模型介紹模型介紹★旋轉動角問題三步解題技巧總結一.根據題意找到目標角度二.表示出目標角度1.角度一邊動另一邊不動,角度變大:目標角=起始角+速度×時間2.角度一邊動另一邊不動,角度變小:目標角=起始角-速度×時間3.角度一邊動另一邊不動,角度先變小后變大:變小:目標角=起始角-速度×時間變大:目標角=速度×時間-起始角4.角度兩邊都動,運動方向相同且變大目標角=起始角+速度差×時間5.角度兩邊都動,運動方向相同且變小目標角=起始角-速度差×時間6.角度兩邊都動,運動方向相反目標角=起始角+速度和×時間三.根據題意列方程求解例題精講例題精講【例1】．如圖，已知∠AOB＝126°，∠COD＝54°，OM在∠AOC內，ON在∠BOD內，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，當OC邊與OB邊重合時，∠COD從圖中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜126），則n°＝51°或69°．時，∠MON＝2∠BOC．解：①0°＜n＜54°時，∠BOC＝n°，∠MON＝2n°，∠MON＝（126°+n°）+54°﹣（54°+n°）＝100°，∴n＝51．②當54°＜n＜126°時，∠AOC＝360°﹣（126°+n°）＝234°﹣n°，∠BOD＝54°+n°，∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON＝360°﹣（234°﹣n°）﹣126°﹣（54°+n°）＝138°∴n＝69．綜上所述，n的值為51或69．故答案為：51°或69°．變式訓練【變式1-1】．已知兩個完全相同的直角三角形紙片△ABC、△DEF，如圖放置，點B、D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，現將圖中的△ABC繞點F按每秒15°的速度沿逆時針方向旋轉180°，在旋轉的過程中，△ABC恰有一邊與DE平行的時間為2或8或10秒．解：∵∠E＝∠ABC＝30°，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，∴∠D＝∠A＝60°．①當DE∥AC時，如圖1中，∵∠C＝90，∴AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴∠D+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，∴旋轉時間t＝＝2s．②如圖2中，當DE∥BC時，∠BFE＝∠E＝30°，∴∠DFB＝90°+30°＝120°，∴旋轉時間t＝＝8s．③當DE∥AB時，如圖3中，∴∠BGF＝∠E＝30°，∴∠BFE＝30°+30°＝60°，∴∠DFB＝60°+90°＝150°，∴旋轉時間t＝＝10s．綜上所述，旋轉時間為2s或8s或10s時，△ABC恰有一邊與DE平行．故答案為：2或8或10．【變式1-2】．如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．如圖2，若∠MPN＝75°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒15°的速度逆時針旋轉，射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成180°時，PQ與PM同時停止旋轉，設旋轉的時間為t秒．當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時，t的值為3或或．解：當∠NPQ＝∠MPN時，15t＝（75+5t），解得t＝3；當∠NPQ＝∠MPN時，15t＝（75+5t），解得t＝．當∠NPQ＝∠MPN時，15t＝（75+5t），解得t＝．故t的值為3或或．故答案為：3或或．【例2】．一副三角板按圖1方式拼接在一起，其中邊OA，OC與直線EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不動，將三角板AOB繞著點O順時針旋轉一個角度α，（如圖2），在轉動過程中兩塊三角板都在直線EF的上方，當OB平分由OA，OC，OD其中任意兩邊組成的角時，α的值為30°或90°或105°．解：當OB平分∠AOD時，∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，∴∠AOB＝∠AOD＝60°﹣α＝45°，∴α＝30°，當OB平分∠AOC時，∵∠AOC＝180°﹣α，∴∠AOB＝90°﹣α＝45°，∴α＝90°；當OB平分∠DOC時，∵∠DOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，綜上所述，旋轉角度α的值為30°或90°或105°；故答案為：30°或90°或105°．變式訓練【變式2-1】．將一副直角三角板ABC，ADE按如圖1疊加放置，其中B與E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．將三角板ADE從圖1位置開始繞點A順時針旋轉，并記AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的平分線，當三角板ADE旋轉至如圖2的位置時，∠MAN的度數為37.5°．解：∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAE＝∠BAE，∠NAC＝∠DAC，∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE＝（∠BAE+∠DAC）﹣∠CAE＝（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE＝×75°＝37.5°；故答案為：37.5．

【變式2-2】．如圖①，O為直線AB上一點作射線OC，使∠AOC＝120°，將一個直角三角尺如圖擺放，直角頂點在點O處，一條直角邊OP在射線OA上，將圖①中的三角尺繞點O以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉（如圖②所示），在旋轉一周的過程中第t秒時，OQ所在直線恰好平分∠BOC，則t的值為24s或60s．解：如圖1，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∵OQ平分∠BOC，∴∠BOQ＝∠BOC＝30°，∴t＝＝24s；如圖2，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∵OQ′平分∠BOC，∴∠AOQ＝∠BOQ′＝∠BOC＝30°，∴t＝＝60s，綜上所述，OQ所在直線恰好平分∠BOC，則t的值為24s或60s，故答案為：24s或60s．1．如圖，已知PQ∥MN，點A，B分別在MN，PQ上，射線AC自射線AM的位置開始，以每秒3°的速度繞點A順時針旋轉至AN便立即逆時針回轉，射線BD自射線BP的位置開始，以每秒1°的速度繞點B逆時針旋轉至BQ后停止運動．若射線BD先轉動30秒，射線AM才開始轉動，當射線AC，BD互相平行時，射線AC的旋轉時間為37.5或105秒．解：根據題意，需要分兩種情況，當射線AC順時針旋轉時，如圖所示：∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDN，∵BD∥AC，∴∠BDA＝∠CAN，∴∠PBD＝∠CAN，設射線AC運動時間為t，則∠MAC＝3°t，∠PBD＝30°+1°t，∴∠CAN＝180°﹣3°t，∴30°+1°t＝180°﹣3°t，解得t＝37.5．當射線AC逆時針旋轉時，如圖所示：∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDN，∵BD∥AC，∴∠BDA＝∠CAN，∴∠PBD＝∠CAN，設射線AC運動時間為t，則∠CAN＝3°t﹣180°，∠PBD＝30°+1°t，∴30°+1°t＝3°t﹣180°，解得t＝105．故答案為：37.5或105．2．如圖1，直線ED上有一點O，過點O在直線ED上方作射線OC，將一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線ED上方，將直角三角板繞著點O按每秒10°的速度逆時針旋轉一周，旋轉時間為t秒．