甘肅省金塔四中2024屆中考四模數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.對于非零的兩個實數(shù)。、b,規(guī)定。區(qū)6=工一工，若1區(qū)（％+1）=1,則x的值為（）

ba

3111

A.-B.-C.-D.--

2322

2.若拋物線》=在2-2x-1與x軸有兩個不同的交點，則A的取值范圍為（）

A.k>-1B.k>-lC.?>-1且到0D.4之-1且厚0

3.右圖是由四個小正方體疊成的一個立體圖形，那么它的俯視圖是（）

4.將拋物線y=（x-1）?+3向左平移1個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為（）

A.y=（x—2）~B.y=（x-2）~+6C.y=x?+6D.y=x2

5.在小ABC中，AD和BE是高，ZABE=45°,點F是AB的中點，AD與FE,BE分別交于點G、H.ZCBE=ZBAD,

有下列結(jié)論：①FD=FE；②AH=2CD；?BC?AD=72AE2；④SABEC=SAADF.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.運用乘法公式計算（4+x）（4-x）的結(jié)果是（）

A.x2-16B.16-x2C.16-8x+x2D.8-x2

7.2018的相反數(shù)是（）

B.2018C.-2018

8.如果三角形滿足一個角是另一個角的3倍，那么我們稱這個三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個

智慧三角形三邊長的一組是（）

1,2,31,1,V2C.1,1,73D.1,2,73

函數(shù)y=ax?+l與y=@（a,0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

10.如圖，A、B為。O上兩點，D為弧AB的中點，C在弧AD上，且NACB=120。，DE_LBC于E,若AC=DE,則

=的值為（）

3+73

B.73D.73+1

3

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.若式子生上有意義,則實數(shù)x的取值范圍是

12.若點（。，1）與（-2,b）關(guān)于原點對稱，貝!IT=

13.如圖，數(shù)軸上點A所表示的實數(shù)是.

-2-101A2

14.分解因式：%3-4x=.

15.已知一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,X4,X5的平均數(shù)是3,則另一組新數(shù)據(jù)xi+l,Xl+2,Xj+3,X4+4,X5+5的平均數(shù)是

16.拋物線y=f一4%+3向右平移1個單位，再向下平移2個單位所得拋物線是.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）先化簡，再求值：--4—：^—^—，其中a=L

〃—3ci—92〃一6

4

18.（8分）如圖，已知在AABC中，AB=AC=5,cosB=1,P是邊AB上一點，以P為圓心，PB為半徑的。P與邊

（2）設(shè)PB=x,AAPD的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（3）如果△APD是直角三角形，求PB的長.

19.（8分）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=CD,E是對角線BD上一點，且EA=EC.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如果/BDC=30。，DE=2,EC=3,求CD的長.

D

20.（8分）“低碳生活，綠色出行”是我們倡導(dǎo)的一種生活方式，有關(guān)部門抽樣調(diào)查了某單位員工上下班的交通方式,

繪制了兩幅統(tǒng)計圖：

（1）樣本中的總?cè)藬?shù)為—人；扇形統(tǒng)計十圖中“騎自行車”所在扇形的圓心角為一度；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）該單位共有1000人，積極踐行這種生活方式，越來越多的人上下班由開私家車改為騎自行車.若步行，坐公交

車上下班的人數(shù)保持不變，問原來開私家車的人中至少有多少人改為騎自行車，才能使騎自行車的人數(shù)不低于開私家

車的人數(shù)？

21.（8分）（1）計算：瓜-2sin45°+（2-n）（-）-1；

3

（2）先化簡，再求值二一?5-3其中a=&,b=~2y[2.

a-ab

22.（10分）如圖，在△ABC中，NB=90。，AB=4,BC=L在BC上求作一點P,使PA+PB=BC；（尺規(guī)作圖,

不寫作法，保留作圖痕跡）求BP的長.

23.（12分）光華農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺，先將這50臺聯(lián)合收割機派往A、

B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū).兩地區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見表:

每臺甲型收割機的租金每臺乙型收割機的租金

A地區(qū)18001600

B地區(qū)16001200

（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)

關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分配方案，并將各種

方案設(shè)計出來；

（3）如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農(nóng)機租賃公司提一條合理化建議.

24.先化簡d:以+4+（x-3），然后從一下＜x＜舊的范圍內(nèi)選取一個合適的正整數(shù)作為x的值代入求值.

x-2xx

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、D

【解析】

試題分析：因為規(guī)定。區(qū)6=!-工，所以1區(qū)（x+l）=l-—1=1,所以X=-1，經(jīng)檢驗x=-1是分式方程的解,

bax+122

故選D.

考點：1.新運算；2.分式方程.

