福建省廈門市2016屆高三第二次（5月）質量檢測

理數試題

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.若集合4={刈工<4取￡7},5={X|X2-2X>0},則Afl5=（）

A.(2)B.{3}C.{2,3}

D.{3,4}

【答案】B

【解析】

試題分析：因4={0,1,2,3,},8=5|了<0或1>2},故4。8={3},所以應選B.

考點：集合的交集運算.

2.“互聯網+”時代，全民閱讀的內涵已然多元化，提倡讀書成為一種生活方式，某校為了解

中學學生的閱讀狀況，擬采納分層抽樣的方法從該校三個年級的學生中抽取一個容量為60的

樣本進行調查，已知該校有高一學生600人，高二學生400人，高三200人，則應從高一學

生中抽取的人數為（）

A.10B.20C.30

D.40

【答案】C

【解析】

600=60x■?■=30,故應選C.

試題分析：因60x

600+400+2002

考點：抽樣方法及運用.

3.已知命題尸：Vx￡（0,—）,sinx<x,則（)

A.p是真命題，一1P:(0,￡),sinx?x

2

B.p是真命題，一iPHxow(O,/),sinx0之拓

C.p是假命題，一?P:Vxw(0,'),sinx>x

I),p是假命題，「PH/w(O,￡),sinXo2%

2

【答案】B

【解析】

試題分析：設f(x)=sinx-因f'(x)=cosx-1<0,故/*(x)=sinx-x在上單調遞減,

所以/(x)</(O)=0,即sinx<工恒成立,故p是真命題，而該命題的否定應為存在型命題,

故應選B.

考點：含一個量詞的命題的否定.

4.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果是()

D.I

【解析】

試題分析：因8s2乃=1?8S^^=—.cos^-^=——.cos~Lcos=——?cos—=—,cosO=1,故當

32323232

i=T輸出s,其值為1,所以應選D.

考點：算法流程圖的識讀和理解.

5.在AABC中，一記A后=〃，AC=b,則PQ二()

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

試題分析：因

......—?I—?I■）—?I..I-?I-?

PQ=AQ-AP=AB+BQ-AP=a一一a-^--BC=-a+-（AC-AB）=-a-^--b,故

333333

應選A.

考點：向量的幾何運算.

6.從6名女生中選4人參與4x100米接力賽，要求甲、乙兩人至少有一人參賽，假如甲、乙

兩人同時參賽，她們的接力賽依次就不能相鄰，不同的排法種數為（）

A.144B.192C.228

D.264

【答案】D

【解析】

試題分析：當甲乙兩人都入選時，再在4人中選人，有或-6,這兩人排定再將甲乙插空有d-4種可

能，共有4x6=24種可能；當甲乙兩人有一人當選時，其它人從剩余的5個人中選排，共有點4=240種

可能，綜上共有240+24=264種排法種數,故應選D.：

考點：排列組合數公式及運用.

7.將函數（。＞0）的圖象向右平移土個單位，所得的圖象經過點，則。的最小值是（）

4

1八5

A.-B.1C.-

33

D.2

【答案】D

【解析】

試題分析：因/（%）=sin⑷，向右一個單位平移后得，故，所以，即g=2%,當2=1時，3取

4

最小2,故應選D.

考點：三角函數的圖象和性質.

8.《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視

圖如圖所示，的視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側面積為（）

A.2B.4+2&C.4+4返

D.6+4夜

正視圖側視圖

（第8題圖）

【答案】C

【解析】

試題分析：從三視圖所提供的數據信息可以看出該幾何體的底面為等腰直角三角形，等腰三角形的斜邊長為

2,腰長為夜，棱柱的高為2的直三棱柱.所以其側面積為S=2x2+2^x2=4+4?,故應選C.

考點：三視圖的識讀和側面積的計算.

