小學六年級下冊數學奧數知識點講解第7課《整數的分拆》試題附答案

第七講整數的分拆

整數分拆是數論中一個既古老又活躍的問題.把自然數n分成為不計順序的

若干個自然數之和

n=nl+n2+…+nm（nl）n2》nm》l）的一種表示法，叫做n的一種分拆.

對被加項及項數疝口以一些限制條件，就得到某種特殊類型的分拆.早在中世

紀，就有關于特殊的整數分拆問題的研究.1742年德國的哥德巴赫提出“每個

不小于6的偶數都可以寫成兩個奇質數的和“，這就是著名的哥德巴赫猜想，

中國數學家陳景潤在研究中取得了突出的成果.下面我們通過一些例題，簡單

介紹有關整數分拆的基本知識.

一、整數分拆中的計數問題

例1有多少種方法可以把6表示為若干個自然數之和？

例2有多少種方法可以把1994表示為兩個自然數之和?

例3有多少種方法可以把100表示為（有颯序的）3個自然數之和？（例

如，把3+5+92與5+3+92看作為100的不同的表示法）

例4用1分、2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？（第

二屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽決賽第二試第4題）

例5試把14分拆為兩個自然數之和，使它們的乘積最大.

例6試把14分拆為3個自然數之和，使它們的乘積最大.

答案

第七講整數的分拆

整數分拆是數論中一個既古老又活躍的問題.把自然數n分成為不計順序的

若干個自然數之和

n=nl+n2+…+nm(nl)n2》nm>l)的一種表不法，叫做n的一種分拆.

對被加項及項數加口以一些限制條件，就得到某種特殊類型的分拆.早在中世

紀，就有關于特殊的整數分拆問題的研究.1742年德國的哥德巴赫提出“每個

不小于6的偶數都可以寫成兩個奇質數的和”，這就是著名的哥德巴赫猜想，

中國數學家陳景潤在研究中取得了突出的成果.下面我們通過一些例題，簡單

介紹有關整數分拆的基本知識.

一、整數分拆中的計數問題

例1有多少種方法可以把6表示為若干個自然數之和？

解：根據分拆的項數分別討論如下：

①把6分拆成一個自然數之和只有1種方式；

②把6分拆成兩個自然數之和有3種方式

6=54-1=4+2=3+3；

③把6分拆成3個自然數之和有3種方式

6=44-1+1=3+2+1=2+2+2；

④把6分拆成4個自然數之和有2種方式

6=3+1+1+1=2+24-1+1；

⑤把6分拆成5個自然數之和只有1種方式

6=2+1+1+1+1；

⑥把6分拆成6個自然數之和只有1種方式

6=1+1+1+1+14-1.因此，把6分拆成若干個自然數之和共有

1+3+3+2+1+1=11種不同的方法.

說明：本例是不加限制條件的分拆，稱為無限制分拆，它是一類重要的分

拆.

例2有多少種方法可以把1994表示為兩個自然數之和？

解法L采用有限窮舉法并考慮到加法交換律：

1994=1993+1=1+1993

=1992+2=2+1992

=998+996=996+998

=997+997

因此，一共有997種方法可以把1994寫成兩個自然數之和.

解法2：構造加法算式：

1994=1+1+1+-+1+1

Iy，

1994個1相加

于是，只須考慮從上式右邊的1993個加號“+”中每次確定一個，并把其

前、后的1分別相加，就可以得到一種分拆方法；再考慮到加法交換律，因此

共有997種不同的分拆方式.

說明：應用本例的解法，可以得到一般性結論：把自然數n》2表示為兩個

自然數之和，一共有k種不同的方式，其中

y（n是偶數）

k=<,

彳2（n是奇數）.

例3有多少種方法可以把100表示為（有HI更序的）3個自然數之和？（例

如，把3+5+92與5+3+92看作為100的不同的表示法）

分析本題仍可運用例1的解法2中的處理辦法.

解：構造加法算式

100=1+14-1+-+1+1

100個1相加

于是，考慮從上式右邊的99個加號“+”中每次選定兩個，并把它們所隔

開的前、中、后三段的1分別相加，就可以得到一種分拆方法.因此，把100表

示為3個自然數之和有99X98Xg=4851種不同的方式.

