用軟件工具提升線性代數教學水平

項目實施匯報第1頁改革緣由現在線性代數教學綱領存在著重大缺點，主要是沒有把“需求牽引”和“技術推進”作為動力：1。不能滿足工科后續課需求，按所教方法后續課無法用來解高階、復數矩陣題目；后續課普遍不用線性代數解題。2。線性代數不用計算機解題，不聯絡應用，不符合課程當代化要求，落后于美國十多年；第2頁工科后續課能用而不用矩陣調查

（給數學教指委提議書中列出）化學計算機圖形學高等數學信號與系統電路數字信號處理理論力學系統動力學材料力學自動控制原理數值計算方法機械振動傳熱學機器人學（物理）試驗第3頁一些經典應用(1)靜力學中關鍵是平衡方程，一個空間物體有6個平衡方程，就是n=6線性方程組,兩個剛體相聯，方程數n就加倍；電路課中穩態電路關鍵是基爾霍夫方程，n個節點（或回路）就有n個方程，交流電路更是復數方程。線性代數教手工解法處理不了，只好不用，還是用中學代入法，這就是現實狀況。后續課中要算n都大于3，當代科學計算問題n到達幾百、幾千，不教計算機結果是統統不用矩陣，簡單用中學方法，復雜只好不算。第4頁靜力學模型第5頁交流電路模型第6頁經典應用(2)計算信號流圖傳遞函數公式。在傳統教材中，都向學生介紹梅森公式，這個公式是以圖論為基礎，既沒有證實，計算又極繁瑣，后面根本不用，但幾十年就是這么講下來。其實線性系統任何復雜信號流圖都能夠嚴格地用矩陣表示，寫成：其中，有N個信號，方程就有N個，矩陣就有N階很輕易得出傳遞函數W公式：靠手算，這個N階矩陣求逆運算，誰都不敢碰。但若用MATLAB算，很復雜系統，這個式子不過幾秒鐘就出結果了，現有嚴格理論，又可快速計算，比梅森公式強得多。它前提是，學生會用計算機解線性代數問題，學生數學基礎是符合當代化標準。第7頁一個信號流圖實例第8頁第9頁應用(3)頻譜計算把DFT寫成矩陣形式：設通常N=1024,記作：W矩陣是1024×1024階，106個元素輸入技巧:列×行第10頁應用(4)最優FIR濾波器設計歸結為解以下超定線性方程組求d第11頁應用(5)坐標測量儀測園直徑測圓周上7點，歸結為求超定方程最小二乘解c第12頁矩陣在科學計算中重大意義矩陣是組織海量數據進行運算最好數學方法假如矩陣運算依然用單個元素運算來完成，那末人們寧愿用代入法或消去法等中學方法。最少它能夠省掉一些運算量。要使矩陣運算帶來實際好處，必須要有能進行海量數據運算、處理、繪圖工具，筆算無法顯示矩陣優勢，只有靠計算機。假如計算機每次只對兩個數進行運算，那它效率和計算器差不多。計算機優勢只有在數據批處理中才能顯示。會矩陣不會計算機，是瘸子；會計算機不會矩陣，也是瘸子，要把二者優勢結合起來，才算真正進入了科學計算殿堂。線性代數能完成這一點，對大學生，對當代化，將是功德無量！第13頁國內外教材簡明對比篇幅圖(張)計算軟件工程應用實例修訂思想（序言）同濟[1]196×32開6沒有0沒有Leon[2]545×16開>100MATLAB33幾年改一次，熱情給出修訂理由和網上幫助。Lay[3]548×16開≈300MATLAB24第14頁說明我國教材三個弱點1。不注意從幾何圖形引入線性代數概念，不用圖說明問題。2。不使用當代化計算工具，使得解題范圍無法擴大。3。不聯絡應用實際，不了解科學和工業當代化對線性代數需求。不能激發學生學習熱情。國內線性代數改革，多側重于課程內部概念講法，但缺乏兩點：一是不注意與應用、與后續課等外部關系改革，二是不注意引進新技術，沒有用當代化計算和教學工具。這正是我們常講引領科技發展兩個動力：“需求牽引”和“技術推進”。少了這兩點，創新新思想、新課題就沒法誕生。第15頁新舊線性代數內容覆蓋圖第16頁綱領改革后解題指標1。解6元以上實數線性代數方程組（力學）；2。解3元以上復數線性代數方程組（電路）；3。會進行3階以上信號流圖傳遞函數計算，即學會做文字變量求逆運算；（信號與系統）4。進行6階3元以上超定方程組求解；這是指教材中控制例題和習題深度，我們以為，線性代數到達這個水平，與后續課就能夠實現無縫銜接了。實際上，只要學會使用計算機編程以后，階數是沒有上限。第17頁補丁書《線性代數實踐…》補充內容為：1。后續課和工程中應用實例；2。線性代數中全部概念幾何形象,甚至動畫；3。解各種線性代數問題MATLAB程序；4。適累計算機算習題。另外就是MATLAB語言入門。它宗旨是實現下面三句口號：線性代數抽象嗎？看了本書后，你會知道它概念都基于空間形象。線性代數冗繁嗎？學了本書后，你會知道它計算全藉助簡明程序。線性代數枯燥嗎？讀了本書后，你會發覺它應用極其廣泛又精彩。第18頁美國做法1990年開始，先組成了線性代數課程研究組(LinearAlgebraCurriculumStudyGroup-LACSG)。8月，他們和工程界代表，共同提出了幾條提議，簡稱為LACSGRecommendations：關鍵點是：(i)，線性代數課程要面向應用，滿足廣大非數學專業學生需要；(ii)，它應該是面向矩陣;(iii)，它應該是依據學生水平和需要來組織；(iv)，它應該利用最新計算技術;(v)，對數學專業要另設課程提升其抽象性。1992年NSF又資助了一個ATLAST計劃，ATLAST是AugmenttheTeachingofLinearAlgebrausingSoftwareTools(用軟件工具增強線性代數教學)縮寫。該計劃在1992到1997六個暑期組織了許多學習班。使大批教師接收了科學計算語言培訓。從而在全國推進了線性代數與計算機結合。第19頁本項目工作過程（）205月～8月寫出了《線性代數實踐與MATLAB入門》，209月在學校支持下辦了40余人線性代數教師培訓班，以稿為教材，講8節課。并舉行座談，聽取反饋意見。2011月，在一個學生班中試點加1學分“線性代數實踐”。也搜集反饋。這兩項試點結果都反應在2006年4月給教指委提議書中。第20頁試用方法和效果我校利用這本書初稿在全校線性代數老師辦了一次培訓班，給參加培訓老師計工作量，所以參訓老師踴躍。在學生班中也作了加一個學分“線性代數實踐”試點，收到了很好反應。書使用方法是在線性代數課中加一個《線性代數實踐》學分，在線性代數上到二分之一時候開設。1學分，15課時，其中講課10課時（MATLAB4課時，線性代數實踐6課時）上機10機時（5課時）。考試成績按10~15%計入線性代數總分。第21頁教師培訓班部分反應