若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝140°．則在旋轉過程中，如圖2，當t＝2或8或32秒時，射線OA，OC與OD中的某一條射線恰好是另兩條射線所夾角的平分線．解：當射線OA是∠COD的平分線時，∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分線，∴∠AOD＝∠COD＝20°，∴t＝＝2；當射線OC是∠AOD的平分線時，∠AOD＝2∠COD＝80°，∴t＝＝8；當射線OD是∠COA的平分線時，360﹣10t＝40，∴t＝32，故答案為：2或8或32．3．如圖1，已知∠ABC＝50°，有一個三角板BDE與∠ABC共用一個頂點B，其中∠EBD＝45°．（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度數；（2）如圖2，將三角板繞著點B順時針旋轉α度（0°＜α＜90°），當AB⊥BD時，求∠EBC的度數．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠CBD＝＝25°，∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝45°+25°＝70°．（2）∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠DCB＝90°﹣50°＝40°，∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝45°﹣40°＝5°．

4．將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數；（2）如圖（1），求∠BOD+∠AOC的度數；（3）如圖（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉．試猜想在旋轉過程中，∠AOC與∠BOD有何數量關系？請說明理由．解：（1）若∠AOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；（2）∵∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°；（3）∠AOC與∠BOD互補．當∠AOB與∠DOC有重疊部分時，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°；當∠AOB與∠DOC沒有重疊部分時，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．5．已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：（1）如圖1，OC為∠AOB內部任意一條射線，求∠MON＝30°；（2）如圖2，當OC旋轉到∠AOB的外部時，∠MON的度數會發生變化嗎？請說明原因；（3）如圖3，當OC旋轉到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射線OC在OB的下方時，OM平分∠AOC，射線ON在∠BOC內部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的值？解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC＝∠AOC，∴∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠BOC+∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．故答案為：30°；（2）不變，當OC旋轉到∠AOB的外部時，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC＝∠AOC，∴∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．∴∠MON的度數不會發生變化；（3）當OC旋轉到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射線OC在OB的下方時，∵OM平分∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOC，∴∠COM﹣∠BON＝∠AOC﹣×∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝30°．6．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如圖1，求∠CON的度數；（2）將圖1中的∠MON繞點O以每秒20°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，如圖2，若直線ON恰好平分銳角∠AOC，求∠MON所運動的時間t值；（3）在（2）的條件下，當∠AOC與∠NOC互余時，求出∠BOC與∠MOC之間的數量關系．解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC＝，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；（2）當直線ON平分∠AOC時，如圖，ON'平分∠AOC，逆時針旋轉60度至ON''時，直線ON平分所以t＝3，∵∠AOC＝60°，∴∠AON'＝30°，此時射線ON逆時針旋轉60度，∴∠MON所運動的時間t＝60÷20＝3（s）；如圖②，∵直線ON恰好平分銳角∠AOC，∴ON沿逆時針旋轉的度數為90°+150°＝240°，∴∠MON所運動的時間t＝＝12（s）；綜上，∠MON所運動的時間t值為3s或12s；（3）如圖③所示：∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM與OA重合∴∠BOC與∠MOC互補．如圖②所示：當ON平分∠AOC時，∠AOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°，∴∠BOC＝∠MOC．綜上所述：∠BOC與∠MOC互補或相等．

7．點O直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數；（2）如圖2，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數；（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖3時，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度數．解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分線，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，∴4∠NOC+∠NOC＝25°，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．