說明：本例可以推廣為一般性結論：“把自然數n33表示為（有順序

的）3個自然數之和.共有g（n-1）（n-2）種不同的方式“（第一屆莫斯科

奧林匹克數學競賽第10題）.

例4用1分、2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？（第

二屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽決賽第二試第4題）

分析用1分、2分和5分硬幣湊成一元錢與用2分和5分硬幣湊成不超過一元

錢的湊法數是一樣的.于是，本題轉化為：“有2分硬幣50個，5分硬幣20個，

湊成不超過一元錢的不同湊法有多少種？

解：按5分硬幣的個數分21類計數；

假若5分硬幣有20個，顯然只有一種湊法；

假若5分硬幣有19個，則2分硬幣的幣值不超過100-5X19=5（分），于是2

分硬幣可取0個、1個、或2個，即有3種不同的湊法；

假若5分硬幣有18個，則2分硬幣的幣值不超過100-5X18=10（分），于是

2分硬幣可取。個、1個、2個、3個、4個、或5個，即有6種不同的湊法；

…如此繼續下去，可以得到不同的湊法共有：

1+3+6+8+11+13+16+18+21+…+48+51

=5X（1+3+6+8）+4X（10+20+30+40）+51

=90+400+51

=541(種).

說明：本例實際上是求三元一次不定方程x+2片5z=l00的非負整數解的組

數.

上述例2、例3、例4都是有限制條件的特殊的整數分拆問題.

二、整數分拆中的最值問題

在國內外的數學競賽試題中經常出現與整數分拆有關的最大值或最小值的

問題.

例5試把14分拆為兩個自然數之和，使它們的乘積最大.

解：由例2可知，把14分拆成兩個自然數之和，共有7種不同的方式.對每

一種分拆計算相應的乘積：

14=1+13,1X13=13；

14=2+12,2X12=24；

14=3+11,3X11=33；

14=4+10,4X10=40；

14=5+9,5X9=45；

14=6+8,6X8=48；

14=7+7,7X7=49.

因此，當把14分拆為兩個7之和的時候，乘積(7X7=49)最大.

說明：本例可以推廣為一般性結論：“把自然數n>2分拆為兩個自然數a

與b(a>b)之和，使其積aXb取最大值的條件是a=b或a-b=l(a>b)”.事實

上,截設a-b=l+m(箕中遙一個白然數)，顯然n=a+b=(a-1)+(b+1),

而有(a-1)X(b+1)=aXb+a-b-1=aXb+m〉aXb.

換句話說，假設n=a+b且a-b〉l,那么乘積aXb不是最大的.這樣，

若n是偶數，貝IJa=b=g時，乘積有最大值aXb=，；若n是奇數，則

a=^，b=展時，乘積有最大值aXb=一

例6試把14分拆為3個自然數之和，使它們的乘積最大.

分析由例5的說明可知，假設n=a+b+c(a》b》c)且a-c〉l時，乘積a

XbXc未是最大的.換句括說，若n=a+b+c(a3b>c),當a、b、c中的任意

兩數相等或差為1時，乘積aXbXc取最大值.

解：因為14=3X4+2,由分析可知：當a=b=5且c=4時，乘積aXbXc=5X5

X4=100為最大值.

說明：本題可以推廣為一般結論：把自然數n>3分拆為3個自然數a、

b,c(a)b》c)之和，若n=3q(q是自然數)，貝Ua=b=c=5時乘積

aXbXc有最大值多；若n=3q+l(q是自n+2n-1然數)，則a=「；之,

n-1,1

b=c=-j—時乘積aXbXc有最大值號(n+2)(n-1)(n-1)；若門=

3q+2(q是自然數)，則a=b=n+ln-2時乘積aXbXc有最大值，(n

+1)(n+1)(n-2).

下面我們再研究一個難度更大的拆數問題.

問題：給定一個自然數N,把它拆成若干個自然數的和，使它們的積最大.

這個問題與前面研究的兩個拆數問題的不同點是：問題中沒有規定把晰

成幾個自然數的和.這也正是這題的難點，使分拆的種類要增加許多.我們仍舊

走實驗-觀察-歸納結論這條路.先選擇較小的自然數5開始實驗.并把數據列表

以便比較.