2、C

【解析】

根據(jù)拋物線,=履2-2x-1與X軸有兩個不同的交點，得出"-4ac>0,進而求出左的取值范圍.

【詳解】

?.?二次函數(shù)y=fee2-2x1的圖象與x軸有兩個交點，

b2-4ac=(-2)2-4xfcx(-1)=4+4A>0,

：.k>-1,

：拋物線y=kx2-2x-l為二次函數(shù)，

:.胖0,

則k的取值范圍為左>-1且時0,

故選C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與x軸交點的個數(shù)的判斷，熟練掌握拋物線與x軸交點的個數(shù)與b2-4ac的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.注意二次項系數(shù)不等于0.

3、B

【解析】

解：從上面看，上面一排有兩個正方形，下面一排只有一個正方形，故選B.

4、D

【解析】

根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則，

將拋物線y=(x—I1+3向左平移1個單位所得直線解析式為：y=(x-l+l)2+3^y=x2+3；

再向下平移3個單位為：y=x2+3-3=>y=x2.故選D.

5、C

【解析】

根據(jù)題意和圖形，可以判斷各小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題.

【詳解】

??,在AABC中，AD和BE是高，

:.ZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

???點F是AB的中點,

11

；.FD=—AB,FE=-AB,

22

；.FD=FE,①正確；

VZCBE=ZBAD,NCBE+NC=90。，ZBAD+ZABC=90°,

/.ZABC=ZC,

.\AB=AC,

VAD±BC,

/.BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

ZAEH=ZCEB

(AE=BE,

ZEAH=ZCBE

/.△AEH^ABEC(ASA),

/.AH=BC=2CD,②正確；

VZBAD=ZCBE,ZADB=ZCEB,

/.△ABD^ABCE,

ABAD

?■-----=------，即anBC*AD=AB*BE,

BCBE

VZAEB=90°,AE=BE,

.*.AB=V2BE

BC?AD=72BE?BE,

/.BC?AD=V2AE2；③正確；

設(shè)AE=a,則AB=y/2a,

.*.CE=V2a-a,

CE-E

.SBEC_2_CE_-ci2_^\/2

2

即SBEC=￥SABC，

1

；AF=—AB,

2

,"SADF=5SABD=ZSABC，

SABEC^SAADF,故④錯誤，

故選：C.

【點睛】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

6、B

【解析】

根據(jù)平方差公式計算即可得解.

【詳解】

（4+%）（4-x）=42-%2=16-x2,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了整式的乘法公式，熟練掌握平方差公式的運算是解決本題的關(guān)鍵.

7、C

【解析】

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得.

【詳解】2018與-2018只有符號不同，

由相反數(shù)的定義可得2018的相反數(shù)是-2018,

故選C.

【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

8、D

【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判定；

B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；

C、解直角三角形可知是頂角120。，底角30。的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三個角分別是90。，60。，30。的直角三角形，依此即可作出判定.

【詳解】

???1+2=3,不能構(gòu)成三角形，故選項錯誤；

B、???M+12=（及）2,是等腰直角三角形，故選項錯誤；

C、底邊上的高是Jr一（正）2=_1,可知是頂角120。，底角30。的等腰三角形，故選項錯誤；

V22

D、解直角三角形可知是三個角分別是90°,60°,30。的直角三角形，其中90。十30。=3,符合“智慧三角形”的定義，故

選項正確.

故選D

9、B

【解析】

試題分析：分a>0和a<0兩種情況討論：

當a>0時，y=ax2+l開口向上，頂點坐標為（0,1）；y=@位于第一、三象限，沒有選項圖象符合；

當aVO時，y=ax2+l開口向下，頂點坐標為（0,1）；y=@位于第二、四象限，B選項圖象符合.

x

故選B.

考點：1.二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2.分類思想的應(yīng)用.

10、C

【解析】

連接。,6。，D為弧AB的中點，根據(jù)弧，弦的關(guān)系可知，AD=BD,根據(jù)圓周角定理可得：

ZACB=ZADB=120,NCAD=ZCBD,在BC上截取BF=AC,連接DF,則_ACD四ABFD，根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得：CD=FD,ZADC=ZBDF,ZADC+ZADF=NBDF+ZADF,即NCDb=NAD3=120,

DE±BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：CE=EF,NDCF=NDFC=30,設(shè)。E=蒼則BF=AC=x,

DPRF

CE=EF=-------=氐,即可求出——的值.

tan30CE

【詳解】

如圖：

D為弧AB的中點，根據(jù)弧，弦的關(guān)系可知，AD=BD,

根據(jù)圓周角定理可得：ZACB=NADB=120,ZCAD=ZCBD,

在BC上截取BF=AC,連接DF,

AC=BF

<ZCAD=ZFBD,

AD=BD

則ACDgZiBED,

CD=FD,ZADC=ZBDF,

ZADC+ZADF=ZBDF+ZADF,

即ZCDF=ZADB=120,

DE±BC,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：CE=EF,NDCF=NDFC=3。,

設(shè)DE=x,則BF—AC—x,

CE=EF=DE=瓜,

tan30

BE_BF+EF_尤+?_3+括

CECE>/3x3

故選C.

