2024屆江蘇省淮海中學高一數學第二學期期末聯考試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題

卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的

1.已知點4（2,—3）,B（—3,—2）,直線/的方程為丘一＞一%+1=0,且與線段48相

交，則直線/的斜率上的取值范圍為（）

3133

A.（-oo,-4]u[_,+oo）B.（田，一/31+8）C.[-4,-]

D.￡書

2.已知力都是實數，那么“2。＞2戶’是“。2〉匕2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.下列說法隼堡的是（）

A.若樣本的平均數為5，標準差為1,則樣本

2\+1,2%2+1,25+1,?一,2\+1的平均數為U,標準差為2

B.身高和體重具有相關關系

C.現有高一學生30名，高二學生40名，高三學生30名，若按分層抽樣從中抽取20

名學生，則抽取高三學生6名

D.兩個變量間的線性相關性越強，則相關系數的值越大

4.4ABe的內角A,3,C的對邊分別為a,b,c,分別根據下列條件解三角形，其中有

兩解的是（）

A.a=2*=4,A=120。

B.a=3,Z?=2,A=45。

C.b=6,c=C=60°

D.Z?=4,c=3,C=30。

5.設/G）,g（x）是定義在R上的兩個周期函數，/（X）的周期為4,gG）的周期

為2,且/（X）是奇函數.當xe（0,2]時，/（x）=Jl—（1）2,

左(x+2),0<A:<1

1,c,其中左〉0.若在區間(0,91上，函數/i(x)=/(%)-g(x)

g(x)=<

--,1<x<2

[2

有8個不同的零點，貝火的取值范圍是（）

A.B；'用CH]0M

6.一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，若將這些小正方體

均勻地攪混在一起，從中任意取出一個，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是

()

A._LB.C.D.

27

7.已知函數/（%）=注抽11（%-1）|,若存在5￡&[a,b],且qex2,使/（\）之/（卜）成

立，則以下對實數。力的推述正確的是（）

A.a<lB.a>lC.b<lD.b>l

.r10、

8.sin---71J的值等于（）

A書RW11

CD

2222

9.已知點4（2,—3）,6（—3,—2）,直線/過點且與線段AB相交，則直線/的

斜率左滿足（）

3333

A.左2—或左W-4B.kN—或kW-lC.-4<k<-D.-<^<4

4444

10.已知數列益｝的前"項和為S,且滿足2s=a+2,則a=（）

nnnn2016

A.1B.-1C.-2D.2016

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.已知數列3｝滿足Q-a—3）Q-2a）=0,若a=3,則a的所有可能值

nn+1nn+1n14

的和為;

12.正方體ABCD—A1VCR中，Ej分別是B/Cq的中點，則AE,即所成的角

的余弦值是.

13.已知。是qA5c內的一點，ZAOB=ZAOC=150°,

\0A=1,OB=X_,6>C=2,貝+；若元=優9+〃。5,則

m+n=,

jrJr

14.已知--<a〈一，若tana=-l,則。=.

22

15.適合條件lsina|=-sina的角a的取值范圍是.

兀1

16.用列舉法表不集合cos（x——-）=--,XE.[0,7l]>=.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.已知直線I：2x+3y—1=0與直線/,:3x—2y—8=0的交點為p,點Q是圓

舉+、2—2x—4y+3=0上的動點.

（1）求點P的坐標；

（2）求直線PQ的斜率的取值范圍.

（\（2x-a,x<\,

18.已知r函數彳°。，，其中aeR.

（1）當a=l時，求f（x）的最小值；

（2）設函數/G）恰有兩個零點\，",且凡一\>2,求。的取值范圍.

19.如圖，平行四邊形ABC。中，E是CD的中點，AE交5。于點”.設A月=￡,

AD=b.

⑴分別用￡,石表示向量AF,DM;

⑵若忖=2忖=4,ZBAD=1,求愈.9.

20.已知向量。=（3,—1）,方=（2,1）.

求：⑴\a+b\.

(2)a與b的夾角的余弦值；

(3)求工的值使xa+3〃與3a—2方為平行向量.

21.已知AABC的角4、8、。所對的邊分別是a、6、。，設向量歷=(。/)，〃=(sin8,

sinA),p=(b-2,4-2).

(1)若優〃“，求證：AABC為等腰三角形；

兀

(2)若罐，P,邊長c=2,角。=^，求的面積.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的

1、A

【解題分析】

直線/過定點P,利用直線的斜率公式分別計算出直線,和PB的斜率，根據斜率

的單調性即可求斜率的取值范圍.