【易錯點晴】幾何體的三視圖是從正面、側面、上面三個方向對一個幾何體的全方位透視，因

此解答這類問題的關鍵是依據三視圖所供應的圖形信息弄清晰該幾何體的形態和有關數據，

然后再選擇運用相應的體積或面積公式進行求解.本題是一道供應了新概念信息的信息遷移

題，解答時要細致閱讀和理解“塹堵”這一條件信息，充分利用這一信息推斷出該幾何體的底

面為等腰直角三角形的直三棱柱.最終運用矩形面積公式求出側面積.

9.已知滿意，若不等式公-yNl恒成立，則實數a的取值范圍是（）

A.B.C.D.[2,+oo）

【答案】A

【解析】

試題分析：畫出不等式組表示的區域,如圖,直線ar-y-1=0過定點A（O-l）,從圖中可以看

出:當動直線在過點的直線上方時符合條件，因此動直線的斜率。必需滿意

,故應選A.

考點：線性規劃的學問及運用.

【易錯點晴】本題考查的是線性規劃背景的前提下不等式恒成立的條件下，參數的取值范圍問

題.其目的是檢測數學中的數形結合的數學思想及函數最值的求解問題.解答時要充分借助題

設中的條件畫出不等式組表示的平面區域，運用數形結合的思想，考查目標函數y=ax-1的

特點是過定點A(O-l)的動直線.結合圖形不難看出目標函數y=ox-1過點且取其上方的部

分的點的坐標時恒成立,所以其斜率必需滿意,從而使問題獲解.

10.直線/:>=質與曲線C：y=d-4/+3x順次相交于三點，若|A8|=|BC|,則

k=()

A.-5B.——C.--

92

D.1

2

【答案】B

【解析】

通分析：聯立>=辰和+可得X(J?-4X+3-后=0,所以x=O或x2-4x+3-左=0,

因此不妨設A0.0),鞏%A,R),其中孫巧是方程，-4x+3-左=0的兩個根且

XJ+XJ=4^X2=3-左，由題設可知/C=2JJ,即巧=2%代入均+Xj=4可得巧=pXj=g'再

代入巧?天=3-h可得左=一，，故應選B?.

考點：函數與方程的運用.

11.已知點M(l,0),A8是橢圓上的動點，旦M4?M8=0,則的取值范圍是()

2

A.[y,l]B.[1,9]C.D.

【答案】B

【解析】

試題分析：設4與J。),因加血=該畫+而)=疝2=(%-1)2+對且尤=1一?君，故

4

-3.542

MABA=^-2^+2(-l<^<V),所以(M4物)由==乂大-2乂：+2=1,

4493

-3

(MABA)m==又4-2(-2)+2=9,故應選艮

4

考點：橢圓的幾何性質及向量的數量積公式.

【易錯點晴】本題以圓錐曲線中的橢圓為背景，考查的是向量的數量積的取值范圍問題，其目

的是檢測數學中的函數思想及函數最值的求解問題.解答時要充分借助題設中的條件

MA^MB=O,運用向量的數量的乘法運算建立目標函數

44=三年一2%+2(-1?/V1),但要特殊留意函數的定義域.最終借助橢圓的范圍

4

求出該函數的最大值和最小值,從而使問題獲解.

12.已知平面四點A8,。,。滿意AA=8C=C￡>=2,AD=20設叢瓦),ABC。的面

積分別為$42,貝i」S：+S；的取值范圍是()

A.(8x/3-12J4]B.(8x/3-12,8>/3]C.(12,14]

D.(12,28]

【答案】A

【解析】

試題分析：設/BAD=a,/BCD=。,則由余弦定理得

BD2=4+4-2x2x2cos^=8-8cos/7.因

BD2=12+4-2x2x2V3cosa=16-873cosa,可得cos0=y/3cosa-1.乂

=12sin2a,

,S；=—x4x4sin2p=4sin2/3=4-4cos2P=4-12cos?a+86cosa-4,故

S；+S；=12-12cos2a-12cos2a+86cosa=-24cos?a+84cosa+12,令

t=cosajG(0,1)所以h(t)=S；+S；=-24/+g?+12,對稱軸,故時，人⑺^=14,當

r=i時,

//⑴=86一12,故應選A.

