小學數學淺談如何把課上得“粗糙”摘要：觀察一些澳大利亞的小學數學課，發現其容量都特別拖沓，授課教師不注重教學過程的流暢性和教學生成的細膩性，相比國內的小學數學課堂，顯得比較簡單。于是，從幾節課中選擇關于概率的教予以探討，管中窺豹，卻發現正是這種設計，留給了學生無限的思維空間。學生雖沒有從教師那里獲得圓滿的答案，但將思考置于課堂學習的全過程，正是這份好奇，促使學生去發現課堂未了的秘密。關鍵詞：小學數學澳大利亞概率思維空間引言：在溫州大學舉辦的“中澳小學數學教學理念實踐比較研究”研討活動中，來自澳大利亞墨爾本Leopo小學的鮑(LeiBa老師上了節關于課。在許多國內同行看來，這樣的課堂容量小，教學推進慢，教學環節的起轉承合也不夠精細，甚至有些粗糙。但隨著課堂的深入，我們發現五年級的學生興趣越來越盎然，思維越來越活躍，常有精彩之論。這不得不讓我思量，鮑磊老師以“監獄的椅子”為課題的無心插柳式教學的妙處。一、課堂還可以上課鈴聲響起，鮑磊老師安排學生席地而坐，搬出6把椅子(每把椅子上分別用數字0、1、2、3、4、5標號)，并擲出一顆骰子，提問得到6的概率是多少，為什么；得到偶數的概率是多少，為什么。在一一告知正確結論之后，教師與學生一起玩一個關于兩顆骰子的游戲。玩游戲之前，教師在黑板上示范如何記錄擲骰子的次數(usingtallytocollectdata)，同時請一名學生做幫手，以記錄游戲數據。確定幫手以后，6名自告奮勇的學生依次坐到椅子上正式開始游戲。1.【精彩片斷一】(10分鐘)師：這個游戲需要用到兩顆不同，如何把它們和椅子上的0、1、2、3、4、聯系起來?生：兩顆骰子上的數相減可得到差0、1、2、3、4、5，例如，1-1=0，2-2=0，2=1......52師：每一把椅子代表一個牢房，你們現在被關起來了。老師是典獄長，用兩顆骰子上的數之差決定誰會被放出來，每擲一次骰子代表一天，猜一猜：誰是第一個被放出來的?誰是最后一個被放出來的?經過多少天這些犯人全部被放出來?生：誰都有可能第一個出獄，這要靠運氣。生：六個犯人，至少要擲六次。師：(擲骰子)我擲出了紅4綠2。(板書：①2。坐在2號椅子上的學生離開“監獄”)教師擲出紅4綠4。(板書：②0。坐在0號椅子上的學生離開“監獄”)教師擲出紅2綠2(板書：③x)教師擲出紅5綠6。(板書：④1。在1號椅子上的學生離開“監獄”教師擲出紅3綠6。(板書：⑤3。坐在3號椅子上的學生離開“監獄”)教師擲出紅3綠3.(板書：⑥x)教師擲出紅5綠2(板書：⑦x教師擲出紅3綠6。(板書：⑧x)教師擲出紅2綠6。(板書：⑨4。坐在4號椅子上的學生離開“監獄”)師：還有幾號同學沒有出獄?生：5號。教師擲出紅5綠4。(板書：⑩x)…擲了21次，終于出現差是5的情況，坐在5號椅子上的學生長吁一口氣，興奮地離開“監獄”在教師擲骰子的過程中，學生一開始抱著好玩的心態，想看看誰最幸運第一個出獄，誰最倒霉最后一個出獄。簡單的減法計算，仿佛大多數學生只是看客，但隨著最后一位“5”號學生始終不能“出獄，偌大的教室格外安靜，大家都把目聚焦到骰子上，心里盤算著怎樣才可以出現5，促使學生的心理由單純的擲骰子游戲好玩，過渡到對數學的好奇。2.【精彩片斷二】(12分鐘)人在教育教學中，微課所呈現出來的內容都是呈點狀、碎片化，這些知識都是從個別教材解讀、題型精講、考點歸納，也是從方法傳授、教學經驗等面的知識講解得來的，從以上的論述中，我們可以把微課當作是課堂教學的一種有效的補充形式，它不僅適用于學習時代知識的移動傳播，也符合學化和深度學習的需求。師：所有的犯人都被釋放了，老師還想玩一次，哪6位同學想參與?