4.3.1空間直角坐標系

國剛狒厘

1.空間直角坐標系.

(1)空間直角坐標系及相關概念.

①空間直角坐標系：從空間某一定點引三條兩兩垂直，且有相同單位

長度的數軸：x,y,z軸,這樣就建立了空間直角坐標系Oxvz.

②相關概念：點O叫做坐標原點,x,y,z軸叫做坐標軸.通過每兩

個坐標軸的平面叫做坐標平面,分別稱為XOY平面、vOz平面、zOx平面.

(2)右手直角坐標系.

在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向工軸的正方向，食指指向丫軸

的正方向，如果中指指向通的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標

系.

練習1：原點。的坐標是(0,0,0).

2.空間一點的坐標.

空間一點M的坐標可以用有序實數組(x,y,z)來表示,有序實數組(x,

y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,y,z).其中x

叫做點M的橫坐標，匕叫做點M的縱坐標，L叫做點M的豎坐標.

A思考應用

在空間直角坐標系中，一些特殊點的坐標特征是怎樣的？

(l)xOy平面是坐標形如(x,y,0)的點構成的點集;

(2)xOz平面是坐標形如(x,0,z)的點構成的點集;

(3)yOz平面是坐標形如(0,y,z)的點構成的點集:

(4)x軸是坐標形如(x,0,0)的點構成的點集:

(5)y軸是坐標形如(0,y,0)的點構成的點集;

(6)z軸是坐標形如(0,0,z)的點構成的點集.

其中x,y,z均為任意實數.

畫畫畫同

1.點P(—l,0,2)位于(。

A.y軸上B.z軸上

C.xOz平面內D.yOz平面內

解析：點P的縱坐標為0,則點P在平面xOz上.

2.y軸上的點的坐標的特點是(。

A.豎坐標是0B.橫坐標是0

C.橫、豎坐標都是0D.橫、縱坐標都是0

解析：y軸上的點的坐標是(0,c,0).

3.在空間直角坐標系中，點(一2,1,4)關于x軸的對稱點的坐標是(驢

A.(—2,1,—4)B.(~2,—1,—4)

C.(2,-1,4)D.(2,1,-4)

解析：點P(a,b,c)關于x軸的對稱點為P'(a,-b,—c).

4.點M(—2,1,2)在x軸上的射影的坐標為(5)

A.(-2,0,2)B.(-2,0,0)

C.(0,1,2)D.(-2,1,0)

解析：點M(—2,1,2)在x軸上的射影的坐標為(-2,0,0).

國圓區朝

1.在空間直角坐標系中，已知點P(x,y,z),那么下列說法正確的是

(D)

A.點P關于x軸對稱的點的坐標是Pi(x,-y,z)

B.點P關于yOz平面對稱的點的坐標是P2(x,-y,-z)

C.點P關于y軸對稱的點的坐標是P3(x,-y,z)

D.點P關于原點對稱的點的坐標是P4(—x,-y,-z)

2.點A(—L2,1)在x軸上的投影點和在xOy平面上的投影點的坐

標分別為(或

A.(-1,0,1),(-1,2,0)

B.(-1,0,0),(-1,2,0)

C.(-1,0,0),(-1,0,0)

D.(-1,2,0),(-1,2,0)

解析：點A(—1,2,1)在x軸上的投影點的橫坐標是一1,縱坐標、豎

坐標都為0,故為(一1,0,0),點A(—1,2,1)在xOy平面上橫、縱坐標

不變且豎坐標是0,故為(一1,2,0).

3.點P(l,1,1)關于xOy平面的對稱點為Pi,則點Pi關于z軸的對

稱點P2的坐標是(或

A.(1,1,-1)B.(-1,-1,-1)

C.(-1,-1,1)D.(1,-1,1)

解析：Pi(l,1,-1),P2(-l,-1,-1).

4.已知等腰直角4OAB的直角頂點A的坐標為(0,1,0),其中O為

坐標原點，頂點B在坐標平面內，則B的坐標為(。

A.(0,1,1)B.(1,1,0)

C.(0,1,1)或(1,1,0)D.(-1,-1,0)

解析：當B在平面yOz上時，B的坐標為(0,1,1),當B的坐標在平

面xOy上時，B的坐標為(1,1,0).

5.在xOy平面內有兩點A(—2,4,0),B(3,2,0),則AB的中點坐

標是.

解析:審,空宇也3.0).

答案：3，0

6.已知A(3,5,一7)和B(-2,4,3),則線段AB在坐標平面yOz

上的射影的長度為.

答案：Viol

7.已知一長方體ABCDAiBiCiDi的對稱中心在坐標原點O,交于同

一頂點的三個平面分別平行于三個坐標平面，頂點A的坐標為(一2,—3,

—1),求其他7個頂點的坐標.

解析：TA(—2,-3,-1),根據長方體各頂點的對稱關系，不難求

得B(—2,3,-1),C(2,3,-1),D(2,-3,-1).將A、B、C、D分

別關于平面xOy對稱，可得到Ai(-2,-3,1),Bi(-2,3,1),Ci(2,3,

1),DI(2,-3,1).

甌畫提困

8.在空間直角坐標系中，作出點A(2,2,-1),B(-3,2,-4),并

判斷直線AB與坐標平面xOz的關系.

解析：作出點A可按以下步驟進行：先在x軸上作出橫坐標是2的點

Ai,再將點Ai沿與y軸平行的方向向右移動2個單位得到A2,然后將A2

沿與z軸平行的方向向下移動1個單位得到點A.

作出點B可按以下步驟進行：

先在x軸上作出橫坐標是一3的點Bi,再將點Bi沿與y軸平行的方向

向右移動2個單位得到B2,然后將B2沿與z軸平行的方向向下移動4個單

位得到點B.

由于A、B兩點的縱坐標都是2,則A、B兩點到坐標平面xOz的距離

都是2,且都在坐標平面xOz的同側，所以AB平行于坐標平面xOz.

9.VABCD為正四棱錐，O為底面中心，若AB=2,VO=3,試建立

空間直角坐標系，并確定各頂點坐標.

解析：以底面中心O為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系

TV在Z軸正半軸上，且|VO|=3,它的橫坐標與縱坐標都是零,

???點V的坐標是(0,0,3).而A、B、C、D都在xOy平面上，

???它們的豎坐標都是零.

又|AB|=2,

AA(1,-1,0),B(l,1,0),C(-l,1,0),D(-l,-1,0),V(0,

0,3).

10.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形.且邊長為2a,

棱PDJL底面ABCD,|PD|=2b,取各側棱的中點E,F,G,H,試建立適

當的空間直角坐標系，寫出點E,F,G,H的坐標.

解析：由圖知：DAJLDC,DC±DP,DP_LDA.故以D為原點，DA,

DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

VE,F,G,H分別是側棱的中點，則可易知平面EFGH〃平面ABCD.

從而這四點的豎坐標都為P的豎坐標的一半，即為b.

由H為DP的中點，得H(0,0,b),E在底面ABCD上的投影為AD

的中點，

/.E(a,0,b),同理G(0,a,b).

F在坐標平面xOz和yOz上的投影分別為點E和G,故F與E橫坐標

相同，F與G縱坐標相同.

.*.F(a,a,b).