山東省濟寧市學而優教育咨詢有限公司高中數學必修二學案：1-3-2

柱體、錐體、臺體、球的體積與球的表面積

［學習要求］

1.掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，會利用它們求有關幾何體的體積；

2.了解球的表面積與體積公式，并能應用它們求球的表面積及體積；

3.會求簡單組合體的體積及表面積.

［學法指導］

通過對幾何體的體積及球的體積和面積公式的推導，提高空間思維能力和空間想象能

力，增強探索問題和解決問題的信心.

注意：1.空間幾何體的表面積、體積是高考的熱點，多與三視圖相結合命題.

2.主要考查由三視圖還原幾何體并求表面積或體積，同時考查空間想象能力及運算能力.題

型多為選擇、填空題.

填一填?知識要點、記下疑難點

1.柱體、錐體、臺體的體積

幾何體體積

匕叫=____（S為底面面積，方為高），

柱體

vm=_____（r為底面半徑）

/推體=___（S為底面面積，力為高），

錐體

，砸=________（r為底面半徑）

%體=__________________________

（S',S分別為上、下底面面積，A為高），

臺體

y圓臺=_____________________________

（/,r分別為上、下底面半徑）

2.球的體積：球的半徑為此那么它的體積「=.

3.球的表面積：球的半徑為此那么它的表面積5=

一般地，面積是相對平面圖形來說的，對于空間圖形需要研究它們的體積,

問題1我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐的體積計算公式，它們的體積公式如

何表示？

答/正方體=/,P長方體=abc,心柱=”產2,?/?.

問題2根據正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？

答如果設S為底面面積，方為高，一般柱體的體積公式為入年=S上

問題3等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關系如何？等底等高的圓錐、棱錐之間的體積

關系如何？

答從圓柱和圓錐的體積公式，得等底、等高的圓柱的體積是圓錐的3倍；等底等高的圓

錐、棱錐之間的體積相等.

問題4根據圓錐的體積公式，推測錐體的體積計算公式？

答，御*=，S/?(S為底面面積，方為高).

問題5臺體的上底面積S',下底面積S,高力，則臺體的體積是怎樣的？圓臺的體積公

式如何用上下底面半徑及高表示？

答匕=:(￡+小，+S4

O

JW=4(S'+y[s^+5)JTA(?+>?).(r、月分別為圓臺上底、下底半徑)

一、棱柱、棱錐、棱臺的體積

幾何體的表面積及體積的計算是現實生活中經常能夠遇到的問題，

在計算中應注意各數量之間的關系及各元素之間的位置關系，特別

是特殊的柱、錐、臺體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重

要的平面圖形的應用.

1.己知長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1：2：3,對角線的長是25,則這個長

方體的體積是（）.

A.6B.12C.24D.48

解析設長方體的過一個頂點的三條棱長分別為x、2x、3”,又對角線長為2，逋，

則x+（2A）2+（3x）z=（2V14）2,解得x=2.

.?.三條棱長分別為2、4、6.長方體=2X4X6=48.

答案D

2.直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V,點P、Q分別在側棱AA1和CC1上如圖,AP=C1Q,則

四棱錐B—APQC的體積為（）

A.V/2B.V/3C.V/4D.V/5

答案：B；解析：取P、Q分別為AAi、CCi的中點，設矩形AAiSC的面積為S,點B

到底面AAiCiC的距離為h,則k呼=1.；.h=T酬）=1（%.兒時）=1（網與酎）=?.

32323233

3.正三棱錐的底面邊長為2,側面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為

答案半

O

解析本題考查幾何體體積的求法，易知正三棱錐的側棱長為則其體積為（（啦）3

—3,

（若一個三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直且側棱長分別為a、b、c,則其體積為,a6c）.