學生依次選擇第一次游戲時被釋放的順序2、0、1、3、4、5坐下。師：(面向2號椅子上的學生)為什么毫不猶豫地選擇2號座位?生：剛剛坐在2號椅子的同學第一個被放出來。師：(面向5號椅子上的學生)坐在5號椅子上，為什么一副受傷的表情?生：剛剛坐在5號椅子上的同學好不容易才被放出來。師：(擲骰子)擲出紅2綠5。(板書：①3)生：我是第一個，好開心!教師擲出紅5綠5。(板書：②0。坐在0號椅子上的學生離開“監獄”)教師擲出紅6綠1。(板書：③5)生：我這么快就“出獄”了，好神奇啊!教師擲出紅1綠1。(板書：④x)教師擲出紅2綠5。(板書：⑤x)教師擲出紅2綠4。(板書：⑥2。坐在2號椅子上的學生離開“監獄”)教師擲出紅3綠5。(板書：⑦x)教師擲出紅3綠6。(板書：⑧x)教師擲出紅1綠1。板書：⑨x)教師擲出紅1綠5。(板書：⑩4。坐在4號椅子上的學生離開“監獄”)…在第十八次的時候終于所有的學生全部“出獄”在第二次游戲時，學生完全按照第一次游戲所擲出差的順序(2、0、1、3、4、5)就坐，說明此階段的學生并沒有形成對“隨”的良好感覺，而只是憑借前面的經驗來做選擇。正如學生所言：這個游戲好神奇。神奇在于學生本以為“出獄”的順序會照搬之前，可事實并不如愿。在第二次玩游戲時，選擇2號椅子的學生，從最開始的滿心歡喜，到后來的失望與擔憂，直到被“釋放”，她才如釋重負。經歷了心情上的跌宕起，學生對“概率”“可能性”與“隨機”的認識，必定留下了深刻的烙印。像這樣的基本活動經驗，在數學學習中是不可替代的。在第二次游戲過程中，教師花了很長一段時間擲骰子，卻總是重復出現相同的差時，學生已洞悉經驗的不可，認識到數學推理是解釋這種現象的手段。，學生紛紛計算出差分別有0、1、2、3、4、5六種。后來，當學生探索出差5出現的111可能性是，差4出現的可能性是時，終于明白差5和差4難以出現的原因了。其實，生活中存在著很多偶然的現象，如果用數學的眼光介入，用數去運算分析，就會發現秘密原來就藏在其中。這就是數學邏輯，數學就這樣用它的深刻之美、理性之魅，打開了學生思考的空間，讓學生在思維震撼的體驗中培養科學精神。二、澳大利亞數學課堂帶來毫無疑問，這是一節舍得“浪費”時間的課，兩個沒有優化比較的片斷導人，已花去過半的課堂時，使得新授不突出，鞏固整理無法在同一個課時內進行。照國內有效課堂的標準，可謂低效。尤其是在兩個教學片斷中，擲骰子的偶然性很大，需要教師不停地擲，而學生顯得無所事事。一般情，為了節約時間，我們會將真實的擲骰子改為電腦操作，不僅可以控制，而且有利于學生發現規律但是，這樣的設計不易激發學生產生“為什么會”的認知驅動。回看這節，不難發現學生在觀看的過程中并非無所事事。他們在等待“5”出現的時候，一直在思考，為什么“5”出不來?如果用電腦來代替這一過程，學生或許會產生一切皆是有意而為的想法。綜上可知，看似粗糙的教學過程，給予了學生自我摸索的大空間。雖然標準解答和練習鞏固沒有及時出現，但順應與同化的心理交替滋生，學生在過程中不斷地自問自答“為什么”“真是這樣嗎”，在好奇心的驅動下，數學思維就慢慢培養起來了。1.約即是多再次回顧教學，利用兩顆骰子上的數相減得到差的任務設置得非常巧妙，給學生的后續學習提供了思維空間與層次。在此過程中，“商”會有小數出現，不適用于教學，國內教材基本選取“和”“積”為學習素材，而鮑磊老師用“差”來引導學生，給了我們新思路。兩顆骰子，可以構造11個不同的和(即2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12)與18個不同的(即1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16、18、20、24、25、30、36)。