【點睛】

考查弧，弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等，綜合性比較強，關(guān)鍵是構(gòu)

造全等三角形.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11,xW2且"1

【解析】

根據(jù)被開方數(shù)大于等于1,分母不等于1列式計算即可得解.

【詳解】

解：由題意得，2-xNO且

解得％<2且x^l.

故答案為x<2且樣L

【點睛】

本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為1;二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

1

12、—.

2

【解析】

:點(a,1)與(-2,b)關(guān)于原點對稱，...b=-1,a=2,/.ab=2~'=^-故答案為;.

考點：關(guān)于原點對稱的點的坐標.

13、75-1

【解析】

A點到-1的距離等于直角三角形斜邊的長度，應(yīng)用勾股定理求解出直角三角形斜邊長度即可.

【詳解】

解：直角三角形斜邊長度為JF+22=6,則A點到-1的距離等于君，

則A點所表示的數(shù)為：-1+小

【點睛】

本題考查了利用勾股定理求解數(shù)軸上點所表示的數(shù).

14、x(x+2)(x-2).

【解析】

試題分析：x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2).故答案為x(x+2)(x-2).

考點：提公因式法與公式法的綜合運用；因式分解.

15、1

【解析】

根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)知，要求Xl+1,Xl+2,X3+3,X4+4、X5+5的平均數(shù)，只要把數(shù)XI、X2、X3、X4、X5的和表示出即可.

【詳解】

??,數(shù)據(jù)Xl,X2,X3,X4,X5的平均數(shù)是3,

Xl+X2+X3+X4+X5=159

則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為XI+1+.+2+X3；3+X4+4+X5+5=15|15

故答案為：L

【點睛】

本題考查的是樣本平均數(shù)的求法.解決本題的關(guān)鍵是用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

16、y=(工一3)2-3(或y=/一6%+6)

【解析】

將拋物線y=f-4%+3化為頂點式，再按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律平移即可.

【詳解】

解：y=f—4x+3化為頂點式得：y=(x—2)2—1,

...y=(x-2f-1向右平移1個單位，再向下平移2個單位得：

y=(x-2-l)2-l-2=(x-3)2-3,

y={x-3)--3化為一■般式得：y—x~—6x+6,

故答案為：y=(x—3)2—3(或y=-6x+6).

【點睛】

此題不僅考查了對圖象平移的理解，同時考查了學(xué)生將一般式轉(zhuǎn)化頂點式的能力.

三、解答題(共8題，共72分)

17、-1

【解析】

原式第二項利用除法法則變形，約分后通分，并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入

計算即可求出值.

【詳解】

1

解：原式=--(a+3)("3)2(a3)

。一3

12。+3—2〃+69—a

a-3a+3a2-9a2-9

當a=l時，原式~-1.

1-9

【點睛】

此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

18、(1)12(2)y=--x2+—x(0<x<5)(3)—^―

2553232

【解析】

4

試題分析：(1)過點A作AH_LBC于點H,根據(jù)cosB=g求得BH的長，從而根據(jù)已知可求得AH的長，BC的長,

再利用三角形的面積公式即可得;

12,SAP

（2）先證明△BPDs^BAC,得到再根據(jù)1A^pn=，代入相關(guān)的量即可得;

25）BPDH

（3）分情況進行討論即可得.

BH

試題解析：（1）過點A作AHLBC于點H,則NAHB=90。，，cosB=—,

AB

4

VcosB=-,AB=5,；.BH=4,/.AH=3,

5

VAB=AC,/.BC=2BH=8,

1

VAB=AC,：.ZB=ZC,/.ZC=ZPDB,

/.△BPD^ABAC,

即SBPD=(己］,

12⑴

1?

解得SBPD=W,

.SAP。=—尸

SBPDBP

y_5-x

12x2x，

~25

5M12212/、

解得y=—(0VxV5)；

(3)ZAPD<90°,

7

過C作CEJ_AB交BA延長線于E,可得cosNCAE=—,

25

①當NADP=90。時，

7

cosZAPD=cosZCAE=—,

25

解得x=—;

32

②當NPAD=90。時，

5—x_7

~1T~25，

解得x=^，

35125

綜上所述，PB=W或艱.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、底在同一直線上且高相等的三角形面積的關(guān)系等，結(jié)合圖形及已知選

擇恰當?shù)闹R進行解答是關(guān)鍵.

19、(1)證明見解析；(2)CD的長為20+君.