4.如圖所示，E、尸分別是邊長為1的正方形4?切邊8G切的中點，沿線"；AE,

跖折起來，則所圍成的三棱錐的體積為（）

11

A，3B,6

C±D±

1224

答案D解析設6、D、C重合于a

5.（2012上海文數）已知四棱椎P—A8C￡＞的底面是邊長為6的正方形，側棱PA_L底面

ABCD,且PA=8,則該四棱椎的體積是96。

解析：考查棱錐體積公式丫=,x36x8=96

3

6.（2012?新課標）已知三棱錐-Z18C的所有頂點都在球。的球面上，△?（a1是邊長為

1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱鏈的體積為

A亞

O

【解析】是球。的直徑,

：.ZCAS^ZCBS=WQ.

?：BA=BC=AC=1,SC=2,：.AS=BS=y[i.

取四的中點。，顯然4員LG9,ABLCS.

從L平面CDS.

在aWS中，加坐〃S=卑，SC=2,利用余弦定理可得cos/CDS」"累二

/乙/tz〃OZz

1

Q4J2

^sinZCDS=~f=.

733

..隊「X2%2%疝-2'

=

**-V%_您+VA-CO$

1.1

=鼻?S^CDS?BD~\--S^a）s?AD

0J

=J&c夢?BA

1mJ2

-3XTX1=T-

【答案】A

0

7.（2012江西理數）如圖，在三棱錐O—ABC中，三條棱OA

OC兩兩垂直，且0A>08>0C,分別經過三條棱。4,0B,

一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，，S2,S3,則S-S2,S3的大小關系

為。

【答案】S3Vs2<R

【解析】考查立體圖形的空間感和數學知識的運用能力，通過補形，借助長方體驗證

結論，特殊化，令邊長為1,2,3得邑<52<5。

8.已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形（如圖），則三

棱錐5—4%的體積為（）

11

CV63V43

一

4一B.2D.

解析眸;仍=Jx理X3=羋.答案：D

9.如圖，正方體48c4的棱長為1,E,尸分別為線段44”&C上

的點，則三棱錐〃一&*的體積為.

解析利用三棱錐的體積公式直接求解.

/3=憶必，=/'XD'DEX^|x|x1X1X1=1.

10.（2011山東文數）如圖，正方體ABC。-4801.的棱長為1,

E為線段BQ上的一點，則三棱錐A-。的的體積為.

【解析】以△ADR為底面，則易知三棱錐的高為1,故V='L-lil=L.【答

326

案】

6

11.如圖所示的三棱錐―/比1的三條側棱兩兩垂直，且必=1,為=小,

PC=#，求其體積.（一直線和一平面內兩相交直線垂直，則直線與平面垂

4

直）

解由題意知必_L陽，PALPC,PBCPC=P,所以為垂直平面小

所以為是三棱錐4一月弘的底面如C上的高，

?1,\/6.

且S^=~?PB?P<7=悌-（z因mPB1P0,

手等,即三棱錐I始的體積為

12.在棱長為a的正方體ABCD-A|B|C1%中，P、Q是對角線A】C上的點，若PQ=］，則三棱

錐P-BDQ的體積為（）

.6a3V336a3n才晶4

A.-----B.---ciC.-----D.不確Til

361824

答案：A

13..四面體的棱長中，有兩條為直及其余全為1時，它的體積（）

D.以上全不正確

答案：A

14.（2008四川文，12）若三棱柱的一個側面是邊長為2的正方形，另外兩個側面都是有一

個內角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于（B）

(A)VI(B)2>/2(03V2(D)4V2

【解】：如圖在三棱柱ABC-中，設=NA4|G=600,

由條件有NG=60°，作A。_L面A/iG于點O,

mncosNA41Mcos60°1

則COSZAAO---------=----------==——

cosNgA。cos30V33

sinZAAjO=/.AO=AA^?sinZA4(0=~~~

1)rz

Vjox-.?c=SMRC?AO=—x2x2xsin60°x------=2-\/2故選B

-A23

【點評】：此題重點考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時考察空間想象能力;

【突破】：具有較強的空間想象能力，準確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理

并能準確應用是解決此題的關鍵;

15.如圖，三棱柱ABC—48'。'中，P為A4'上一點，求V-叱一："，”，，

解法一：設與B，C，C=S,44倒平面83'OC的距離為h,則心

把三棱柱ABC-4"。接補成以。DCC和8"CC為相

此平行六面體體積為原三棱柱體積的兩倍.

