第七節利用向量求空間角和距離內容索引必備知識·自主學習【教材·知識梳理】1.異面直線所成角的求法設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則：2.直線和平面所成角的求法如圖所示，設直線l的方向向量為e，

平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ=|cosθ|=________.3.二面角的求法(1)如圖①，AB，CD是二面角α-l

-β兩個半平面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小為θ=___________.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l

-β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ=cos<n1，n2>或-cos<n1，n2>.【常用結論】1.利用空間向量如何求線段長度利用||2=可以求空間中有向線段的長度.2.點到平面的距離①“作一證一求”法：作出點P到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉移法：如果平面α的斜線上兩點A，B到斜足C的距離AC，BC的比為m∶n，則點A，B到平面α的距離比也為m∶n；③體積法：通常借助三棱錐，通過轉換底面與頂點求點到平面的距離.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)設a,b是異面直線l1,l2的方向向量,則l1與l2所成的角就是a,b的夾角.()(2)設a是直線l的方向向量,b是平面α的法向量,則直線l與平面α成的角就是a,b的夾角. ()(3)設a,b是兩個平面α,β的法向量,則α與β所成的二面角的大小等于a,b的夾角的大小. ()(4)利用可以求空間中有向線段的長度. ()(5)直線l的方向向量與平面α的法向量夾角為120°,則l和α所成角為30°.()提示:(1)×.因為<a,b>∈(0,π),l1與l2夾角θ∈(0,].(2)×.因為<a,b>的余弦的絕對值等于線面角的正弦值.(3)×.因為<a,b>與二面角的大小相等或互補.(4)√.(5)√.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1混淆線線角與兩向量夾角的范圍致誤考點一、T1,22線面角與向量夾角混淆致誤考點二、典例【教材·基礎自測】1.(選修2-1P115習題3-2AT1改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為 ()

【解析】選D.建立如圖空間直角坐標系D-xyz,

設DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E,則=(-1,1,0),=,設異面直線DE與AC所成的角為θ,則cosθ=|cos<>|=.2.(選修2-1P114練習AT4改編)如圖所示,在空間直角坐標系中,有一棱長為a的正方體ABCO-A′B′C′D′,A′C的中點E與AB的中點F的距離為________.

【解析】由圖易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,答案:a3.(選修2-1P108練習AT3改編)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為2,則AC1與側面ABB1A1所成的角為________.

【解析】以A為原點,以(AE⊥AB),所在直線為坐標軸(如圖)建立空間直角坐標系,設D為A1B1的中點,

則A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),所以=(1,,2),=(1,0,2).