（見‘培訓班部分組員談學習體會）培訓班40名教師，有27名寫了心得，普遍盛贊引入軟件和實踐好處。見給教指委提議書。“老師不能只抱著一本要求教材上課，必須看外國最新教材和發展趨勢，并從歷史觀點分析差距產生原因和克服方法；必須了解后續課怎樣用線性代數，要更多地了解線性代數在工程中應用。這次培訓班和這本實踐教材最大貢獻是在這個方面。”“在當前條件下，能夠改革地方應該先做起來。比如用本教材中應用實例使學生提升學習目標性和主動性，充分利用二維、三維空間形象強化學生感性認識；在計算能力方面，當前馬上讓全部學生大量使用MATLAB有一定困難，但最少要告訴同學哪些工作應該由計算機來完成，”第22頁05屆學生反應舉例一邊學理論，一邊學實踐，讓我們在其它同學面前多了一份自豪！欣慰之情難以言表！自豪只是內心之感，學這們課最大致會是多了一技之長！學以制用，此為學目標：學matlab讓我深刻地體會到了學習線性代數用途所在，為此解除了迷惑，有了學習動力。這門課對我們很有用，可惜只有我們班開課，應推廣至全部同學。最好能增加上機次數，以后每學期最好也能開幾次課。不然就忘了，白學了！在初，對這個已是三年級班又重做了調查，對“線性代數實踐”課程依然反應很好。97％學生認為線性代數應該筆算、機算都會，才能處理實際問題。線性代數實踐教給他們很有用能力。而且反應學習機算并不難。另外，反應后續課沒有很好用機算使他們無用武之地。第23頁1月對05班學生重新調查(7)你以為學生學完線性代數課后應該：(a)。只會用筆算就夠了；(b)。只會用計算機算就行了；(c)。筆算、機算都會。請說明理由； 答： 2人答(a),8人答(b),80人答(c),未答4(9)增加計算機算題內容對教師費不費時？大約要增加多少課時？對學生掌握起來難不難？會幫助還是減弱理論了解？ 答：不難，8～10課時，能幫助了解。編程有困難，要有多練條件。(13)你在其它哪些課程中曾用計算機解過題？用什么語言？對學校做好“提升教育當代化水平”其它提議。 答：數值算法，C語言，MATLAB語言，第24頁工作過程（）一是編寫一本兼講理論與實踐教材二是在學生班中擴大試點：（1）在小學期開“線性代數實踐”選修課（不理想），（2）在本碩班（240人）線性代數課中加“實踐”內容；（用“實踐”教材）（3）在技術物理學院選一個班（100人），在線性代數課中加“實踐”內容；（試驗新編教材膠印本）三是努力取得教育部支持。一個學校改受到很大牽制，如考研，統考標準…等。所以，經過理工科處找到了教指委，提出提議，得到支持。第25頁工作過程（）1。在總結膠印教材基礎上，編寫了正式教材《工程線性代數（MATLAB版）》，.7由電子工業出版社正式出版。2。教材出版后，快速作出課件；3。爭取了分教指委基金項目。4。繼續在本科班進行試點，尤其是為了檢驗教材適用性。除正式安排了三個班試點外，在普通班也介紹這本書作為參考書。5。對試點學生效果進行調查。第26頁用MATLAB教材優越性何在依據兩年實踐，我們在新書中又把其特點歸納為四個方面，即四個主要特點：1。全部概念都從幾何圖形引入，做到抽象與形象結合；2。一切繁瑣計算都有簡明程序，推進筆算與機算結合；3。大量實例詮釋了課程價值，實現理論與實踐結合；