1

1

32

=S/7=

?^ABC-A'R'C=、Sh；.Vp-BB，CC，1-

1S/23

2^ABC-A'B'C-

2

^P-ABC-^P-A'B'C

解法二：VP_BB.C.C

設SM)C="?，棱柱的高為"，則三棱柱的體積=m-n

12

P-BB'C'C=^ABC-AtB'C~P-ABC~^P-A'B'C'=一Q祖，〃（尸到兩底距.離，和為0="見，

2

??^P-AB'C'C^ABC-A^'C

3

小結：把三棱柱接補成平行六面體是重要的變換方法，平行六面體的每一個面都可以當作

柱體的底，有利于體積變換.

例設正六棱錐的底面邊長為1,側棱長為乖，那么它的體積為（）

A.673B.A/3C.2mD.2

解析因正六棱錐的高為"7=2,所以r=15A=1x6X^X2=V3.

OOq

例如圖所示，已知高為3的棱柱49G-/'B'C的底面是邊長為1的正三角形,

則三棱錐夕一力陽的體積為（）

1

A-4

C.爽亞

64

［答案］D

［解析］:棱柱的高為3,到底面1回的距離，即棱錐"一/緲的高為3,

二體積，=3X乎X/X3=*.

例（09?10學年棗莊模擬）一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖為全等的等

腰直角三角形，直角邊長為1,則這個幾何體的體積為（）

A.1

正視圖側視圖

佛視圖

1

B.~

C-3

1

D.-

6

［答案］D

［解析］由三視圖知，該幾何體是三棱錐.

A3111

體積K=-X-X1X1X1=-

326

例一密閉正三棱柱容器內裝有液體，該三棱柱容器內底面正三角形邊長為2,棱柱

的內高為3,將一側面置于水平桌面上，測得液體高度為手，現將容器底面放于水平桌面

上，則容器內液面高度為（）

3373

A.~B.~~~

C.,D.3-\/3

［答案］C

［解析］由題意可知，側面置水平桌面上時，容器內的液體是一個四棱柱，高為3,底

面是一梯形，梯形的下底是2,高是半，可求得上底長為1,

24

設直立正放于桌面上時，液面高度為X,則乎X2'Xx=￥，.?“=*

例，已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4,高為2,則體積為（）

A.324B.2873

C.2473D.20y［3

［答案］B

［解析］上底面積S=6X*X22=6小，

下底面積S=6X,X4?=24M，

體積O="（S+W+!SS）?h

o

=J（6^3+24小+y）6y［3?24-73）義2=28m.

O

例已知三棱柱力4AG的體積為匕P、。分別在側棱44和GC上，且力戶=6。

則四棱錐6—4尸究的體積是（）

11

A.-KB-r

o

21

cK

5-D.4-

［答案］B

［解析］VB-APQC="XVii-AcaA\—Vs-Aca

1

=Va-ABC=TV.

o

例（2010?天津理，12）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則這個幾何體的體積為

［答案］V

0

［解析］由三視圖知I,該幾何體由一個高為2,底面邊長為2的正四棱錐和一個高為2,

底面邊長為1的正四棱柱組成，則體積為2X2X1X《+1X1X2=￥.

OJ

例（08?江西理）如圖1,一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底

的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有a升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點A如果將

容器倒置，水面也恰好過點?（圖2）.有下列四個命題:

圖1圖2

①正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

②將容器側面水平放置時，水面也恰好過點〃

③任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點P

④若往容器內再注入a升水，則容器恰好能裝滿

其中真命題的代號是：（寫出所有真命題的代號）.

［答案］②④

［解析］???正放時，里邊有一個正四棱錐實心裝飾塊，正放與倒置時，水面都經過正

四棱錐頂，容器內水的體積一定，

，①錯，④對.

側面水平放置時，正四棱錐的體積，在水面上、下各一半，容器的容積上、下各一半，

...水面恰好過點只但任意擺放時，水面上、下部分正四棱錐體積不等，故水面不過。

點，②對，③錯.