考點：余弦定理及面積公式的運用.

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每題5分，滿分20分.)

13.若復數z滿意(l-z)z=2Z,則z在復平面內對應的點在第象限.

【答案】二

【解析】

試題分析：因z=二=2l(1+l)=-\+i,所以在復平面上對應的點在其次象限.

1-/2

考點：復數的概念及運算.

14.若函數/*)=t，X￡(Y0/)US+2,+OO)是奇函數，則〃+)=_______.

2x-1

【答案】-1

【解析】

試題分析:因函數.”€(9：垃11@+2：+0。)是奇函數,故乃+2=0,則6=-1,故由奇函數

2x-1

的定義/(-2)+〃2)=0,由此可得。=0,故。+b=-1.

考點：函數的奇偶性及運用.

15.已知雙曲線C：5-[=l(a〉0/>0),以C的一個頂點為圓心，〃為半徑的圓被C截

ab

24

得的劣弧長為一4,則雙曲線。的離心率為

3

【答案】

【解析】

試題分析：設圓M與雙曲線的在第一象限的交點為4,因圓與雙曲線都是關于x軸對稱的圖

形,故由題設可知ZAMx=60°,故點A的坐標為,代入雙曲線方程病整理得舫2=3a2,由此

可得

5c2=8］,所以離心率.

考點：雙曲線與圓的幾何性質.

【易錯點晴】本題以圓錐曲線中的雙曲線為背景，考查的是雙曲線的幾何性質和綜合運用所

學學問去分析問題和解決問題的實力.解答時充分運用題設中供應的信息，數形結合推斷出三

角形的形態是等邊三角形,從而進一步確定交點A的坐標點為,這是解答本題的關鍵,通

過將該點的坐標代入雙曲線的標準方程,從而求出該雙曲線的離心率為.

16.已知等邊三角形A8C的邊長為46，加,77分別為4氏4。的中點，沿MN將AABC折

成直二面角，則四棱錐A-的外接球的表面積為.

【答案】52〃

【解析】

試題分析：設外接球的球心為。，四邊形MNCB的外接圓的圓心為。］：點到平面MNCB的距離為d,即

。。1=d,設等邊三角形的高與MN的交點為P,則PA_L平面MNCB，且ZP=3,,如圖，故

及2=（3-d）2+9,又因四邊形MNCB的外接圓的圓心。】是BC的中盤則產=舒+已,聯立

改2=<3-+9與髀=簫+12可得d=l：R=屈，所以四棱錐的外接球的面積S=4乃x13=52芥.

考點：多面體的幾何性質與外接球面積的計算.

［易錯點睛】多面體的外接球的體積面積問題始終以來都是教與學的難點.解答這類問題的關

鍵是求半徑，也是解答這類問題的難點值所在.本題在解答時充分借助題設條件，先搞清晰了

四邊形MNCB的外接圓的圓心01的位置,再求出外接圓的半徑.再結合球心與截面圓的半徑

之間的關系,建立了方程組

,求出了外接球的半徑R=V13最終運用球的面枳公式求出了外接球的面積為524.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

17.（本小題滿分12分）

已知等比數列｛4｝的各項均為正數，前〃項和為S”，S3=14,4?6=8%，數列｛2｝〃

項和為（，

?+么+i=log2ab

（1）求數列｛凡｝的通項公式；

（2）求凡.

2

【答案】⑴％=2”；（2）T2n=n.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件建立方程組求解；（2）借助題設條件和等差數列的求和公式求解.

試題解析：

解法一：（1）<=曷=阻,4>

丹=8,

88

又用=6+勺+8=14,??.q+%=—j+—=6,

qq

2

解得：q=2或（舍去），

所以q=個廣、2。

n

（2）=log2=log22=n,

??豈#=（4+3）+色+&）+----

=1+3H-----卜（2n-1）=n2.

解法二：（1）由已知得，

解得或（舍去），

所以《=q/T=2”.

（2）同解法一.

考點：三等比數列的通項和前〃項和公式等有關學問及運用.