實驗表1：

自然數5

拆分的數(1,1,1,1,1)a,Lb2)(1,1,3)(1,2,2)(1,4)(2,3)

拆分數的積123446

結果：5拆成2+3時，其積6最大.

你注意到了嗎？我們的實驗結果是按把5拆分數的個數多少，由多到少的

次序進行的.再注意，當被拆數n〉3時（這里n=5）,為了使拆分數的乘積最

大，拆分數中不能有1.因為當n〉3,n=l+（n-1）=2+（n-2）,且2X大-2）

>1X（n-l）.

實驗表2：

自然數6

拆分的數(2,2,2)(3,3)(4,2)

拆分數的積898

結果：6拆分成3+3時，其積9最大.

實驗表3:

自然數7

拆分的數(2,2,3)(3,4)⑸2)

拆分數的積121210

結果：7拆分成2+2+3時.其積12最大.

注意，分拆數中有4時，總可把4再分拆成2與2之和而不改變分拆的乘積.

實驗結果4：8拆分成2+3+3時，其積最大.

實驗結果5：9拆分成3+3+3時，其積最大.

實驗結果6：10拆分成3+3+2+2時，其積最大.

觀察分析實驗結果，要使拆分數的乘積最大，拆分數都由2與3組成，其形

式有三瓶

①自然數=（若干個3的和）；

②自然數;（若干個3的和）+2；

③自然數二（若干個3的和）+2+2.

因此，我們得到結論：把一個自然數廝分成若干個自然數的和，只有當

這些分拆數由2或3組成，其中2最多為2個時，這些分拆數的乘積最大.（因為

2+2+2=3+3,2X2X2C3X3,所以分拆數中2的個數不能多于2個.）

例分別拆分1993、1994、2001三個數，使分拆后的積最大.

解：?「1993=664X3+1.

「.199盼拆成3+3+…+3+2+2時，其積最大.

\___________________________>

663個3

V1994=664X3+2

??.1994分拆成（664個3的和）+2時，其積最大.

...2001=667X3「.2001分拆成（667個3的和）時，其積最大.

我們以上采用的“實驗-觀察-歸納總結”方法，在數學上叫做不完全歸納

法.我國著名數學家華羅庚講過：難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公

式之前怎么去找出公式.不完全歸納法正是人們尋找公式的重要方法之一.但是

這種方法得出的結論有時會不正確，所以所得結論還需要嚴格證明.這一步工

作要等到學習了中學的課程才能進行.

習題七

1.兩個十位數1111111111和9999999999的乘積中有幾個數字是奇數？

2.計算：

987X655-321

666+987X654

3.計算：9999X2222+3333X3334.

4.在周長為18,邊長為整數的長方形中，面積最大的長方形的長和寬各是

多少？

5.用6米長的籬笆材料在圍墻角修建如下圖所示的雞圈.問雞圈的長與寬分

別是多少時，雞圈的面積最大？

6.把17、18兩個自然數拆成若干個自然數的和，并分別求這些分拆的自然

數的乘積的最大值.

六年級奧數下冊：第七講整數的分拆習題解答

習題七解答

1.解:1111111111X9999999999

=11-1X(100-0-1)

10個110個0

=11-100-0-11-1

'---V-------V---''---V---'

10個110個010個1

=1T"1088…89

9個19個8

因此，這兩個十位數的乘積中有10個數字是奇數.

2.1.

3.33330000.

4.長為5,寬為4.

5.當雞圈的長=寬=3米時，雞圈的面積最大.

6.17分拆成3+3+3+3+3+2時，其乘積最大，最大值是空X2=486.

18分拆成6個3的和時，其積最大，最大值是3=729.

小學六年

級下冊數學奧數知識點講解第8課《圖論中的匹配與邏輯推理問題》試題附答案

第八講圖論中的匹配與邏輯推理問題

先看一個例題.中、日、韓三個足球隊進行比賽，己知A不是第一名，B不

是韓國隊，也不是第二名，第一名不是日本隊，中國隊第二.問A、B、C各代表

哪國隊？各是第幾名？

一般解這類題都歸于邏輯推理類問題.