例（09?天津文）如圖是一個幾何體的三視圖.若它的體積是隊「，求a的值.

正視圖側視圖

［解析］由三視圖知，幾何體為底面邊長為2,高為3的正三棱柱.

r=^X2XaX3=3-^3,；.a=小.

例（07?寧夏、海南）已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位:

cm）,可得這個幾何體的體積是（）

4000380003

A.~~-cmB.-7T-cm3

O

C.2000cm3D.4000cm3

［答案］B

［解析］由俯視圖知此幾何體的底面為一個邊長為20的正方形，結合正視圖、側視圖

知，此幾何體為四棱錐，高為20,所以其體積為1x20X20X20=^2^,故選B.

*5*5

例如圖，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分別為AB、AC的中點，平

面EBC將三棱柱分成體積為修、V2的兩部分，那么％:V2=。

解：設三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V=%+5=Sh。

：E、F分別為AB、AC的中點，

5

V2=Sh-V1=—Sh,

12

.?.%:V2=7：5o

點評：解題的關鍵是棱柱、棱臺間的轉化關系，建立起求解體積的幾何元素之間的對

應關系。最后用統一的量建立比值得到結論即可。

例己知四面體各棱長是1或2,且該四面體不是正四面體，求這個四面體體積的所有可

能的值。

解：根據已知條件及構成三角形的條件滿足要求的四面體應分為三類。

AA

cCc

AB=AC=AD=2AC=AD=BC=BD=2AB=AC=AD=BC=BD=2

BC=CD=DB=1AB=CD=1CD=1

則A0=122-(2.9l)2=但，所

(1)如圖1,四面體各棱AB=AC=AD=2,BC=CD=BD=1,

V32V3

以四面體的體積V=；SAfi8.AO=(xTxl2x孚x聘hVTT

IT°

(2)如圖2,四面體各棱AC=AD=2,AB=1,BC=BD=2,CD=1,t①M、N分別為AB、CD的中點，

AM=S=與SsBM=gAB.MN=gxlx照

11J14J14

四面體的體積為V--SMB,w-CD=-x^-xl=3-?

(3)如圖形,四面體各棱AB=AC=AD=2,BD=BC=2,CD=1,設M、N分別為AB、CD的中點，

L-1=如，四面體的體積為

AM=2_g)2=,SAABM=；■?MN=；X2X4

卜2

v_ic51VHlVTT

V—5?CD=-x----x1=----.

3MA4BM326

故四面體的所有可能的體積為VT葉T■或Vi力4或V少TT

12126

二、旋轉體的體積

1.（2012?上海）若一個圓錐的側面展開圖是面積為2H的半圓面，則該圓錐的體積為

【解析】如圖，由題意知;貝丁=2n,，/=2.

又展開圖為半圓，.?.n/=2兀r.

.?.r=l,故圓錐的高為巾，體積

12,#31

2.已知圓臺上、下底面面積分別是"、4n,側面積是6n則這個

圓臺的體積是（）.

A.平“B.2^3C.羋nD.羋“

J0o

解析S=兀，S=4n,

r=1,R=2,S=6兀=n(r+必/,

：.1=2,:.仁小.

；"/=；JI(1+4+2)X^3=^3n.

答案D

3.把由曲線y=|x|和y=2圍成的圖形繞x軸旋轉360。，所得旋轉體的體積為—

解析由題意，y=和y=2圍成圖中陰影部分的圖形，旋轉體為一個圓柱挖去兩個相同

的共頂點的圓錐.

21216n

:唳柱=nX22X4=16n,2K=2X-nX2JX2=^-

m?Jo

所求幾何體體積為16n一”:=?.

Oo

答案等

4.已知一個圓錐的展開圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120°,底面

圓的半徑為1,則該圓錐的體積為

解析因為扇形弧長為2n“所以圓錐母線長為3,高為24，所求體積

=|xJI義1?*2*==當A

答案警

5.若直角梯形的一個底角為45°,下底長為上底長的|,這個梯形繞下底所在直線旋轉一

周所成的旋轉體的表面積是（5+鏡）n,求這個旋轉體的體積.