而構造“差”，只有0、1、2、3、4、5這六個結果。不過，尋找每一個獨立事件中的“”“和”“積”的內在結構是，即它們對教學的啟示，可是教學任務“多”，力氣容易花在思維之外的，基于“教材無非是一個例”的觀點，“少”無疑可以作為教學內容。更重是，剖析來自澳大利亞的數學課堂，可以發現少幾個結果，學生更容易脫離背景進行抽象；少幾個數據，學生更容易關注現象背后的數學邏輯；少幾步計算，學生的智力空間更有彈性。其實，我們在課上一直喜歡做加法不免有文化基因的緣故，總以為多至少不壞。”所有的學習離不開特定的文化模式，這些情境以強有力的方式影響著學習。”一旦教師的思維總是固著在“加”的念想之上，學生就會以這種模式為常態，因此鮑磊老師“差”的設計，給我們提出了一種文化上的警醒，一種教學行為上的警示：時常設計“減”的教學，在“減”的過程中學生思維由線性的漸進，變成波浪式的卷入，數學學習便富有張，也就是布蘭思福特所倡導：“必須用少量主題的深度去替換學習過程中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得一些概念得到理解。"2.粗是為放詢問鮑磊老師，得知其預設了至少三個教學目標：第一，學生對概率基本意義的理解(longrunfrequencyandexpectation)；第二，學生能夠展現出一種對數據的信心(statisticalconfi.dence)；第三，學生能夠合理地運用數學方法去解決問題。這無疑暗合伍鴻熙的理解：“數學的教育，絕不僅僅是知識的傳播，而更應是包含能力的培養和理念的建立。”以此檢視課堂，雖然用了22分鐘的長時間讓學生體驗、思悟，但事實上不夠。正如本文前面所述，可以設計第三次游戲，讓學生再次決定自己坐幾號，并說明理由，以此迫使學生超越經驗、排除從眾的心理，用數學語言去表達理解。否則，就成了鄭毓信教授所說的：數學是模式的科學，而非真實事物或現象的直接研究。如果某個學生始終停留于“實驗和歸納”的水平，我們就不能認為這個學生已經掌握了相應的數學知識。教學目標還應放于時間軸去考量，拉長時限，就會發現所謂的粗糙和低效，原來能讓學生進行數學思考，促使學生憤啟自己的數學創造。回顧第一個教學，學生等待了超過3分鐘的時間，差5才出現，此時他們覺得這是偶然，為什么這么難出來?這一問題早已悄然植人學生心中。對于差2，在第一次游戲中是最先出來的，可到了第二次游戲時竟等待了好久，率先挑選2號椅子的學生滿臉尷尬，可情緒反常的背后，一解究竟的心理更加強烈。與第一次游戲相比，差5在第二次游戲時并沒有那么難以得到，這到底是偶然還是必然呢......學生心中的疑問一個接著一個，但它們好像都指向同一個“結”：每一個差是否有不同的概率?我們可否知道每個差的概率是多少?綜上所述，知識不僅是對相關領域的事實和公式的羅列，而是圍繞核心概念或“大觀點"(bigideas)組織的，這些概念和觀點引導人們去思考自己的領域。教學案例中的“5”，出現得早或者晚，確實是偶然事件；但第一次游戲中最后出現“5”，又怎不是偶然中的必然，畢竟差“5”的可能性是最小的，這也是差“4”在兩次游戲中都那么難以出現的原因。學生經“課堂游戲”向“數學問題”的思考轉變，事實上就是數學化的過程，即我們超越具體的事物或現象，揭示一類具有相同數學結構的事物和現象的共同本質。這也契合華羅庚先生所教導的“由厚到薄”的過程，就是要對學過的東西進一步消化，使之成為自己的東西，這樣才完成一次學習的飛躍。三、結語總而言之，數學教學是培養學生邏輯思維的過程。