4。能與后續課需要緊密銜接。考慮到部分教師和學生工程基礎不足，把與后續課相關內容移到最終一章，能夠選修。第27頁關于抽象與形象結合①三元方程組解幾何意義（適定、超定與欠定）；②兩個向量行列式是它們組成平行四邊形面積；③三個向量行列式是它們組成平行六面體體積；④二維、三維向量線性相關和線性無關幾何意義；⑤平面（二維）線性變換幾何特征及其意義；⑥三元齊次方程基礎解系幾何特征；⑦二元超定方程最小二乘解幾何表述；⑧二次型化為標準型不一樣方法幾何解釋第28頁關于筆算與機算結合

①矩陣賦值和其加、減、乘、除（求逆）命令；②矩陣化為最簡行階梯型計算命令；[U0,ip]=rref(A)③多元線性方程組MATLAB求解幾個方法；x=inv(A)*b,U=rref(A)④行列式幾個計算機求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(L))⑤n個m維向量組相關性及其秩計算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A)⑥求欠定線性方程組基礎解系及超定方程解MATLAB命令；xb=null(A)⑦矩陣特征方程、特征根和特征向量計算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A)⑧化二次型為標準型MATLAB命令；yTDy=xTAx;其中y=P-1x,第29頁關于實現理論與實踐結合