我們先來降低難度.先只要求你判斷出中、日、韓各是第幾名（不必判斷

A、B、C）.可以把中、日、韓各用一個點代表，列于上一行.第一、二、三名

各用一個點代表，列于下一行，記為：

Vl=仲,日，韓｝,V2=｛第1名，第2名，第3名｝.

①②③

V1中的點與V2中某一個點有肯定關系的，就畫一條實線，如⑥和②.否定

關系的兩點之間畫一條虛線，如⑥不是②；聞不是①.把已知條件不加任何推

理地表現于圖上.虛線2條，實線1條，共3條線.

現在，有兩個明顯的事實；第一，VI中每點有且只有一條實線與V2中相應

點配對，V2中每點有且只有一條實線與V1中相應點配對.V1內部點之間不會有線

相聯結，V2內部點之間也不會有線相聯結.第二，從VI（或V2）中某一個點，例

如說a點如發出了一條實線向著V2（或V1）中某一個點，例如說x點，那么a點與

V2（或VI）中其他點之間必然只能用虛線聯結.（這是邏輯推理中的排它性）

由此，我們很容易將中、日、韓的名次判出.

④回⑥

這樣的問題，抽象起來可歸屬于圖論中稱之為“二分圖的匹配”問題.

圖論的名詞術語太多，這里不作詳細定義，只是描述性介紹一下，大家以

前在“一筆畫”等講中己初步接觸.所謂二分圖，就是頂點集合可以劃分成兩

個部分，V=V1+V2,如V1有P個點，記為Vl={vl,V2…,vp},V2有q個點，記

為V2={vp+1,vp+2…，vp+q},而中任意一點，不會與V1中其他點聯結，而

只能與V2中某些點聯結；V2也如此.大家看幾個例.

一般的圖記為G=（V,E）,V是頂點集合，E是邊（也可稱為線）的集合.

大家在哥尼斯堡七橋問題中己領略過這種抽象.現在的二分圖是一類特殊的

圖，只不過頂點集分為兩部分，而這只能“跨越”于VI中某個點和V2中另一

個點.二分圖的匹配問題，就是找一個邊的集合，這些邊之間都沒有公共的端

點.

關于二分圖的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一個邊最多的匹配.

就本講開始引入的問題看，我們還沒有解完，因為還有A、B、C三個代號

到底如何歸于中,日、韓三隊的問題.一種解題辦法，是把己判出的國籍和名

次捆綁在一個頂點內，如（中2）、（韓1）、（日3）,再和A、B、C構造一個

新的二分圖：

/?

顯然，推知B是（日3）,因為B有2條虛線，而必然有1條實線，只能推出B

與（日3）之間為實線.同理，（韓1）只能為C；剩下的唯一的情況留給了A為

（中2）.全部問題解決了.

再看最初的題目，如果你選擇先判斷中、日、韓和A、B、C三個代號之間

的匹配關系，將會怎樣呢？畫一個圖看，利用已知條件畫出實、虛線.

④@.

???

只能利用B不是韓國隊及中國隊第二，B不是第二（因此B不是中國隊）這

樣一些條件，題目中另二句話：A不是第一名，第一名不是日本隊，這種否定

關系之間，沒有傳遞性，你不能判定A是不是日本隊.因此根據己知條件所畫的

圖中只有兩條虛線，之后最多只能確定日、B之間為實線.所以對這樣的二分

圖，無法找出合理的最大匹配.這方法使問題求解走進了死胡同.

那么你選擇先判A、B、C和第一、第二、第三名之間的匹配關系，又會怎

樣呢？畫一個圖看.

現在也只有二條虛線,仍然無法找出最大匹配，或說解不唯一，對求解問

題無助.

現在回過頭來看，先找國別與名次之間的匹配，似乎有些“碰運氣”，因

為完全可以把題目改動，使先找國別與名次的匹配無法解決，例如敘述改為：

中、日、韓三足球隊比賽，已知結果為：第1名不是A,第2名不是韓國隊

也不是B,A不是日本隊，中國隊為B,問A、B、C,和1、2、3名與各國隊如何

匹配？

細心讀者發現，這只是把原題中A、B、C的地位與1、2、3名的地位互換而

己.所以現在改動后的題目，再先抓“國別”和“名次”的匹配，就無法求解.

