2023年滁州市高二教學質量監測數學一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在等比數列中，已知，，則（）A. B.27 C. D.64【答案】B【解析】【分析】根據等比數列的性質即可求解.【詳解】由題意可知公比所以，故選：B2.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則的極小值點為（）A. B. C. D.和【答案】C【解析】【分析】根據極小值點的定義結合導函數的圖象求解【詳解】由導函數的圖象可知，當或時，，當時，，所以為函數的極大值點，為函數的極小值點，故選：C3.在四面體中，是的中點，是的中點．設，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】依題意.故選：D4.若函數，則（）A.0 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據導數的運算法則求出導函數，再代入計算可得.【詳解】因為，所以，則，解得.故選：B5.拋物線的焦點為F，點，P為拋物線上的動點，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用拋物線定義，結合圖形可解.【詳解】如圖，過點P作PH垂直于準線，垂直為H，根據拋物線的定義，所以當A，P，H三點共線時最小，此時.故選：A．6.甲、乙兩人向同一目標各射擊次，已知甲命中目標的概率為，乙命中目標的概率為.在目標被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設事件“甲命中目標”，“甲命中目標”，“目標被擊中”，求解和，由條件概率公式計算可得.【詳解】由題意，設事件“甲命中目標”，“甲命中目標”，“目標被擊中”，則，，在目標被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標的概率為.故選：C7.已知存在唯一極小值點，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導得，分兩種情況：當時，當時，分析的符號，的單調性，極值，即可得出答案．【詳解】由，，，當時，恒成立，所以在上，單調遞增，在上，單調遞減，所以沒有極小值點，只有極大值點，不合題意，當時，令，，，令得，所以在上，單調遞增，在上，單調遞減，，，當時，且當時，，①若，則存在，，使得，即，所以在上，，，，單調遞減，在上，，，，單調遞減，在上，，，，單調遞減，在上，，，，單調遞增，所以當時，有兩個極小值點，不合題意，當時，，即，在上，單調遞減，在上，單調遞增，所以有唯一極小值點，無極大值點，綜上所述，當時，有唯一極小值點．故選：A【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．8.習近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動社會主義文化繁榮興盛．“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規律，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現．歐洲數學家帕斯卡在1654年才發現這一規律，比楊輝要晩近四百年．“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發起一批又一批數學愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（）A.B.第2023行中從左往右第1013個數與第1014個數相等C.記第n行的第個數為，則D.第20行中第8個數與第9個數之比為【答案】D【解析】【分析】根據題意，歸納可得：第行的第個數為，由組合數的性質依次分析選項是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據題意，由數表可得：第行的第個數為，由此分析選項：對于A，，A錯誤；對于B，第2023行中從左往右第1013個數為，第1014個數為，兩者不相等，B錯誤；對于C，記第行的第個數為，則，則，C錯誤；對于D，第20行中第8個數為，第9個數為，則兩個數的比為，D正確．故選：D．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數，下列說法中正確的是（）A.函數過點的切線有3條 B.函數的極大值是2C.函數在上有2個零點 D.點是函數的對稱中心【答案】BD【解析】【分析】設切點為，分和討論即可判斷A，對B，求導，根據導函數零點與函數極值的關系即可判斷B，對C，直接令，因式分解解出即可；對D，計算化簡即可判斷.【詳解】對A，，，設切點為，斜率為，則切線方程為，因為在切線上，代入上述切線方程得，化簡得，解得，代入得切線方程為，則函數過點的切線只有1條，故A錯誤.所以切線方程是，即，A錯誤；對B，令，解得或，令，解得，所以在和上都單調遞增，在上單調遞減，因此是極大值點，且，則函數的極大值是2，故B正確；對C，令，解得或或，故函數在上有3個零點，故C錯誤；對D，，且定義域為，關于原點對稱，故關于原點對稱，故D正確.故選：BD.10.下列說法錯誤的是（）A.是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量，當的值很小時可以推斷兩個變量相關性比較小B.