解如圖所示，在梯形48繆中，AB//CD,//=90°,/6=45°,繞48邊旋轉一周后形

成一圓柱和一圓錐的組合體.

3x、歷

設C9=x,AB=~x,則49=44—09=5，BC=~~x.

S去=5圓柱底+5圈柱惻+5圓錐側

9

=n?JZ/+2TI?ADCD+冗?AD,BC

x,xxy[2

=JI?~+2n?5?x+n?5X個x

Lt乙乙

5+12

根據題設，%且口/=(5+*)口，則x=2.

所以旋轉體體積『=m-AO?CD*?Alf-{AB-CD)

J

=nX12X2+-7X12X(3-2)

o

7

例圓柱有一個內接長方體4G,長方體對角線長是l(h「cm,圓柱的側面展開平面圖為

矩形，此矩形的面積是100"cm2,求圓柱的體積.

解設圓柱底面半徑為rcm,高為hcm.

如圖所示，則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內接長方體的體對角線長，則

f2r2+A210j2:

[2nrA=100n,

.?.尸.

/./圓柱=S/?=叮rh=nX52X10=250n(cm3).

.??圓柱體積為250ncm3.

例若一個圓錐的側面展開圖是面積為2n的半圓面，則該圓錐的體積為

n1=2nr,

設圓錐底面半徑為八母線長為/,高為A,則〈"=2”,

1=2,

：.h=木.

r=l,

例若一個圓錐的側面展開圖是面積為2n的半圓面，則該圓錐的體積為

*n7=2nr,

設圓錐底面半徑為r,母線長為/,高為力，則＜

19

-n7=2n,

7=2,

；.h=p

r=lf

例已知圓柱的側面展開圖矩形面積為S,底面周長為C,它的體積是（）

A.￡4BS

4ns

「CSSC

C.--D."~

2n4n

［答案］D

Ch=S

［解析］設圓柱底面半徑為r,高為啟則

C=2nr

C.S

片方b=~C

SSC

K=JIr?h=叮?=I7-

例體積為52cm3的圓臺，一個底面面積是另一個底面面積的9倍，那么截得這個圓

臺的圓錐的體積為（)

A.54cm3B.54ncm'

C.58cm-D.58ncm'

［答案］A

［解析］由底面積之比為1:9知，體積之比為1:27,截得小圓錐與圓臺體積比為1:26,

小圓錐體積為2cm）故原來圓錐的體積為54cm3,故選A.

例（09?10學年泰安高模）下圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾

何體的體積為（）

側視圖

A.8B.2n

C.4nD.n

［答案］D

［解析］由三視圖可知，該幾何體是底半徑為1,高為2的圓柱，沿經過軸的截面分割

開的半個圓柱，故其體積X：P）X2=八

例圓錐的過高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是（）

A.1:1B.1:6C.1:7D.1:8

［答案］C

［解析］如圖，設圓錐底半徑仍=吊高PO=h,

h

VO'為P0中點,：.P0'=-,

=如欣.

h1

+"+加5=亦加.

,夠1

故選C.

**加臺。o7'

［點評］由圓錐的平行于底面的截面性質，截得小圓錐與原來圓錐的高的比為1:2,故

體積比為1:8,因而上、下兩部分體積比為1:7.

例用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1:3,這截面

把圓錐母線分為兩段的比是（）

A.1:3B.1:（小一1）

C.1:9D.y/3:2

［答案］B

［解析］由面積比為1:3,知小圓錐母線與原圓錐母線長之比為1:43,故截面把圓錐

母線分為1：（第—1）兩部分，故選B.

例圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側面展開圖扇環的圓心角是

180°（如圖），那么圓臺的體積是

7000Hr-

r［答案?］-\/3cm3

0

「/TiLLr石20—10°

［解析］180°=---X360°,A7=20

r—1/2?2?\7000\/3n/3、

/?=10y］3,勺.n(zi+r^+riZ2)?h=----手---(cm).

oo

例已知圓臺上、下底面半徑分別為1,2,高為3,則圓臺體積為

［答案］7幾

［解析］由已知圓臺上、下底面積分別為

S上=n,SH=4n.