【題目詳解】

解：直線/：丘一〉一%+1=0整理為左(x-D—(廣1)=。即可知道直線/過定點

作出直線和點對應的圖象如圖：???4(2,—3),5(-3,-2),尸(1,1),

,-3-1“,-2-13

k=-----=-4,k=------------二—,

尸A2-1PB-3-14

要使直線/與線段A3相交，則直線/的斜率左滿足左或左Wk”，

PBPA

3

k?-4或左2—

4

3

即直線/的斜率的取值范圍是(—8，-4］。匚,+8),

故選A.

【題目點撥】

本題考查直線斜率的求法，利用數形結合確定直線斜率的取值范圍，屬于基礎題.

2、D

【解題分析】

p:2a>2b=a>b；q:。2>。2O網>口|,0>6與眄〉碼沒有包含關系，故為“既

不充分也不必要條件”.

3、D

【解題分析】

利用平均數和方差的定義,根據線性回歸的有關知識和分層抽樣原理，即可判斷出答案.

【題目詳解】

對于A：若樣本\，c…,0的平均數為5,標準差為1,

則樣本2丁1,2彳2+1,2&+1,i,2\°+1的平均數〃用=11,標準差為2x1=2,

故正確

對于B：身高和體重具有相關關系，故正確

303

對于C：高三學生占總人數的比例為：——-^7=77；

30+40+3010

3

所以抽取20名學生中高三學生有20xm=6名，故正確

對于D：兩個變量間的線性相關性越強，應是相關系數的絕對值越大，故錯誤

故選：D

【題目點撥】

本題考查了線性回歸的有關知識，以及平均數和方差、分層抽樣原理的應用問題，是基

礎題.

4、D

【解題分析】

運用正弦定理公式，可以求出另一邊的對角正弦值，最后還要根據三角形的特點：“大

角對大邊”進行合理排除.

【題目詳解】

A.。=2,。=4,4=120。，由。<0,=>4<8所以不存在這樣的三角形.

B.。=3/=2,A=45°,由a=bnsin6=正且。所以只有一個角3

sinAsinB3

C.8=6,c=4喬,。=60°中，同理也只有一個三角形.

一cb2

D.匕=4,c=3,C=30°中:）=r^nsin6=K此時b>c,所以出現兩個角符

sinCsmB3

合題意，即存在兩個三角形.

所以選擇D

【題目點撥】

在直接用正弦定理求另外一角中，求出sin0后，記得一定要去判斷是否會出現兩個角.

5、B

【解題分析】

根據題意可知，函數y=/G）和y=gG）在（0,91上的圖象有8個不同的交點，作出

兩函數圖象，即可數形結合求出.

【題目詳解】

作出兩函數的圖象，如圖所示：

由圖可知，函數y=/Q）和y=g（x）=一］在（。,91上的圖象有2個不同的交點，

故函數y=/（x）和y=g（x）=k（x+2）在xe（0,l］上的圖象有2個不同的交點，才可

以滿足題意.所以，圓心（1,0）到直線/一y+2/=0的距離為2=JI<1,解得

72+1

0<左<配，因為兩點（一2,0）,（1,1）連線斜率為（，所以，1〈人〈之.

4334

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查了分段函數的圖象應用，函數性質的應用，函數的零點個數與兩函數圖象

之間的交點個數關系的應用，意在考查學生的轉化能力和數形結合能力，屬于中檔題.

6、C

【解題分析】

先求出基本事件總數〃=27,在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個

小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的

小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，由此能求出在27個小正方體中，任

取一個其兩面涂有油漆的概率.

【題目詳解】

二,一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，

基本事件總數〃=27,

在得到的27個小正方體中，

若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，

且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，

則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，則在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油

漆的概率p=生

~27

故選：C

【題目點撥】

本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質等基礎知識，考查推理論證能力、空

間想象能力，考查函數與方程思想，是基礎題.

7、A

【解題分析】

先根據/(x)=|arctanx|的圖象性質，推得函數/(x)=1arctan(x—l)I的單調區間，再

依據條件分析求解.

【題目詳解】

解：/(x)=|arctanx|是把/(x)=arctanx的圖象中％軸下方的部分對稱到了軸上方，

二函數在(-00,。)上遞減；在上遞增.

函數fM=1arctan(x-l)l的圖象可由f(x)=|arctanx|的圖象向右平移1個單位而

得,

二在（一%1]上遞減，在口,+8）上遞增,

?.?若存在x,xe[a,b],x<x,使/（%）對（%）成立，；.a<l

121212

故選：A.

【題目點撥】

本題考查單調函數的性質、反正切函數的圖象性質及函數的圖象的平移./（x+a）圖象

可由/（x）的圖象向左伍〉0）、向右3<0）平移個單位得到，屬于基礎題.

8、A

【解題分析】

9、A

【解題分析】

畫出A,亂尸三點的圖像，根據PA,PB的斜率，求得直線/斜率上的取值范圍.