在殘差圖中，殘差圖的橫坐標可以是編號、解釋變量和預報變量C.殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄，殘差平方和越大D.已知一組樣本點，其中，根據最小二乘法求得的回歸直線方程是，若所有樣本點都在回歸直線上，則變量間相關系數為1【答案】CD【解析】【分析】由獨立性檢驗判斷A，由殘差概念判斷B、C，由線性回歸系數概念判斷D.【詳解】是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量，當的值很小時可以推斷兩個變量相關性比較小，故A正確；在殘差圖中，殘差圖的橫坐標可以是編號、解釋變量和預報變量，故B正確；殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄，殘差平方和越小，說明模型的擬合精度越高，故C錯誤；已知一組樣本點，其中，根據最小二乘法求得的回歸直線方程是，若所有樣本點都在回歸直線上，則變量間相關系數為，故D錯誤.故選：CD11.隨機變量X的分布列如下：X012a則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據所有概率和為1，可求出，對于B，由求解，對于C，利用期望公式求解，對于D，利用方差公式求解.【詳解】對于A，由題意得，得，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，，所以C正確，對于D，，所以D錯誤，故選：BC12.下列命題中，真命題是（）A.有10件產品，其中3件是次品，從中任取兩件，若表示取得次品的件數，則B.已知隨機變量，滿足，若，，則，C.某人在10次射擊中，擊中目標的次數為，則時概率最大D.甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，則5次傳球后球在甲手中的概率是【答案】ACD【解析】【分析】由題意，得到，求出相對應的概率，進而可判斷選項A；結合期望公式和方差公式即可判斷選項B；根據所給信息，利用二項分布的概率公式即可判斷選項C；記事件為“經過次傳球后，球再次回到甲手中”，設次傳球后，球再次回到甲手中的概率為，得到，，對進行整理，結合等比數列的定義和前項和即可判斷選項D．【詳解】對于A：若有10件產品，其中3件是次品，從中任取兩件，則的所有取值為0，1，2，此時，故A正確；對于B：已知隨機變量，滿足，若，，此時，，故B錯誤；對于C：因為某人在10次射擊中，擊中目標的次數為，所以，（且），所以，，令，解得，因為，所以，所以當時概率最大，故C正確；對于D：記事件為“經過次傳球后，球再次回到甲手中”，不妨設次傳球后，球再次回到甲手中的概率為，易知，，所以，所以，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，此時，即，當時，，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若隨機變量，，則________．【答案】【解析】【分析】根據正態分布的性質即可求解.【詳解】由題意知，，，所以，，故答案為：14.已知數列滿足，，若表示不超過x的最大整數，則________．【答案】1【解析】【分析】根據迭代法可得利用裂項求和結合的定義即可求解.【詳解】由得時，，當時，也符合，所以，故，，故答案為：115.四大名亭是我國古代因文人雅士的詩歌文章而聞名的景點，它們分別是滁州的醉翁亭、北京的陶然亭、長沙的愛晩亭、杭州的湖心亭．某高二學生計劃三年內不重復的游覽完中國四大名亭，若該同學每年最多游覽兩個景點，且同一年游覽的兩個景點不分先后順序，則該同學共有________種不同的游覽方案．（用數字作答）【答案】54【解析】【分析】分兩年游覽完4個景點和三年游覽完4個景點討論即可.【詳解】①如果兩年游覽完4個景點，則選取的年份有種方法，選取的兩年中每年各玩2個景點，有種方法，故共有種游覽方案；②若三年游覽完4個景點，則只有一年游覽2個景點，另外兩年各游覽1個景點，故有種方法分為三組（一組2人，另兩組各1人），再將這三組在3年中排序則有種，故此時共有種游覽方案；綜上所述共有種不同的游覽方案，故答案為：54.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，以點為圓心且與雙曲線漸近線相切的圓與該雙曲線在第一象限交于點A，若的中點為B，且，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】利用點到直線的距離求得圓的半徑為，利用雙曲線的定義及中位線的性質得，由余弦定理建立方程求得，從而解出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線為，則點到漸近線的距離，即圓的半徑為，連接，則，由雙曲線的定義知，所以，在中，為的中點，B為的中點，所以，在中，，在中，，因為，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，然后把等式(不等式)轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.“綠色出行，低碳環保”已成為新的時尚，近幾年國家相繼出臺了一系列的環保政策，在汽車行業提出了重點扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業的發展開辟了廣闊的前景．