微專題13輕松搞定立體幾何的軌跡問題【題型歸納目錄】題型一：軌跡圖形題型二：軌跡長度題型三：軌跡面積【典型例題】題型一：軌跡圖形【典例1-1】（2024·北京密云·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（

）A．與不可能平行B．與是異面直線C．點的軌跡是一條線段D．三棱錐的體積為定值【典例1-2】（2024·高二·江西·階段練習(xí)）四棱柱的底面為正方形，側(cè)棱與底面垂直，點是側(cè)棱的中點，，若點在側(cè)面(包括其邊界)上運動，且總保持，則動點的軌跡是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，點M是內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，則動點M的軌跡是（

）A．平面 B．直線C．線段，但只含1個端點 D．圓【變式1-2】（2024·高一·北京西城·階段練習(xí)）如圖，正方體中，為底面上的動點，且于，且，則點的軌跡是（

）A．線段 B．圓弧C．拋物線的一部分 D．以上答案都不對【變式1-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面為等邊三角形，且側(cè)面底面，點在正方形內(nèi)運動，且滿足，則點在正方形內(nèi)的軌跡一定是（

）A． B．C． D．題型二：軌跡長度【典例2-1】（2024·四川南充·模擬預(yù)測）已知三條射線，，兩兩所成的角都是60°.點在上，點在內(nèi)運動，，則點的軌跡長度為A． B． C． D．【典例2-2】（2024·高二·安徽宣城·期末）已知正方體的棱長為分別是棱?的中點，點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（

）A．2 B． C． D．【變式2-1】（2024·高一·河南周口·期末）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點N為側(cè)面上的一點，且MN//平面，若點N的軌跡長度為2，則（

）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6【變式2-2】（2024·高一·浙江寧波·期中）如圖，已知長方體，，，E、F分別是棱、的中點，點為底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面BEF無公共點，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．題型三：軌跡面積【典例3-1】（2024·高三·江西撫州·期中）已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時.若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為.

【典例3-2】（2024·高二·廣東汕頭·期末）已知棱長為的正方體，為棱中點，現(xiàn)有一只螞蟻從點出發(fā)，在正方體表面上行走一周后再回到點，這只螞蟻在行走過程中與平面的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為．【變式3-1】（2024·高三·浙江杭州·期末）在棱長為的正方體中，棱，的中點分別為，，點在平面內(nèi)，作平面，垂足為．當(dāng)點在內(nèi)（包含邊界）運動時，點的軌跡所組成的圖形的面積等于．【過關(guān)測試】1．（多選題）（2024·高一·安徽黃山·期末）在棱長為的正方體中，已知點在面對角線上運動，點，，分別為，，的中點，點是該正方體表面及其內(nèi)部的一動點，且平面，則下列選項正確的是（

）A．平面B．平面平面C．過，，三點的平面截正方體所得的截面面積為D．動點的軌跡所形成區(qū)域的面積是2．（多選題）（2024·高一·廣西河池·期末）如圖，正方體的棱長為2，動點M在側(cè)面內(nèi)運動（含邊界），且，則（

）

A．點M的軌跡長度為B．三棱錐的體積不為定值C．的最小值為D．取最小值時三棱錐的體積為3．（多選題）（2024·高一·四川成都·期末）在棱長為4的正方體中，，，，，分別是，，，，的中點，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，為底面上的動點，且面，則（

）A．B．三棱錐的外接球的球心到面的距離為C．多面體為三棱臺D．在底面上的軌跡的長度是4．（多選題）（2024·高一·吉林長春·期末）在棱長為4的正方體中，點E為棱的中點，點F是正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線AC夾角為60°B．平面截正方體所得截面的面積為18C．若，則動點F的軌跡長度為πD．若平面，則動點F的軌跡長度為5．（多選題）（2024·遼寧沈陽·二模）在正方體中，，點P在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)直線平面時，則直線與直線成角可能為B．當(dāng)直線平面時，P點軌跡被以A為球心，為半徑的球截得的長度為C．若直線與平面所成角為，則點P的軌跡長度為D．當(dāng)直線時，經(jīng)過點B，P，的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為6．（2024·高一·河北唐山·期中）已知正方體的邊長為2，M是的中點，點P在正方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動點P的軌跡所形成的區(qū)域面積是.7．（2024·高二·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為為體對角線的三等分點，動點在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點的軌跡長度為.8．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點.下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）.①以正方形的頂點為頂點的三棱錐的四個面最多只有三個面是直角三角形；②P在直線上運動時，；③Q在直線上運動時，三棱錐的體積不變；④M是正方體的面內(nèi)到點D和距離相等的點，則M點的軌跡是一條線段.9．（2024·內(nèi)