【題目詳解】

如圖所示，過點P作直線PC軸交線段48于點C,作由直線尸4尸3①直線/與

線段的交點在線段AC（除去點C）上時，直線/的傾斜角為鈍角，斜率左的范圍是

左（左..②直線/與線段A3的交點在線段5c（除去點C）上時，直線/的傾斜角為銳

-3-1-2-13

角，斜率上的范圍是女因為左=kr=_4,左=_^=所以直線/的

PBPA2—1PB—3—14

3

斜率左滿足左27或左WT.

4

故選:A.

【題目點撥】

本小題主要考查兩點求斜率的公式，考查數形結合的數學思想方法，考查分類討論的數

學思想方法，屬于基礎題.

10、c

【解題分析】

利用S和。關系得到數列｛a｝通項公式，代入數據得到答案.

nnn

【題目詳解】

已知數列｛a｝的前"項和為S,且滿足2s=<7+2,2S=a+2

nnnnn-1n-1

相減：2a=a-aa=-a（n>2）

nn-1nn-1

取〃2s=〃+2na=2

iii

-

a=2

2016

答案選c

【題目點撥】

本題考查了s和a關系，數列的通項公式，意在考查學生的計算能力.

nn

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、36

【解題分析】

根據條件得到%｝的遞推關系，從而判斷出%｝的類型求解出勿｝可能的通項公式,

nnn

即可計算出令的所有可能值，并完成求和.

4

【題目詳解】

因為（〃-a-3）Q-2a）=0,所以a=a+3或〃=la,

n+lnn+1nn+1nn+1n

當。=a+3時，｛a｝是等差數列，a=3+3（九一1）=3〃，所以。=3x4=12；

n+1nnn4

當a=2a時，3｝是等比數列，a=3-25，所以a=3-8=24,

n+1nnn4

所以巴的所有可能值之和為：12+24=36.

4

故答案為：36.

【題目點撥】

本題考查等差和等比數列的判斷以及求數列中項的值，難度一般.已知數列滿足

a-a=d（d為常數），則3｝是公差為d的等差數列；已知數列滿足

n+1nn

乙=q（a產0）,則｛a｝是公比為夕的等比數列.

CL1n

n

1

12、5

【解題分析】

取的中點G,由G4〃8F得出異面直線AE與5歹所成的角為/G4E,然后在

AG4E由余弦定理計算出cosZGAE,可得出結果.

【題目詳解】

取。q的中點G,由G4〃8F且G4=B/可得NG4E為所成的角,

設正方體棱長為1,AG4。中利用勾股定理可得AE=AG=一無

2，

又EG=,由余弦定理可得2=2+2-2x史xYEcosNEAG,cosZEAG=

44225

1

故答案為—.

【題目點撥】

本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線找出異面直線所成的角，再選擇合

適的三角形，利用余弦定理或銳角三角函數來計算，考查空間想象能力與計算能力，屬

于中等題.

131」01

'2一丁

【解題分析】

對式子+°耳兩邊平方，再利用向量的數量積運算即可；式子反=機。X+“加兩

邊分別與向量。4,。月進行數量積運算，得到關于機，〃的方程組，解方程組即可得答

案.

【題目詳解】

+阿=Q^2++204-05=1+|+2-2^-（-2^）=1

+0B\=-.

?/0C=mOA+nOB,

12（一號）=m.l+〃g.（-號）,

OA-OC=mOA2+nOA?OB,

3

OBOC=mOA-OB+nOB-,1_乃（_#、

z9,—,——in'—>（—）十〃,

解得：m=—2事,〃=_至,?m+n=-1。小

「33

故答案為：；；—上￡

乙3

【題目點撥】

本題考查向量數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能

力和運算求解能力，求解時注意將向量等式轉化為數量關系的方法.

【解題分析】

由條件利用正切函數的單調性直接求出a的值.

【題目詳解】

解：?.?函數yntanx在—<a<—,若tana=—l,則

ct——

71

故答案為：-7.

【題目點撥】

本題主要考查正切函數的單調性，根據三角函數的值求角，屬于基礎題.

15、{aI2上兀一兀<a<2k兀，keZ}

【解題分析】

根據三角函數的符號法則，得sinaWO,從而求出a的取值范圍.

【題目詳解】

v|sina|=-sina；.-.sina<0

...a的取值范圍的解集為{al2k7i—兀<a<2左兀，keZ}.

故答案為：｛a12k兀一兀<a<2k7i,keZ｝

【題目點撥】

本題主要考查了三角函數符號法則的應用問題，是基礎題.

2

16、｛0,§兀｝

【解題分析】

先將工的表示形式求解出來，然后根據范圍求出工的可取值.

【題目詳解】

兀17171

因為cos(x—至)=],所以x—3■=士耳+2左兀，左￡Z,又因為XE[O,兀],所以左=。，

2兀2

此時尤=。或則可得集合：｛°，w兀｝?