①多項式插值系數計算②平板穩態溫度計算③交通流量分析④成本核實問題⑤圖及其矩陣表述⑥網絡矩陣分割和連接⑦彈性梁柔度矩陣⑧用行列式計算面積第30頁關于實現理論與實踐結合(續)⑨化學方程配平⑩減肥配方實現⑾剛體平面運動計算和繪圖⑿混凝土配料中應用⒀圓錐截面二次型方程插值問題⒁人口遷徙模型⒂物料混合問題（用到微分方程）第31頁關于與后續課應用銜接

①用線性代數解直流電路舉例②用線性代數解交流電路舉例③用線性代數解線性系統中常微分方程舉例④用線性代數解線性系統中信號流圖舉例⑤用線性代數求數字信號處理中系統函數舉例⑥用線性代數解靜力學問題舉例⑦用線性代數解運動學問題舉例⑧用線性代數解機械測量學問題舉例⑨用線性代數解文件管理問題舉例⑩用線性代數解經濟管理問題舉例第32頁以上四個特點綜合這大致可反應在“導讀與意見反饋表”中這張表表明了新教材與傳統教材內容主要差異，或者說新教材增加內容。這里列出了40條左右，其實因表篇幅限制，這還是不完全統計，比如奇異值分解、計算精度和速度討論等新內容都未列入。理論上增加了超定方程解，那是工程上極有用內容。所以對于大學新生自學閱讀參考書而言，本書也是非常有價值。第33頁學生反應對三屆試點班民調都顯示，學生都反對只教筆算，對試點中自己學會機算非常自豪。其主要好處：①。學以致用，有目標，有興趣；②。建立空間概念，加強了了解；③。節約了算題時間，能夠多看書和思索；④。會解任意高階題目，對后續課很有用處。在全校理論統考對比中，試點班成績就遠高于普通班，并沒有發生學生因使用計算機而偷懶問題；相反，卻因提升了感性認識和學習興趣而對理論了解更深了實踐能力差距就更大了。普通班只能筆算三階以下簡單實數方程組，對試點教材中幾十道應用題可望而不可及，而試點班卻能用計算機快速解出這些高階復數乃至超定方程組問題。這就實現了線性代數與后續課（力學、電路、信號與系統、信號處理、自動控制等課程）無縫銜接，也給后續課機算創造了條件。第34頁關于實施方法試驗在試點中，我們試驗了“小學期單獨開線性代數實踐課”和“在理論課中結合教實踐”兩種方法，確認前一個方法費時費勁，效果不好，因為實踐與理論時間相隔太久，起不到相互促進作用，給予否定；我們也試驗了兩種不一樣教材，一是兩本教材，即原理論教材加《線性代數實踐》，二是用理論實踐結合一體《工程線性代數》教材。我們以為兩種方法都行，前者可保持教師原有講課習慣和教案，減輕備新課工作量；后者可減輕學生經濟和閱讀負擔。我們為兩種教材都提供了網上無償下載程序集和電子課件。第35頁學生非常歡迎此課線性代數實踐課程不但在當初就引發學生極大興趣，使他們在中學走進大課時看到了當代化學習伎倆怎樣提升效率，同時為他們學好其它課程提供了很好工具。在兩年之后，他們對這一改革所帶來好處依然記憶猶新，想著它所帶來好處。可見推廣這一做法，必定能給學生學習效率和質量帶來很大好處。深入在后續課中使用矩陣、使用MATLAB，將能使這一改革擴大影響，使機算更多地用到電路、信號與系統、數字信號處理等課程中，有利于提升整個教學計劃實施質量。第36頁對本項改革自我評價我們認為，上述方案已經克服了原線性代數綱領中兩個主要弱點，它既能提升課程本身教學水平，又能實現與后續課程需求無縫銜接，能夠到達雙贏效果。有很好推廣價值。我們也創造了推廣所需教材、課件、程序集等基本條件，能夠推廣。沒有別風險，只是要多化一個學分，而其中MATLAB原來都要學，在線性代數上多化時間不過4～6課時。

第37頁推廣中要處理問題（1）①教師問題，因為辦了教師培訓班，我校推廣此結果師資條件基本具備。但有少部分教師，數學軟件和工程知識不足，還需抓緊提升才能勝任。