18.（本小題滿分12分）

如圖，等腰梯形ABC。的底角4等于60,其外接圓圓心。在邊AO上，直角梯形尸D4Q

垂直于圓。所

在的平面，ZQAD=ZPDA=90,且4O=2AQ=4.

（1）證明：平面ABQJL平面P3O；

（2）若二面角。一尸B—C的平面角等于45，求多面體PQA3CO的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設運用面面垂直的判定定理推證；（2）借助題設條件運用空間向量的知識求解.

試題解析：

解法一：（1）證明：由題可知：皿，區0,

???梯形P04D垂直于圓。所在的平面，ZPDA=90\

???產。，平面加。），.,.45_1尸2）,

又,.且011加=「，.??加，平面尸班），

,.?/5（=平面加0,，平面幺50_1平面尸血）.

（2）如圖，過點B作射線BZ//OP,8A8。,8Z兩兩垂直，

以B為原點，BA,BD,BZ所在直線分別為x,y,z軸建立坐標系,

設尸。=力，則以0,0。,。電動。,尸@動㈤，

從而起=(TW,O),方=電2瓜用,

設平面PBC的一個法向量為3=(%y.z),

rfBC，即『:"，=°,取則（同-華）,

.I；___.=07=1,7=

FfBP=Q2x/3j+Az=0?

由(D已證3/_L平面加，則平面尸即的一個法向量為瓦i=Q.0?0),

.*.cos<ntBA>=_?■>解得：h=屈,

多面體PQABCD是由三棱錐P-JCD和四棱錐3-3。構成的組合體,

f^-BCD=§?方?m=6,

???多面體PQABCD的體積P=羯5+竽.

解法二：(1)同解法一

(2)如圖，在平面ABCD中過點。作A3的垂線OX,

過。作射線OZ//OP,OX,OZ),OZ兩兩垂直.

以。為原點，OXQDQZ所在宜線分別為x,y,z軸建立坐標系,

設ED=方，則以fA-L0)Q(020),P@2㈤C(一力,L0)，

從而而=(020),而=(右：0㈤，

設平面PBC的一個法向量為n=(xj：z),

.n^BC=Q辰：二二晨取則占必亭,

7?麗=0

平面PBD的一個法向量為BA=(^-1:0),

.**五n^BAW咚解得:

..cos<n>JoA>=f-==F-=——?____

g3l2出卷

下同解法一.

解法三：

(1)同解法一.

(2)取BO中點E,過E作爐垂直于P8交線段PB于點尸，連接CE,CF,

可證CE平面尸8。，，P3JLCE,

又?；EFLPB,EFCCE=E,；,PB工平面CEF,/.PBLCF,

???NC而為二面角D-PB-C的平面角，

即/CFE=4S,EF=CE=l,

由RtABEFs&APBD,可求得ED=J￡

以下同解法一.

考點：空間線面的位置關系和空間向量的有關學問及運用.

【易錯點晴】立體幾何是中學數學的重要內容之一，也歷屆高考必考的題型之一.本題考查是

空間的平面與平面的垂直問題和點與一個多面體的體積的計算問題.解答時第一問充分借助

已知條件與直線與平面的判定定理、平面與平面判定定理進行推證.其次問求多面體

PQABCD的體枳的問題最終仍舊轉化為求點P到平面PBC的距離的問題,解法一是運用空

間向量的學問進行求解的.解法二則是運用平面幾何的學問求解.

19.（本小題滿分12分）

2024年7月31日，國際奧委會在吉隆坡正式宣布2024年奧林匹克冬季運動會（簡稱冬奧

會）在北京和

張家口兩個城市舉辦，某中學為了普及冬奧會學問，實行了一次奧運學問競賽，隨機抽取

20名學生的成

績（滿分100分）如下：

男生93919086838076696765

女生96878583797877747368

（1）依據兩組數據完成男、女生成果的莖葉圖，并比較男、女生成果的平均值及分散程度;

（2）從成果80分以上（含80分）的學生中抽取4人，要求4人中必需既有男生又有女生,

用X表示所

選4人中男生與女生人數的差，求X的數學期望.