某公司對電動汽車進行生產投資，所獲得的利潤有如下統計數據：年代2016201720182019202020212022年份代碼1234567利潤（單位：百萬元）29333644485259（1）請用相關系數說明：能用線性回歸模型擬合與的關系（精確到0.01）；（2）建立關于的回歸方程，預測2024年該公司所獲得的利潤．參考數據：；；；；．參考公式：相關系數；回歸方程中，，．【答案】（1）答案見解析（2），百萬元【解析】【分析】（1）首先求出，，再結合所給參考數據求出相關系數，即可得解；（2）求出、即可得到回歸直線方程，再將代入計算可得.【小問1詳解】已知，，所以，，所以，所以說明與的線性相關程度很強，則能用線性回歸模型模擬與的關系；【小問2詳解】由（1）知，所以，則，因為當時，其表示2016年，所以當時，其表示年，則（百萬元），即預計年該公司所獲得的利潤為百萬元．18.已知函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．（1）求的值；（2）在區間上，試求函數的最大值和最小值．參考數據：．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）由題意，對函數進行求導，根據所給信息可得，列出等式求出的值，再將所求出的值代入函數解析式中進行檢驗，進而即可求解；（2）根據（1）中所得信息得到函數在區間上的單調性，結合端點值進行求解即可．【小問1詳解】已知定義域為，可得，因為在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以當時，取得極大值，此時，解得，當時，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，符合題意，故；【小問2詳解】由（1）知，，且函數在上單調遞增，在區間上單調遞減，所以當時，函數取得極大值也最大值，最大值，又，，因為，所以，則當時，函數取得最小值，最小值．綜上可得在區間上的最大值為，最小值為.19.如圖，已知四棱錐的底面為菱形，，，．（1）證明：平面平面；（2）是的中點，是上的一點，且平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，即可得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設，即可得到，由求出，再根據空間向量法計算可得.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接、，因為，，則，即，所以，，又為菱形且，所以為等邊三角形，所以，且，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知，，，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，則，，因為是的中點，是上的一點，且平面，顯然與不平行，設平面的法向量為，則，令，則，因為，設，則，因為，即，解得，所以，設直線與平面所成角為，又平面的法向量可以為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.20.某社區舉行第二屆全民運動會，運動會包括少年組、青年組、中年組與老年組四個組別比賽．本屆運動會老年組比賽新增了圍棋比賽項目．甲、乙兩名選手通過“3局2勝制”爭奪冠軍．為了增加趣味性，每次比賽前通過摸球方法決定誰先執黑，規則如下：裁判員從裝有n個紅球和3個白球的口袋中不放回地依次摸出2球，若2球的顏色不同，則甲執黑，否則乙執黑（每次執黑確定后，再將取出的兩個球放回袋中）．（1）求選手甲執黑的概率；（結果用n表示）（2）當口袋中放入紅球的個數n為多少時，選手甲執黑概率最大；（3）假設甲每場比賽獲勝概率為，求甲獲得冠軍的概率．【答案】（1）（2）或3（3）【解析】【分析】1）由古典概型的概率求法直接可得；（2）將概率看成關于的函數，利用對勾函數單調性求得最值；（3）根據甲獲勝的局數服從二項分布直接求解．【小問1詳解】由題意，從裝有個紅球和3個白球的口袋中不放回地依次摸出2球，則2球顏色不同即甲執黑的概率為；【小問2詳解】由（1）可知，選手甲執黑的概率，記，由及對勾函數的單調性可知：或3時，，所以當口袋中放入紅球的個數為2或3時，選手甲執黑概率最大；【小問3詳解】由題意，甲獲得冠軍即前兩局比賽甲勝，或者前兩局甲乙各勝一局，第三局甲勝，則甲獲勝的概率為．21.如圖，已知平行四邊形ABCD與橢圓相切，且，，，.（1）求橢圓的方程；（2）若點是橢圓上位于第一象限一動點，且點處的切線與AB，AD分別交于點E，F.證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用直線與圓相切求出方程中的即可求解；（2）設點，聯立直線與橢圓的方程，根據求得橢圓過點的切線的方程為，再分別和直線與聯立，得到點與點的坐標后，即可證明為定值.【小問1詳解】因為，，，，所以直線方程為：，直線方程：，即，由題意直線與橢圓相切，所以，即橢圓方程為，聯立消去y得，由題意，，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設點，則，由題意知，設直線的方程為，聯立，消去得，依題意，直線與橢圓相切，則，即，再整理可得，因為點在橢圓上，所以，代入可得，則切線的方程為，令得，所以，由得，所以，所以，為定值，得證.22.已知，．