8．以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個直角三角板的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，求∠COD的度數；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O順時針轉動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，求∠COD的度數；（3）將直三角板DOE繞點O順時針轉動（OD與OB重合時為停止）的過程中，恰好∠COD＝∠AOE，求此時∠BOD的度數．解：（1）由題意得∠BOD＝90°，∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°．（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝70°，∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，（3）①當∠COD在∠BOC的內部時，∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝40°﹣∠BOD，∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD＝∠AOE，∴40°﹣∠BOD＝（90°﹣∠BOD），∴∠BOD＝15°；②當∠COD在∠BOC的外部時，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝∠BOD﹣40°，∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD＝∠AOE，∴∠BOD﹣40°＝（90°﹣∠BOD），∴∠BOD＝52.5°，綜上所述：∠BOD的度數為15°或52.5°．9．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD內的射線．（1）如圖1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．當OB繞點O在∠AOD內旋轉時，求∠MON的大小；（2）如圖2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．當∠BOC繞點O在∠AOD內旋轉時，求∠MON的大小；（3）在（2）的條件下，若∠AOB＝10°，當∠BOC在∠AOD內繞著點O以2度/秒的速度逆時針旋轉t秒時，∠AOM＝∠DON．求t的值．解：（1）因為∠AOD＝160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，即∠MON＝∠MOB+∠BON＝∠AOB∠BOD＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝80°，答：∠MON的度數為80°；（2）因為OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，當OC在OB左側時，如圖：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC＝×180°﹣20°＝70°；如圖，當射線OC在OB右側時，∵∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝∠AOC+∠BOD+∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）+∠BOC＝（∠AOD﹣∠BOC）+∠BOC＝×140°+20°＝90°；答：∠MON的度數為70°或90°．（3）∵射線OB從OA逆時針以2°每秒的速度旋轉t秒，∠COB＝20°，∴根據（2）中，得∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．∵射線OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t°．∵射線ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON＝2：3，∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，解得t＝21．答：t的值為21秒．10．點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖①，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，則∠MOC＝25°；（2）如圖②，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的角平分線，求旋轉角∠BON和∠CON的度數；（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖③時，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度數．解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．故答案為：25°．（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分線，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°．∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°．∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°．即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°．∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°．∴4∠NOC+∠NOC＝25°．∴∠NOC＝5°．∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．11．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．（2）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，求∠AOM﹣∠NOC的度數．解：（1）直線ON平分∠AOC．理由如下：如圖，設ON的反向延長線為OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB＝，又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠BOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD＝∠AOC，∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC；（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．12．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本題中的角均為大于0°且小于等于180°的角）．（1）如圖1，當OB、OC重合時，求∠EOF的度數；（2）當∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜90）時，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，請說明理由．（3）當∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180）時，滿足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，則n＝30或50或90．解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值不是定值，理由是：當0＜n＜80時，如圖2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；當n＝80時，∠AOC＝180°，∠AOE﹣∠BOF＝（100°+80°）﹣（40°+80°）＝30°；當80＜n＜90時，如圖3．∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣n°，∠BOF＝（40°+n°），則∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣n°，不是定值；（3）當0＜n＜40時，C和D在OA的右側，∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴（140+n）+70°＝6×40，∴n＝30．