【答案】（1）莖葉圖見解析，男生的成果比較分散，女生的成果比較集中：（2）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件及平均數和莖葉圖求解；（2）借助題設條件和數學期望公式求解.

試題解析：

（1）莖葉圖如圖所示，

男生女生

57968

6798743

0368753

01396

男生的平均成績為

%="(3x90+3x80+70+3x60+1+3+3+6+6+5+7+9)=80

女生的平均成績為

-1

>=±(90+3x80+5x70+60+6+7+5+3+9+8+7+4+3+8)=80

所以男、女生的平均成績一樣.

由莖葉圖可以看出，男生的成績比較分散，女生的成績比較集中.

（2）成果在80分以上（包括80分）的學生共有10人，其中男生6人，女生4人,

X的全部可能取值為-2,0,2,

二12

P(X=-2)=

十屐《十-97

45

p(X=0)=

c：c；+c：c：+CC97

CC=40

P(X=2)=

C：C+C；C：+C；G97

口……、c12c45c4056

所以E（X）=-2x---1-OxF2x—=—.

97979797

考點：平均數、方差和數學期望等有關學問及運用.

20.（本小題滿分12分）

已知直線4："a+了一2相一2二0,4：工一加）'+2加-2=0,4與y軸交于4點，4與4軸

交于8點，/,

與4交于。點，圓。是△A3。的外接圓.

(1)推斷AA8O的形態并求圓C面積的最小值；

(2)若。,E是拋物線f=2py與圓C的公共點，問：在拋物線上是否存在點P使得APDE

是等腰三角

形？若存在，求點尸的個數：若不存在，請說明理由.

【答案】(1)2%；(2)共有4個滿意條件的P點.

【解析】

試題分析：(1)借助題設建立函數求解3(2)借助題設條件和拋物線的方程求解.

試題解析：

(1)由于所以A①。是直角三角形，

蜀),2m+2)1(2-2風0),。(2.2),

則LABD外接圓圓心直徑是AB,\AB\1=8(加1+1),

要使AX5D外接圓C面積最小，貝力4512als=8,當且僅當初=0時成立，

所以外接圓C面積的最小值為271.

(2)由。(2,2)點在拋物線，=2刀上，則/=2y,

圓C過原點，則拋物線與圓的公共點是與Q：2),E(0：0),

假設存在點P(%J。)滿足條件，則君=2%，

(1)當是底時，DE中點0QD，中垂線方程：y=r+2,代入拋物線d=2y,

得：，+2%一4=0,A=20>0,所以存在兩個滿足條件的P點.

(2)當尸E是底時，PE中點，則DM_L尸石，

即3(92)+為仔-2)=0,*-4/-16=0,

設/")二/一4工一16'/(x)=3x2-4,

則/(%)在，遞增,在遞減,

因為，/(0)=-16<0,/(3)=-1<0,/(4)=32>0,

所以f(x)在(3,4)有唯一零點，存在一個滿意條件的P點.

(3)當PD是底時，PD中點M粵+L粵+D，則

22

前=《聲吟+D，麗=5-2必-2),EN^DP=O,

即(空X飛-2)+(空J*。-2)=0,

所以=則*_4=0或*+8=0,

只有1解%=—2.

綜上所述：以上零點不重復，共有4個滿足條件的尸點.

考點：直線的方程、拋物線和圓的位置關系等有關學問及運用.

21.(本小題滿分12分)

設函數/(x)=adnx+m曲線y=/(%)在(1"⑴)處的切線方程為

y=(l+e-,)x-l-2e",.

(1)求；

(2)求證：/(x)>-l-2e-2.

【答案】(1)。=1/=一1；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件建立方程求解；(2)借助題設條件和導數的學問求解.

試題解析:

(1)依題意，/(%)定義域為(0,十8),fXx^a(\+\nx)-be~v,

/(l)=-e-',/⑴=1+/,解得。=1g=一1.

