山東省青島市2025屆高一下數學期末統考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，，若，則實數a的值為A． B．2或 C．或1 D．2．等差數列{an}的前n項和為Sn，若S9＝S4，則S13＝（）A．13 B．7 C．0 D．13．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45° C．60° D．90°4．已知，，那么是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的個數為①若，，則②若，則③若，則④若，則A．1 B．2 C．3 D．46．棱柱的側面一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．正方形 D．菱形7．設等比數列的前項和為，若，公比，則的值為（）A．15 B．16 C．30 D．318．已知數列中，，，且，則的值為（）A． B． C． D．9．記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，則的取值范圍為()A． B． C． D．10．若直線過，，則該直線的斜率為A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知1，，，，4成等比數列，則______.12．等差數列滿足，則其公差為__________．13．一個社會調查機構就某地居民收入調查了10000人，并根據所得數據畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進一步調查，則月收入在（元）內的應抽出___人.14．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．15．方程的解集是____________.16．在等比數列中，，公比，若，則達到最大時n的值為____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數．（1）求函數的單調遞增區間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且，，求△ABC的面積的最大值．18．某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第1號車站（首發站）乘車，假設每人自第2號站開始，在每個車站下車是等可能的，約定用有序實數對表示“甲在號車站下車，乙在號車站下車”（Ⅰ）用有序實數對把甲、乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來；（Ⅱ）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；（Ⅲ）求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率．19．已知的外接圓的半徑為，內角，，的對邊分別為，，，又向量，，且.（1）求角；（2）求三角形的面積的最大值并求此時的周長.20．如果數列對任意的滿足：，則稱數列為“數列”.（1）已知數列是“數列”，設，求證：數列是遞增數列，并指出與的大小關系（不需要證明）；（2）已知數列是首項為，公差為的等差數列，是其前項的和，若數列是“數列”，求的取值范圍；（3）已知數列是各項均為正數的“數列”，對于取相同的正整數時，比較和的大小，并說明理由.21．已知函數=的定義域為=的定義域為(其中為常數).(1)若,求及;(2)若,求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據題意，由向量平行的坐標表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【詳解】根據題意，向量，，若，則有，解可得或1；故選C．【點睛】本題考查向量平行的坐標表示方法，熟記平行的坐標表示公式得到關于a的方程是關鍵，是基礎題2、C【解析】

由題意，利用等差數列前n項和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．【詳解】∵等差數列{an}的前n項和為Sn，S9＝S4，∴4a1，解得a1＝﹣6d，∴S1378d﹣78d＝1．故選：C．【點睛】本題考查等差數列的前n項和公式的應用，考查運算求解能力，是基礎題．3、C【解析】連接，由三角形中位線定理及平行四邊形性質可得，所以是與所成角，由正方體的性質可知是等邊三角形，所以，與所成角是,故選C.4、C【解析】

根據,,可判斷所在象限.【詳解】,在三四象限.,在一三象限，故在第三象限答案為C【點睛】本題考查了三角函數在每個象限的正負，屬于基礎題型.5、A【解析】

根據面面垂直的定義判斷①③錯誤，由面面平行的性質判斷②錯誤，由線面垂直性質、面面垂直的判定定理判定④正確．【詳解】如圖正方體，平面是平面，平面是平面，但兩直線與不垂直，①錯；平面是平面，平面是平面，但兩直線與不平行，②錯；直線是直線，直線是直線，滿足，但平面與平面不垂直，③錯；由得，∵，過作平面與平面交于直線，則，于是，∴，④正確．∴只有一個命題正確．故選A．【點睛】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關系．對一個命題不正確，可只舉一例說明即可．對正確的命題一般需要證明．6、A【解析】根據棱柱的性質可得：其側面一定是平行四邊形，故選A.7、A【解析】

直接利用等比數列前n項和公式求.【詳解】由題得.故選A【點睛】本題主要考查等比數列求和，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、A【解析】

由遞推關系，結合，，可求得，，的值，可得數列是一個周期為6的周期數列，進而可求的值。【詳解】因為，由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得由此推理可得數列是一個周期為6的周期數列，所以，故選A。【點睛】本題考查由遞推關系求數列中的項，考查數列周期的判斷，屬基礎題。9、B【解析】

建立空間直角坐標系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，即

，從而可求λ的取值范圍．【詳解】

由題設，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范圍是（

，1），故選B.

點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．10、A【解析】

由直線的斜率公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，直線過點，，由斜率公式，可得斜率，故選A．【點睛】本題主要考查了斜率公式的應用，其中解答中熟記直線的斜率公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

因為1，，，，4成等比數列，根據等比數列的性質，可得，再利用，確定取值.【詳解】因為1，，，，4成等比數列，所以，所以或，又因為，所以.故答案為:2【點睛】本題主要考查等比數列的性質，還考查運算求解的能力，屬于基礎題.12、【解析】

首先根據等差數列的性質得到，再根據即可得到公差的值.【詳解】，解得.，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列的性質，熟記公式為解題的關鍵，屬于簡單題.13、25【解析】由直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分層抽樣應抽出人．故答案為25.14、如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【解析】

將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.15、【解析】

由方程可得或，然后分別解出規定范圍內的解即可.【詳解】因為所以或由得或因為，所以由得因為，所以綜上：解集是故答案為：【點睛】方程的等價轉化為或，不要把遺漏了.16、7【解析】

利用，得的值【詳解】因為，，所以為7.故答案為：7【點睛】本題考查等比數列的項的性質及單調性，找到與1的分界是關鍵，是基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】

（1）利用二倍角公式、輔助角公式進行化簡,，然后根據單調區間對應的的公式求解單調區間；（2）根據計算出的值，再利用余弦定理計算出的最大值則可求面積的最大值，注意不等式取等號條件.【詳解】解:（1）∴函數的單調遞增區間為,（2）由（1）知得（舍）或∴有余弦定理得即∴當且僅當時取等號∴【點睛】（1）輔助角公式：；（2）三角形中，已知一邊及其對應角時，若要求解面積最大值，在未給定三角形形狀時，可選用余弦定理求解更方便，若是給定三角形形狀，這時選用正弦定理并需要對角的范圍作出判斷.18、（Ⅰ）（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】(Ⅰ)甲、乙兩人下車的所有可能的結果為(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)(Ⅱ)設甲、乙兩人同在第3號車站下車的的事件為A，則(Ⅲ)設甲、乙兩人在不同的車站下車的事件為B，則19、(1).(2)，周長為.【解析】

（1）由，利用坐標表示化簡，結合余弦定理求角C（2）利用（1）中，應用正弦定理和基本不等式，即可求出面積的最大值，此時三角形為正三角即可求周長.【詳解】（1）∵，∴，且，由正弦定理得：，化簡得：.由余弦定理：，∴，∵，∴.（2）∵，∴（當且僅當時取“”），所以，，此時，為正三角形，此時三角形的周長為.【點睛】本題主要考查了利用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，屬于中檔題.20、（1）；（2）（3），證明見解析.【解析】

（1）由新定義，結合單調性的定義可得數列是遞增數列；再根據，，可得；（2）運用新定義和等差數列的求和公式，解絕對值不等式即可得到所求范圍；（3）對一切，有．運用數學歸納法證明，注意驗證成立；假設不等式成立，注意變形和運用新定義，即可得證．【詳解】（1）證明：數列是“數列”，可得，即，即，可得數列是遞增數列，.（2）數列是“數列”，可得，即，可得，即有，或，或，即或或，所以.（3）數列是各項均為正數的“數列”，對于取相同的正整數時，，