≤4B．－3＜m＜4C．2＜m＜4D．2＜m≤4答案D解析∵A∪B＝A，∴B?A.又B≠?，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))即2＜m≤4.10．設集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，則a＝________，b＝________.答案－12解析∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，∴A(B∪C)．∴A∩(B∪C)＝A，由題意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．∴a＝－1，b＝2.11．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．(1)若A∩B≠A，求實數a的取值范圍；(2)若A∩B≠?，且A∩B≠A，求實數a的取值范圍．解(1)如圖可得，在數軸上實數a在－2的右邊，可得a≥－2；(2)由于A∩B≠?，且A∩B≠A，所以在數軸上，實數a在－2的右邊且在4的左邊，可得－2≤a＜4.三、探究與創新12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求實數a解∵A∪B＝A，∴B?A.若B＝?時，2a＞a＋3，即a若B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－2，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－1≤a≤2，綜上所述，a的取值范圍是{a|－1≤a≤2，或a＞3}．13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分別根據下列條件求實數(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B)．解(1)若A＝?，則A∩B＝?成立．此時2a＋1＞3即a＜6.若A≠?，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1≥－1，,3a－5≤16，))解得6≤a≤7.綜上，滿足條件A∩B＝?的實數a的取值范圍是{a|a≤7}．(2)因為A?(A∩B)，且(A∩B)?A，所以A∩B＝A，即A?B.顯然A＝?滿足條件，此時a＜6.若A≠?，如圖所示，則