(2)由⑴知，f(x)=xlnx-e~l,/(x)=e-x+lnx+l,

.1c'—X

設氟工)=，、+比尤+1,則gOO=-cT+-=———,

xxe

設M%)=cx-x,貝1用'(/=/一1>0,所以力(工)在(0：加)上單調遞增,

所以雙x)>0,g\x)>Qf所以g(x)在(QXO)上單調遞增，

又因為以小〉=產>0,g(。-")=T<0,即6。-】屈。々)<0,

所以g@)恰有一個零點與€(C“：，】)3

艮口以不)=?-"+近％+1=0,即一c"=ln與+1,

當XE(O,不)時，雙力<o,，a)單調遞減，

當尤￡〈飛,丑0)時，g(X)>0,/《力單調遞增，

所以〃力之〃%)=/btt%%In%+111%+1,

設奴x)=xlnx+lnx+l,因為XE(1,二),

所以0(%)=14-lnx+—>l—2+e>0,

x

2}22

所以例》)在(e-ye-)上單調遞增，所以°(%)>(p(e-)=-l-2e-f

所以f(x)>f(x0)=。(%)>—1-21,

綜上可知，f(x)>—1—2.e~~.

解法二：

(1)同解法一.

(2)由(1)知/(x)=xlnx-e-*,f(x)=e~x+\nx+\,

設g(x)-"X+lnx+l,則g(x)=-e~x+—=-------，

xxex

^h(x)=e'-x,貝ij"(力所以應力在(0,丑o)上單調遞增，

所以方S)>o,g'Q)>o,所以展力在(0,m)上單調遞增，

又因為樂/】)=，］>0,爪，2)=，,一1<0,即爪/)爪,2)<0

所以以力恰有一個零點為￡(0-2,/】).

即g(F)=c"+厄與+1=0，艮「”"=1。與+1,

且當兒￡《()?%))時，爪為<0,/(")單調遞減，

當”￡(如田)時，以力>0,“X)單調遞增，

所以=%1口與+111%+1,

設吠X)=R1HX+1HX+1,因為JCW(c々:c"),

所以。'(%)=1+也%+」，

x

igw(x)=l+lnx+-,貝iji/(只=1-4=^1,

XXXX

所以當工￡(0J)時，?(x)<0,武力單調遞減，

當％E(L"D)時，?(x)>0,火力單調遞增，

所以箕@)2徂⑴=2>0,即d(力>。.

所以火力在35-1)上單調遞胤則吹為)吠1)=-l-2e-2,

所以之〃為)=吠F)>-1-〃-2,即，f(x)>-l-2e-2.

考點：導數在探討函數的單調性和最值中的運用.

【易錯點晴】導數是中學數學的重要內容之一,也是探討函數的單調性和最值問題的有效工具

之一.本題考查的是函數的零點的個數問題和不等式的證明問題.解答這類問題時經常要運用

轉化與化歸的數學思想將其進行等價的化歸和轉化.如第一問中的零點問題就是要探討清晰

函數在定義域中的單調性,從而確定了函數零點的個數.如其次問不等式的證明問題就是通過

構造函數探討函數的最小值問題.通過構造函數將不等式的證明問題轉化為求其最小值為

一1一26々的問題.

請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.

解答時請寫清題號.

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，分別是A46C的中線和高線，PRPC是A43C外接圓O的切線，點E是

PA與圓。的

交交

（1）求證：AC^CD=AF^PC；

（2）求證：0c平分NAOE.

（第22題圖）

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）借助題設相似三角形相似推證；&）借助題設條件和圓幕定埋推證.

試題解析：

（1）由PC為圓。切線，知NC4F=NDCP,

??.兩,PC是圓。的切線，。為3c中點，

，。，。,尸三點共線，且。P_L8C,

：.ZAFC=ZCDP=9Q\M尸CsACD產，

,gpAC^CD=AF^CP.

ACCP

（2）\CF1AB,D為BC中點，

：.FD=-BC=DC=DB,ZDFB=ZDBF,

2

,AF_FDFA_CA

..就=m'于1E^=而'

又.ZED