當40≤n＜80時，如圖2所示，D在OA的左側，C在OA的右側．當∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°時，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴220°﹣n°+70°＝6×40°，解得n＝50．當80＜n＜140時，如圖3所示，∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣n°＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，則（220﹣n）+110°＝240°，解得n＝90°；當140≤n＜180時，∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，則220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．故答案是：30或50或90．13．新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線是這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC的度數為15°或22.5°或30°；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值．解：（1）一個角的平分線是這個角的“幸運線”；故答案為：是；（2）①設∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，由題意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②設∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③設∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝30°，故答案為：15°或22.5°或30°；（3）當0＜t≤4時，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若射線OA是∠MON的幸運線，則∠AON＝，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；當4＜t＜9時，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若射線ON是∠AOM的幸運線，則∠AON＝∠MOA即15t﹣60＝×20t，解得t＝12（舍）；∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝；∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝36（舍）；故t的值是或或或．14．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分別是∠AOB和∠COD的平分線．（1）如圖1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的內部，求∠MON的度數；（2）如圖2，固定∠AOB，將圖1中的∠COD繞點O順時針旋轉n°（0＜n≤90）．①∠MON與旋轉度數n°有怎樣的數量關系？說明理由；②當n為多少時，∠MON為直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不變，∠COD的邊OD的位置不變，改變∠COD的大小；將圖1中的OC繞著O點順時針旋轉m°（0＜m≤100），如圖③，請直接寫出∠MON與旋轉度數m°之間的數量關系：∠MON＝m°+25°．解：（1）如圖1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；（2）如圖2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；②當∠MON＝90°時，n+25＝90，∴n＝65．（3）如圖3中，當ON在∠AOB內部時∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°﹣m°）＝m°+25°．當ON在∠AOB外部時時，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+m°﹣40＝m°+25°．綜上所述，∠MON＝m°+25°．故答案為：∠MON＝m°+25°．15．已知∠AOB，過頂點O作射線OP，若∠BOP＝∠AOP，則稱射線OP為∠AOB的“好線”，因此∠AOB的“好線”有兩條，如圖1，射線OP1，OP2都是∠AOB的“好線”．（1）已知射線OP是∠AOB的“好線”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度數；（2）如圖2，O是直線MN上的一點，OB，OA分別是∠MOP和∠PON的平分線，已知∠MOB＝30°，請通過計算說明射線OP是∠AOB的一條“好線”；（3）如圖3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射線OP和OA分別從OM和OB同時出發，繞點O按順時針方向旋轉，OP的速度為每秒12°，OA的速度為每秒4°，當射線OP旋轉到ON上時，兩條射線同時停止．在旋轉過程中，射線OP能否成為∠AOB的“好線”．若不能，請說明理由；若能，直接寫出符合條件的所有的旋轉時間5秒或7.5秒．．解：（1）∵射線OP是∠AOB的好線，且∠BOP＝30°，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，①當OP在∠AOB內部時，∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝90°，②當OP在∠AOB外部時，∠A0B＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，∴∠AOB＝90°或30°；（2）∵OB，OA分別是∠MOP和∠PON的平分線，∴∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝（∠MOP+∠NOP）＝90°，∠BOP＝∠BOM＝30°，∴∠AOP＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOP＝∠AOP，∴OP是∠AOB的一條“好線”；（3）5秒或7.5秒．設運動時間為t，則∠MOP＝12t，∠BOA＝4t，①當OP在OB上方時，∠BOP＝80°﹣12t，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，∴80﹣8t＝2（80﹣12t）解得：t＝5；②當OP在OB下方時，∠BOP＝12t﹣80°，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，∴80﹣8t＝2（12t﹣80），解得：t＝7.5；綜上所述：t的值為5秒或7.5秒．故答案為：5秒或7.5秒．16．