【解析】

(1)首先證得△由全等三角形的性質(zhì)可得/AOE=NC0E,由3c可得NAZ)E=NC3O,易得

ZCDB=ZCBD,可得3C=CD,易得AO=BC,利用平行線的判定定理可得四邊形ABC。為平行四邊形，由AO=C。

可得四邊形A3C。是菱形；

(2)作EFLCZ)于尸，在RtAOE尸中，根據(jù)30。的性質(zhì)和勾股定理可求出E尸和ZZF的長，在RtACEF中，根據(jù)勾

股定理可求出CF的長，從而可求CD的長.

【詳解】

證明：(1)在AADE與ACDE中，

'EA=EC

<AD=CD，

DE=DE

/.△ADE^ACDE(SSS),

AZADE=ZCDE,

VAD/7BC,

AZADE=ZCBD,

/.ZCDE=ZCBD,

/.BC=CD,

VAD=CD,

.*.BC=AD,

J四邊形ABCD為平行四邊形，

VAD=CD,

四邊形ABCD是菱形;

(2)作EF_LCD于F.

,-,ZBDC=30°,DE=2,

.'.EF=1,DF=-/3，

VCE=3,

，CF=2亞，

.-.CD=2V2+V3.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.證明

是解(1)的關(guān)鍵，作E尸，C。于尸，構(gòu)造直角三角形是解(2)的關(guān)鍵.

20、(1)80、72；(2)16人;(3)50人

【解析】

(1)用步行人數(shù)除以其所占的百分比即可得到樣本總?cè)藬?shù)：8+10%=80(人);用總?cè)藬?shù)乘以開私家車的所占百分比即可求

出m,即m=80x25%=20;用3600乘以騎自行車所占的百分比即可求出其所在扇形的圓心

角:360x(1-10%-25%-45%)=72°.

(2)根據(jù)扇形統(tǒng)計圖算出騎自行車的所占百分比，再用總?cè)藬?shù)乘以該百分比即可求出騎自行車的人數(shù)，補全條形圖即

可.

(3)依題意設(shè)原來開私家車的人中有x人改為騎自行車，用x分別表示改變出行方式后的騎自行車和開私家車的人數(shù)，

根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式即可.

【詳解】

解：(1)樣本中的總?cè)藬?shù)為8+10%=80人，

?騎自行車的百分比為1-(10%+25%+45%)=20%,

.?.扇形統(tǒng)計十圖中“騎自行車”所在扇形的圓心角為360°X20%=72°

(2)騎自行車的人數(shù)為80x20%=16人，

補全圖形如下：

由題意，得：lOOOx(1-10%-25%-45%)+x>l000x25%-x,

解得：x>50,

...原來開私家車的人中至少有50人改為騎自行車，才能使騎自行車的人數(shù)不低于開私家車的人數(shù).

【點睛】

本題主要考查統(tǒng)計圖表和一元一次不等式的應(yīng)用。

21、(1)0-2(2)-0

【解析】

試題分析：(1)將原式第一項被開方數(shù)8變?yōu)?x2,利用二次根式的性質(zhì)化簡第二項利用特殊角的三角函數(shù)值化簡,

第三項利用零指數(shù)公式化簡，最后一項利用負指數(shù)公式化簡，把所得的結(jié)果合并即可得到最后結(jié)果；

(2)先把儲―加,和“2-加分解因式約分化簡，然后將。和力的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值.

解：(1)Vs-2sin45°+(2-n)0-(^-)

=2&-2x^+1-3

=272-V2+1-3

=72-25

(2)—?(a2-b2)

a-ab

=—7-^——?(a+b)(a-b)

a(a-b)

=a+b,

當a=五,b=-2、歷時，原式=Q+(-2后)=-&.

22、(1)見解析；(2)2.

【解析】

(1)作AC的垂直平分線與BC相交于P；(2)根據(jù)勾股定理求解.

【詳解】

⑴如圖所示，點P即為所求.

(2)設(shè)BP=x,貝！］CP=l-x,

由(1)中作圖知AP=CP=1-x,

在RtAABP中，由AB?+BP2=AP2可得42+x2=(l-x)2,

解得：x=2,

所以BP=2.

【點睛】

考核知識點：勾股定理和線段垂直平分線.

23、(1)y=200x+74000(10<x<30)

(2)有三種分配方案,

方案一：派往A地區(qū)的甲型聯(lián)合收割機2臺，乙型聯(lián)合收割機28臺，其余的全派往B地區(qū)；

方案二：派往A地區(qū)的甲型聯(lián)合收割機1臺，乙型聯(lián)合收割機29臺，其余的全派往B地區(qū)；

方案三：派往A地區(qū)的甲型聯(lián)合收割機0臺，乙型聯(lián)合收割機