深圳市育才中學2025屆高一數學第二學期期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數f(x)是定義在上的奇函數，當x>0時，f(x)=2x-3，則A．14B．-114C．2．若，，，，則等于（）A． B． C． D．3．函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度4．一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東和北偏西，則塔與寺廟的距離為()A． B． C． D．5．下列正確的是()A．若a，b∈R，則B．若x<0，則x＋≥－2＝－4C．若ab≠0，則D．若x<0，則2x＋2－x>26．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點，，共面7．若、為異面直線，直線，則與的位置關系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交8．若，，，設，，且，則的值為（）A．0 B．3 C．15 D．189．計算機中常用十六進制是逢16進1的計數制，采用數字0～9和字母A～F共16個計數符號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表：16進制0123456789ABCDEF10進制0123456789101112131415現在，將十進制整數2019化成16進制數為（）A．7E3 B．7F3 C．8E3 D．8F310．若直線l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圓x2+y2﹣x﹣2y＝0，則的最小值為（）A． B．2 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數列中,若,則__________.12．已知直線:與直線:互相平行，則直線與之間的距離為______.13．設滿足不等式組，則的最小值為_____.14．在中，已知，則下列四個不等式中，正確的不等式的序號為____________①②③④15．已知，則____________________________．16．在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓的半徑是2，圓心在直線上，且圓與直線相切.（1）求圓的方程；（2）若點是圓上的動點，點在軸上，的最大值等于7，求點的坐標.18．某企業生產，兩種產品，根據市場調查與預測，產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2，（注：利潤與投資單位：萬元）（1）分別將，兩種產品的利潤表示為投資的函數關系，并寫出它們的函數關系式；（2）該企業已籌集到10萬元資金，全部投入到，兩種產品的生產，怎樣分配資金，才能使企業獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）.19．已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式（2）數列的前項和為，若存在，使得成立，求范圍?20．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點．（1）求證：平面；（2）求證：．21．某高校自主招生一次面試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖均收到了不同程度的損壞，其可見部分信息如下，據此解答下列問題：（1）求參加此次高校自主招生面試的總人數、面試成績的中位數及分數在內的人數；（2）若從面試成績在內的學生中任選三人進行隨機復查，求恰好有二人分數在內的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：函數f(x)是定義在上的奇函數，，故答案為D．考點：奇函數的應用．2、C【解析】

利用同角三角函數的基本關系求出與，然后利用兩角差的余弦公式求出值．【詳解】，，則，，則，所以，，因此，，故選C．【點睛】本題考查利用兩角和的余弦公式求值，解決這類求值問題需要注意以下兩點：①利用同角三角平方關系求值時，要求對象角的范圍，確定所求值的正負；②利用已知角來配湊未知角，然后利用合適的公式求解．3、D【解析】

由圖象求得函數解析式的參數，再利用誘導公式將異名函數化為同名函數根據圖象間平移方法求解.【詳解】由圖象可知，又，所以，又因為，所以，所以，又因為，又，所以所以又因為故選D.【點睛】本題考查由圖象確定函數的解析式和正弦函數和余弦函數圖象之間的平移，關鍵在于將異名函數化為同名函數，屬于中檔題.4、C【解析】

先根據題干描述，畫出ABCD的相對位置，再解三角形．【詳解】如圖先求出，的長，然后在中利用余弦定理可求解．在中，，可得．在中，，，，∴，∴．在中，，∴．故選C.【點睛】本題考查正余弦定理解決實際問題中的距離問題，正確畫出其相對位置是關鍵，屬于中檔題．5、D【解析】對于A，當ab<0時不成立；對于B，若x<0，則x＋＝－≤－2＝－4，當且僅當x＝－2時，等號成立，因此B選項不成立；對于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C選項不成立；對于D，若x<0，則2x＋2－x>2成立．故選D.6、B【解析】

解：因為如果一條直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項A，可能相交．選項C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側棱，選項D，三線共點，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.7、D【解析】解：因為為異面直線，直線，則與的位置關系是異面或相交，選D8、B【解析】

首先分別求出向量，然后再用兩向量平行的坐標表示，最后求值.【詳解】,,當時，，解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標表示，屬于基礎題型.9、A【解析】

通過豎式除法，用2019除以16，取其余數，再用商除以16，取其余數，直至商為零，將余數逆著寫出來即可.【詳解】用2019除以16，得余數為3，商為126；用126除以16，得余數為14，商為7；用7除以16，得余數為7，商為0；將余數3,14,7逆著寫，即可得7E3.故選：A.【點睛】本題考查進制的轉化，只需按照流程執行即可.10、C【解析】