則P圓臺?（兀+、/叮?47+4兀）?3=7兀.

o

例底半徑為1,高為1的圓柱，內接長方體如圖，設矩形/優。的面

積為S,長方體4644一/版的體積為力設矩形46徵的一邊長4Hx.

(1)將S表達為x的函數；

(2)求，的最大值.

［解析］(1r?矩形4版內接于圓0,為。。的直徑，

"."AC—2,AB—x,BC—\l4—x~,

：.S=AB?6C=A/4-X2(0<A<2).

(2)；長方體的高44=1,

勺S?44=川4-、

="^/(4—%)—yj—(z—2)2+4,

V0<K2,/.0</<4,

二當V=2,即X=M時，Kax—2,

故長方體體積的最大值為2.

例,在△49C中，AB=2,3C=1.5,N4?C=120°,若將△4坑?繞直線8C旋轉一周,

則所形成的旋轉體的體積是()

9753

A.>B.-n喘口D.5n

［答案］D

［解析］本題是旋轉問題，考查錐體的體積公式和空間想像能力.如圖所示，該旋轉

體的體積為圓錐切與圓錐劭體積之差.

在△/劭中，AB=2,/月砌=60。，

AD=鄧,

.?.勺/—JtX(V3)2X(1+1.5)-1XJT

o。乙

例（14分）已知：一個圓錐的底面半徑為此高為〃，在其中有一個高為x的內接圓柱.

（1）求圓柱的側面積；

（2）x為何值時，圓柱的側面積最大.

解：（1）設內接圓柱底面半徑為工

、小

rH-xRzrr

S圓柱網=2".x①'：——=-------r-——(H-x)②

RHH

R

②代入①

S圓柱惻=(//-x)=——x2+HA)(O<X<H)

HH

+---

??.x=良時

圓柱側最大-

2s

三、球的表面積和體積

問題球既沒有底面，也無法像柱、錐、臺體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體

積呢？就目前我們學過的知識還不能解決，我們不妨先記住公式.設球的半徑為此那么

4

它的體積：，=勺”上它的表面積S=4""，現在請大家觀察這兩個公式，思考它們都有

什么特點？

答這兩個公式說明球的體積和表面積都由球的半徑火唯一確定.其中球的體積是半徑火

的三次函數，球的表面積是半徑"的二次函數，并且表面積為半徑為〃的圓面積的4倍.

例兩個球的體積之比為8：27,則它的表面積之比為（）

A.2：3B.4：9

C.1：2D.1：3

［答案］B

［解析］由體積比知半徑之比為2:3,

二面積之比為4：9,故選B.

例兩個球的體積之和是12%大圓周長之和是6%則兩球半徑之差是（）

A.1B.2

「3

C.3D.~

［答案］A

［解析］設兩球半徑為小八及次,則

4n

=12n,2五（介+八）=6幾

O

解得力=1,12=2,/.r2—ri=l,故選A.

例兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個大球，這個大球的半徑為（）

A.2B.^/2

C.y/2D.1^/4

44JI

［答案］C.［解析］設大球半徑為r,則/"=2義彳，

<3<5

.,._r=般，故選C.

例若一個圓錐的底面半徑和一個半球的半徑相等，體積也相等，則它們的高度之

比為（）

A.2：1B.2：3

C.2：nD.2：5

［答案］A

141

［解析］r3X-:?h=2r,故選A.

oJ/

例湖面上漂著一個球，湖面結冰后將球取出，冰面上留下了一個面直徑為24,深

為8的空穴，則球的半徑為()

A.8B.12

C.13D.8小

［答案］C

［解析］122+(k-8)2="，.?.斤=13.故選C.

例已知某球體的體積與其表面積的數值相等，則此球體的半徑為________.

［答案］3

4.

［解析］-n7?=4n:.R=3.

例在球心同側有相距9cm的兩個平行截面,，它們的面積分別為49Jtcm?和400ncm2.

求球的表面積.