【題目點撥】

本題考查根據三角函數值求解給定區間中變量的值，難度較易.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17,(1)(2,-1)；(2)(-<?,-l]u[7,+co).

【解題分析】

2x+3y—1=0

(1)聯立方程"。0八求解即可；(2)設直線PQ的斜率為左，得直線PQ的

3x-2y-8=0

\k-2-2k-W廣

方程為依—y—2左—1=0,由題意，直線PQ與圓有公共點得——7====—V#求

也2+1

解即可

【題目詳解】

2x+3y-l=0[x=2

(1)由〃。Q八得41?,.P的坐標為(2,—1)

3x-2y-6=0[y=-1

.?.P的坐標為⑵―1).

(2)由％2+,2_2%_4,+3=0得(％_1)2+(,_2)2=2

二圓心的坐標為(12),半徑為,/2

設直線PQ的斜率為左，

則直線PQ的方程為丘一y—2左一1=0

由題意可知，直線PQ與圓有公共點

Ik—2—211

即——/——工3.,.左W—1或左27

〃2+1

二直線PQ的斜率的取值范圍為(T?，—1]D[7,+QO).

【題目點撥】

本題考查直線交點坐標，考查直線與圓的位置關系，考查運算能力，是基礎題

18、(1)-14；(2)(0,2]

【解題分析】

(1)當4=1時，利用指數函數和二次函數的圖象與性質，得到函數的單調性，即可求

(2)分段討論討論函數在相應的區間內的根的個數，函數g(x)=2x-a在xWl時,

至多有一個零點，函數//(x)=ax2—8x+2。在》>1時，可能僅有一個零點，可能有

兩個零點，分別求出。的取值范圍，可得解.

【題目詳解】

(1)當a=l時，函數/G)=<2x—1,x<1

%2-8x+2,x>1

當時，y(x)=2x—1,由指數函數的性質，可得函數/(X)在(—8,1]上為增函

數，且/(x)e(_l,l］；

當x〉l時，f(x)=x2-8x+2,由二次函數的性質，可得函數/(X)在(1,41上為減

函數，在[4,+8)上為增函數,

又由函數/G)=X2—8x+2=(x—41—14,當x=4時，函數/G)取得最小值為

-14；

故當a=1時，/(X)最小值為—14.

(2)因為函數/(X)恰有兩個零點卜，所以

(i)當xWl時，函數g(x)=2x—。有一個零點，令g(x)=O得口=2工,

因為時，0<2xW2,所以0<aW2時，函數g(x)=2*—a有一個零點，設零點

為A,且\<1,

此時需函數〃(%)=以2—8x+2。在％>1時也恰有一個零點,

令//(x)=0,即ax2—8x+2a=0,得4二,*二,令加(%)=,8二

X2+2X2+2

8x8(x-x)(2-xx)

m(x)-m(x)=(；+；)(2+A)，

設1<q<［，--4.

34%2+2X2+2

3434

因為1<X<X,所以X2+2〉O,X2+2>0,X-X<0,

343434

當l<x<x時，2-xx>0,所以根(x)—根(x)<0,即根(x)〈根(x),

34343434

所以租G）在（，G）

上單調遞增;

當<x時，2-xx<0,所以m(x)-m(x)>0,即根（%3）>根（［）,所

343434

以加+00上單調遞減;

8x8z

而當X=1時，----,又%>1時，m（x）>0,所以要使。=----------^在％>1時恰

X2+23%2+2

8

有一個零點，則需0<aV?,

要使函數/（X）恰有兩個零點了,，\,且匕一了,〉2,設a=_J在x>l時的零點

1221X2+2

為3,

。c8%24c

則需匕〉3,而當x=3時，=>2,

所以當0<aW2時，函數/G）恰有兩個零點二，并且滿足了2一\〉2；

（ii）若當時，函數g（x）=2x—a沒有零點，函數〃（x）=ax2—8x+2a在1>1

恰有兩個零點二，且滿足乜一￡〉2,也符合題意，

而由（i）可得，要使當XVI時，函數g（x）=2x—a沒有零點，則avo,

要使函數〃（x）=G2_8x+2a在x>l恰有兩個零點x,%,則:<。<2近，但不

123

能滿足二一5〉2,

所以沒有。的范圍滿足當時，函數g（x）=2x—a沒有零點,

函數/?（x）=ax2-8x+2a在x>l恰有兩個零點x,%,且滿足%一%〉2,

1221

綜上可得：實數a的取值范圍為（0,21.

故得解.

【題目點撥】

本題主要考查了指數函數與二次函數的圖象與性質的應用，以及函數與方程，函數的零

點問題的綜合應用，屬于難度題，關鍵在于分析分段函數在相應的區間內的單調性，以

及其圖像趨勢，可運用數形結合方便求解，注意在討論二次函數的根的情況時的定義域

對其的影響.

—*]___ci—h

19、(1)