求得圓心，代入直線的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.【詳解】圓的圓心為，由于直線平分圓，故圓心在直線上，即，所以，當且僅當時等號成立.故選：C【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查利用基本不等式求最小值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、80【解析】

由即可求出【詳解】因為是等比數列，所以，所以即故答案為：80【點睛】本題考查的是等比數列的性質，較簡單12、10【解析】

利用兩直線平行，先求出，再由兩平行線的距離公式求解即可【詳解】由題意，，所以，，所以直線：，化簡得，由兩平行線的距離公式：.故答案為：10【點睛】本題主要考查兩直線平行的充要條件，兩直線和平行的充要條件是，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎題.13、-6【解析】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，當向下平移時，減小，因此當過點時，為最小值．14、②③【解析】

根據，分當和兩種情況分類討論，每一類中利用正、余弦函數的單調性判斷，特別注意，當時，.【詳解】當時，在上是增函數，因為，所以，因為在上是減函數，且，所以，當時，且，因為在上是減函數，所以，而，所以.故答案為：②③【點睛】本題主要考查了正弦函數與余弦函數的單調性在三角形中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15、【解析】

分子、分母同除以，將代入化簡即可.【詳解】因為，所以,故答案為.【點睛】本題主要考查同角三角函數之間的關系的應用，屬于基礎題.同角三角函數之間的關系包含平方關系與商的關系，平方關系是正弦與余弦值之間的轉換，商的關系是正余弦與正切之間的轉換.16、【解析】

假設正方體棱長，根據//，得到異面直線與所成角，計算，可得結果.【詳解】假設正方體棱長為1，因為//，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【點睛】本題考查異面直線所成的角，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）或．【解析】

（1）利用圓心在直線上設圓心坐標，利用相切列方程即可得解；（2）利用最大值為7確定圓，設點的坐標，找到到圓上點的最大距離列方程得解．【詳解】解：（1）設圓心的坐標為，因為圓與直線相切，所以，即，解得或，故圓的方程為：，或；（2）由最大值等于可知，若圓的方程為，則的最小值為，故不故符合題意；所以圓的方程為：，設，則，的最大值為：，得，解得或．故點的坐標為或．【點睛】此題考查了圓方程的求法，點到圓上點的距離最值等，屬于中檔題．18、（1）為，為；（2）產品投入3.75萬元，產品投入6.25萬元，最大利潤為4萬元【解析】

（1）根據題意給出的函數模型，設；代入圖中數據求得既得，注意自變量；（2）設產品投入萬元，則產品投入萬元，設企業利潤為萬元.，列出利潤函數為，用換元法，設，變化為二次函數可求得利潤的最大值．【詳解】解：（1）設投資為萬元，產品的利潤為萬元，產品的利潤為萬元由題設知；由圖1知，由圖2知，則，.（2）設產品投入萬元，則產品投入萬元，設企業利潤為萬元.，，令，則則當時，，此時所以當產品投入3.75萬元，產品投入6.25萬元，企業獲得最大利潤為4萬元.【點睛】本題考查函數的應用，在已知函數模型時直接設出函數表達式，代入已知條件可得函數解析式．19、（1）；（2）【解析】

（1）根據之間關系，可得結果（2）利用錯位相減法，可得，然后使用分離參數的方法，根據單調性，計算其范圍，可得結果.【詳解】（1）當時，兩式相減得：當時，，不符合上式所以（2）令，所以所以令①②所以①-②：則化簡可得故，若存在，使得成立即存在，成立故，由，則所以可知數列在單調遞增所以，故【點睛】本題考查了之間關系，還考查了錯位相減法求和，本題難點在于的求法，重點在于錯位相減法的應用，屬中檔題.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】

(1)連接與與交于點，在利用中位線證明平行.(2)首先證明平面，由于平面，證明得到結論.【詳解】證明：（1）連接與交于點，連接因為底面為菱形，所以為中點因為為中點，所以平面，平面，所以平面（2）在直四棱柱中，平面，平面所以因為底面為菱形，所以所以，，，平面，平面所以平面因為平面，所以【點睛】本題考查直棱柱得概念和性質，考查線面平行的判定定理，考查線面垂直的判定定理，考查了學生的邏輯能力和書寫能力，屬于簡單題21、（1）；；（2）0.6【解析】

(1)從分數落在,的頻率為,人數為2,求出總人數的值,從而求出面試成績的中位數及分數在,內的人數;(2)用列舉法列出所有可能結果,確定其中符合要求的事件,即可求出概率.【詳解】(1)∵分數落在的頻率為,人數為2,∴,故,∵分數在的人數為15人,∴分數在的人數為人,又∵分數在的人