［解析］如圖為球的過球心的截面，由球的截面性質知，AOJ/BO,,且。、“分別為兩

截面圓的圓心，則。OO,LBO>,設球的半徑為

?.?JI?a4=49JT,Aft5=7cm,

同理n。4=400n,/.。力=20cm.

設0Q=xcm,則O(h=(-Y+9)cm.

在入△%力中，/f=x+20\

在Rt△。睡中,^=a+9)2+72,

.\x+202=72+(X+9)2,解得x=15,

：./^=X+202=25\A/?=25cm.

，S球=4兀*=2500ncm.

???球的表面積為2500ncm2.

例,如圖9-9,一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑

D

為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r,則一=。

r

解析：水面高度升高八則圓柱體積增加"川?八恰好是半徑為r的實心鐵球的體積,

因此有"不封="好八故0=冬3。答案為西。

3r33

點評：本題主要考查旋轉體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。

例體積相等的正方體、球、等邊圓柱的全面積分別是$、&、S,試比較它們的大

小.

［解析］設正方體的棱長為a,球的半徑為凡等邊圓柱的底面半徑為八則5=6提

S=4“/，S=6Jtr.

4

由題意知，1頁〃=a'="產?2r,

又6a。>3牛2口a?=勺54na',即S>W.

.??S、S、S的大小關系是S<S<S.

1.(2012遼寧文數)已知S,A,8,C是球。表面上的點，SAJ_平面ABC,AB±BC,

S4=AB=1,BC=及，則球。的表面積等于

(A)4〃(B)3乃(C)24(D)71

解析：選A.由已知，球。的直徑為2R=SC=2,.?.表面積為4IR2=44

2.（2012湖北文數）圓柱形容器內盛有高度為3cm的水，若放入三個相同的珠（球的半么

與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是cm.

【答案】4

4

【解析】設球半徑為r,則由3%+匕卜=%可得3xy/+勿/x8”產x6廠，解得r=4.

3.已知過球面上三點/、8、C的截面到球心0的距離等于球半徑的一半，且48=18cm,

BC=24cm,4c=30cm,求球的體積和表面積.

【答案】華

O

【解析】

...△/6C是直角三角形，N/6C=90°,...過爾6、C三點的截面圓的半徑為，C=15cm.

設球的半徑為R,則#=(軟+應

4=300,'./f—lOyficm.

；?，理=3n『=400(h/3ncm3.

5?=4Ji1^=1200Jicm2.

4.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為力，則球的體積為

8乃

C.8岳327

3

答案：B

點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能

力方面主要考查空間想象能力。

5.已知過球面上A,鼠。三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且

AB=BC=C4=2,求球的表面積。

解：設截面圓心為0',連結0'4,設球半徑為R,

則。N=2x立乂2=氈，

323

在RtbOOA中，CM?=O'A2+O'O2,

，心苧+*

/.S-4萬R?=--71o

9

點評：正確應用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關系。

6.(2008四川理，8)設M,N是球心。的半徑0P上的兩點，且NP=MN=0M,分別

過N,M,O作垂線于OP的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：()

(A)3,5,6(B)3,6,8(C)5,7,9(D)5,8,9

【解工設分別過N,M,。作垂線于。尸的面截球得三個圓的半徑為4,公q,球半徑為R,

2Z1\48Z2\4

22222/222/2

則RA■RR

------------

3I39H3/?

V7V7

...1他22=54：9.?.這三個圓的面積之比為：5,8,9故選D

【點評工此題重點考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關系;

【突破】：畫圖數形結合，提高空間想象能力，利用勾股定理；

7.（2012四川理數）（1D半徑為R的球0的直徑A5垂直于平面a,垂足為B,|BCD

是平面a內邊長為R的正三角形，線段AC、A￡）分別與球面交于點弘/V,那么

/I\

/II

風/V兩點間的球面距離是，一一一?

(/)Rarccos—Rarccos—

2525

91兀R

解析：由已知，A42R,BC=R，故tan/BAgL

2

cosABAC—-

連結0M,則△物也為等腰三角形

4754A/5

AQ2A0cosNBAC=R,同理4V=二一R,旦MN"C