從數學思維角度談高考

——2018浙江高考展望

噪州中學俞海東

引子：

數學思維：指在數學活動中的思維，是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、

結構關系）交互作用并按照一定思維規律認識數學內容的內在理性活動.它既具

有思維的一般性質，又有自己的特性.最主要的特性表現在其思維的材料和結果

都是數學內容.

1.什么是觀察：觀察是有目的、有計劃地通過視覺器官去認識數學對象、性質

以及相互關系的活動.觀察過程是對數學思維材料的接收，或稱數學思維信息的

輸入過程.

例1設集合A={x|/+2x-3>0},B={x|x2-2ax-\<0,6r>1}

若AD5中恰含有一個整數，則實數〃的取值范圍是（）

A（°十）BC［；,+8）D（l,4-oo）

例2已知x>yN0,求^^+旦最小值

x+yx-y

2.什么是實驗：數學實驗就是人們根據數學研究的需要，人為地、有目的地、

模擬地創設一些有利于觀察的數學對象，并對其實行觀察和研究的一種方式

例3已知|+ax+h\<c（a,beR,c>0）在［1,3］上恒成立，求c的最小值為.

3.什么是推理：推理：由一個或幾個已知的判斷（前提），推導出一個未知的

結論的思維過程推理是形式邏輯是研究人們思維形式及其規律和一些簡單的邏

輯方法

例4已知=2,求證：a+b<2

變：已知。3+/?3?2,能推出。+匕42

一、觀察函數

【蘇】別爾曼特一一函數的概念的定義：若對于一個變量的每一個數值，都對應

著另一個變量的一個確定的數值，則后一個變量叫做前一個變量的函數

,也就是說兩個變量之間有函數關系

例5存在函數f(x)滿足：對于任意xeR都有

A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+l)=|x+l|D.f(x2+2x)=|x+11

1.已知定義域和對應關系得到值域

例6已知/(X)=匕2,x口,2],求值域

X

2.已知值域和對應關系得到定義域

例7已知/(x)=x+3.1+2,xe[a,b],若ye[20,6],求b-a最小值

x

3.觀察函數的相似性

相似性

例8設a>0,b>0.

A,若2，+2a=2b+3b,則a>bB.^r2a+2a=2b+3b,則a<b

C.若2叱2a=2卜3憶則a>bD.若2、2a=2”3b,則a<b

3.分解

碰到函數的對應關系不是基本函數類型，無法直接作出圖象的，就進入分解環節

函數的分解一般由五種形式

函數看成是兩個函數的和F(x)=f(%)+g(x)

函數看成是兩個函數的差b(x)=f(x)-g(x)

函數看成是兩個函數的積F(x)=/(x)g(x)

函數看成是兩個函數的商F(x)=四

g(x)

函數看成是兩個函數的復合尸(X)=/(g(x))

內外分解(復合函數)的形象：將一個帶進口與出口的小黑匣子，放入一

個帶進口與出口的大黑匣子內對于從進口進入小黑匣子的任何X在出口有唯一

的t出來，對于從進口進入黑匣子的任何t在出口有唯一的y出來,其中t作為

中介，既受小黑匣子的制約，又受大黑匣子的制約，如圖5所示

例9關于函數/(x)=sin2x—1g)'+g,有下面四個結論：

(1)/(x)是奇函數；(2)當x>2003時，恒成立；

(3)/(x)的最大值是|;(4)/(x)的最小值是-g.

其中正確結論的個數是().

A.1個B.2個C.3個D.4個

例10已知e為自然對數的底數，設函數/(x)=(/7)(x—l?(左=1,2),則()

A當上1時，/(X)以處取得極小值

B當&=1時，/(x)以x=l處取得極大值

C當上2時，f(x)以41處取得極小值

D當U2B寸，f(x)以x=l處取得極大值

二、觀察多元函數：

文字表達：兩個變量的每一對所考慮的數值對應著另一個變量的一個數值，則第

三個變量叫做前兩個變量的函數

符號表達：z=/(x,y),(x,y)ED

如果讓自變量之一例如x,保持常數x=a,而另一個變量y仍算作是可變的，

那么z=.f(x,y)就變成一個變量y的函數z=f(a,y)

同樣如果讓自變量之一例如x,保持常數y=人而另一個變量元仍算作是可變的,

那么z=/(x,y)就變成一個變量x的函數z=/(%,/?)

所以對于兩元函數，如何處理成一元函數是關鍵

例11觀察代數式的幾何意義

若實數X,y滿足x2+y2gl,則I2x+y—21+16—X—3y|的最小值是

三、實驗

例12（浙江高考）設向量a,8滿足：|a|=3,|b|=4,ab=O.以a,5,a—b的模

為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為（）

A.3B.4C.5D.6

例13（2015年浙江高考）如圖，已知△ABC,D是AB的中點，沿直線CD將△ACD翻折

成AACD,所成二面角A，一CD—B的平面角為a,則

A./ADBWaB.ZAfDB>aC.ZArCB<aD.ZAzCB>a

三、觀察推理

1.何為代數，一個字“代”

例14對于正實數a,記為滿足下述條件的函數/（x）構成的集合：VJZZGR且

X2>Xt,有_￡（>2_玉）</02）_/（芭）<&（工2_玉）.下列結論中正確的是（）

A.若/(X)右此ig(x)eMa2,則/'(x>g(x)eMa|,a2

B.若g(x)&Ma2,且g(x)?0,則/里6加⑶

g(x)石

C.若/(x)eMa],g(x)6Ma2,則f(x)+g(x)Ga\+a2

D.若/(x)eMai，g(x)GMa2,且以>。2，則/(x)一g(x)e

2.由等式推出等式

在aABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2c2s4二3咨C=3c-2a,求q.

cosBbc

3由等式推出不等式

例15若且sinx=xcosy,則()

JQ尢XX

A.y<—B.—<y<—C.—<y<xD.x<y

“44~22J

例16.已知實數蒼y滿足/