但是數學要求找出一種解一般問題的方法而不是“碰運氣”，而且完全可

以找一個例子，使得無論取國別與名次；或國別與代號（A,B,C）；或代號

與名次這三類二分圖的匹配都無法求解，而必須找更廣泛意義下的匹配才能解

決，為此先介紹一般的三個因素一起考慮的“匹配”方法.

先結合前例，將國別用三個不同點表示于上方，三個名次點表示于左下

方，三個代號點表示于右下方.用實線的肯定關系和虛線的否定關系把已知條

件“翻譯”于圖上.

3

我們現在的目的是要尋找一個捆綁三條實線邊的一條廣義邊，使每個國別

與一個名次及一個代號捆綁在一起，使問題一次性解決，遵循的原則有以下4

條：

①肯定關系具有排它性（如中二第2名，則中盧第1名，中產第3名，第2名

滬日，第2名盧韓）.

②肯定關系具有傳遞性（如已知中=第2名，一旦推知肯定關系第2名=人，

那么中=A）.

③任意兩個類別的點之間要建立一種合理的完全匹配.（如國別和名次之

間；名次與代號之間；國別與代號之間）.

④如果某一點與另一類點中除一點以外都是否定關系，那么與這一點只能

是肯定親家.

現在把這些原則具體操作于這個圖上，就能把問題求解，請讀者看圖，不

贅述.

=>=>

去捷己無用的國別用原則（4）

與名次間的虛線知8=日?C=韓；

又用原則C2）B=3,C=1；

反用原則（2），知A#韓，捆綁成：B=B=3,C=^=l

知中

最后則原則（3*=中=2

這類問題的思想方法上升到圖論中，已經可以用一種更抽象的術語“超

圖”來描述，也就是頂點集合，仍用V來表示，而超圖的邊是一種抽象的“廣

義邊“，把原來簡單邊捆綁在一起形成的一種“捆綁的邊”.在這個具體例題

中，就是要找出一套捆綁邊，每一捆綁邊，捆著一個國別，一個名次，一個代

號.找出三套捆綁邊，每套與別的套之間沒有公共的點，也就是超圖的匹配用

了這種思想方法，去解決某些邏輯推理問題，變的非常快捷而準確了.

再看例子，

有A、B、C三位大學生，一位北京人，一位上海人，一位廣州人，每人的

業余愛好只是足球、圍棋和歌舞三種中的一種.已知：A不喜歡足球，B不喜歡

歌舞；喜歡足球的不是上海人；喜歡歌舞的是北京人；B不是廣州人.請判斷三

市人的代號（指A、B、C）及愛好.

現在把此邏輯推理問題，轉化為圖論中的“捆綁邊”匹配問題，大家不難

把此題的圖和我們最初的例比較，它們完全“同構

答為：B上海人，喜歡圍棋；A喜歡歌舞，北京人；C喜歡足球，廣州人.

關于匹配問題本身，有很多問題和方法已經充分研究和圓滿解決，并找到

了可以利用電腦解決的很好的算法.例如從二分圖的求最大匹配算法發展出稱

之為“交錯路”的方法，直到網絡上帶權的最大（或最小）匹配.

六年級奧數下冊：第八講圖論中的匹配與邏輯推理習題

習題八

1.小明、小強、小華三人參賽迎春杯，分別來自金城、沙市、水鄉，并分

獲一、二、三等獎.現知：

①小明不是金城選手；

②小強不是沙市選手；

③金城選手不是一等獎；

④沙市選手得二等獎；

⑤小強不是三等獎；問小華是何處選手，得幾等獎？

2.下面是一'一般的圖，有9個點，V={vl,v2,,,,,v9）,有16條邊，E

={el,e2,e?.請找一個邊裝最多的匹配（即找一個最大匹配）.

3.有一個殘缺棋盤（下圖中的白格部分）.問是否可用1X2的骨牌將它完

全覆蓋？

4.一張8X8的黑白相間國際象棋盤，任意挖去一個黑格和另一處的一個白

格，剩下的62格殘盤，可否用31張IX2骨牌完全覆蓋？

六年級奧數下冊：第八講圖論中的匹配與邏輯習題解答

習題八解答

1.作圖，求捆綁的邊匹配.

夕明小強小華

//X

//\

金城乙—/-----\------------一等

/\

沙市乙--------------\