如圖，點O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，在直線AB上方有射線OM、ON分別從OA和OC開始繞點O順時針旋轉，旋轉過程中始終保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如圖1，證明：ON平分∠MOB；（2）如圖2，在旋轉過程中，當∠CON＝2∠MOQ時，求∠CON的度數；（3）如圖3，在旋轉過程中，∠AOM是銳角，射線OD在∠MON內部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射線OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度數解：（1）設∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠MOB＝2∠NOB，∴ON平分∠MOB；（2）若射線OM在∠AOQ內時，∵OQ平分∠AON，∴∠AOQ＝∠AON＝（90°+α）＝45°+α，∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（45°﹣α），∴α＝22.5°，即∠CON＝22.5°，若射線OM在∠BOQ內時，∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°，∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（α﹣45°），∴α＝45°，即∠CON＝45°，故∠CON的度數為22.5°或45°；（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+α，∠MOQ＝45°﹣α；∠NOB＝90°﹣α＝2（45°﹣α），∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，∵OP平分∠MON，∴∠MOP＝∠MON＝（90°﹣α）＝45°﹣α，情況1：射線OM在∠AOQ內，∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°﹣α﹣30°＝15°﹣α，∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°﹣α）：（15°﹣α）＝3（15°﹣α）：（15°﹣α）＝3，n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2（45°﹣α）：（45°﹣α）＝2，∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，∵∠BOT+∠MOQ＝110°，∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，∴45°﹣α＝15°，解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，情況2：射線OM在∠BOQ內，∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°﹣α）＝α﹣15°，∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°＝3（α﹣15°），∴m＝∠MOQ：∠POD＝（α﹣45°）：（α﹣15°）＝3（α﹣15°）：（α﹣15°）＝3，由情況1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2，∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，∴α﹣45°＝15°，解得∠α＝40°，∴∠AOM＝2α＝80°．故∠AOM的度數為40°或80°．17．如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝40°°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉；當OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉后的對應射線記為OC′，OD旋轉后的對應射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設運動時間為t秒．①當OC′平分∠BON′時，求出對應的t的值；②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存在，請說明理由．解：（1）∵OM為∠AOB的角平分線、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON為∠BOD的角平分線，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案為：40°．（2）如圖①：①逆時針旋轉時：當C′在B上方時，根據題意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′＝∠BOD′＝＝50°﹣2t，∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′＝，即40°﹣4t＝（50°﹣2t），解得：t＝5（s）．當C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．順時針旋轉時：如圖②，同理當C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．當C′在B上方時，即OC′與OB重合，由題意可求OC′與OB重合用的時間＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6＝（s）．∴OC′與OB重合之后，∠BOC′＝6（t﹣）（s）．∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t﹣）+60°＝6t﹣100°．∴∠BON′＝＝（6t﹣100°）＝3t﹣50°，∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′＝，∴6（t﹣）＝（3t﹣50°），解得：t＝30（s）綜上所述t的值為5或30．②逆時針旋轉時：如圖3中，當射線OP在射線OB的上方時，∵∠POB＝（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′＝（100°﹣4t）＝50°﹣2t，∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，當OP與OB重合時，（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．∴0≤t≤15時，|∠BOP﹣∠MON′|的值不變，是40°．當射線OP返回時與OB重合時．時間t＝20+＝，當運動到射線OD與OA共線時，60°+6（t﹣20）＝180°時，解得t＝40，觀察圖象可知，≤t≤40時，|∠BOP﹣∠MON′|的值不變，是40°．當射線OD運動到與射線OB共線時，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t＝，當≤t≤50時，如圖4中，同法可得，∠PON′＝20°，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，綜上所述，滿足條件的t的值為：0≤t≤15或≤t≤40或≤t≤50．18．如圖1，擺放一個三角形紙板ODE，邊OD在正東方向的射線上，點A，B分別在正西，正東方向上，∠COF＝30°，現將三角形紙板ODE從圖1位置開始繞點O以每秒5度的速度逆時針方向勻速旋轉，設旋轉的時間為t秒，在旋轉一周的過程中．（1）當t＝5時，求∠AOD的度數，并寫出點D的方向角；（2）如圖2，當三角形紙板ODE旋轉至△OD1E1時，邊OE1恰好落在射線OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并寫出點F的方向角；（3）當旋轉至△OD2E2時，OE2所在直線平分∠AOC，求t的值．解：（1）因為三角形紙板ODE繞點O旋轉的速度為每秒5度，所以當t＝5時，∠BOD＝25°，此時，點D在北偏東65°方向上，又∠AOD+∠BOD＝180°，所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．（2）如圖2中，設∠BOD1＝x°．因為OD1平分∠BOC，所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，因為∠COF＝30°，所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，又OF平分∠AOD1，即∠AOF＝∠D1OF，因為∠AOF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，所以2（x+30）°+x°＝180°，化解得3x°＝120°，解得x＝40，所