2024屆天津市重點中學九年級下學期4月數(shù)學模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在半徑為50mm的。中，弦AB長50mm,則點。到AB的距離為（)

A.50mmB.25GmmC.25mmD.250mm

2.如圖，AB,BC是。。的兩條弦，AO±BC,垂足為D,若。O的半徑為5,BC=8,則AB的長為（）

A.8B.10C.473D.4指

3.下列事件中，是隨機事件的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

B.任意一個四邊形的外角和等于360。

C.早上太陽從西方升起

D.平行四邊形是中心對稱圖形

4.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧，點。是這段弧所在圓的圓心，AB=4Qm,點C是A3的中點,D是AB的

中點,且。。=10相，則這段彎路所在圓的半徑為（）

A.25mB.24mC.30mD.60m

5.解方程3(2x—I)?=4(2x—1)最適當?shù)姆椒ㄊ?)

A.直接開平方法B.配方法C.因式分解法D.公式法

6.如圖，點A在以8C為直徑的。內(nèi)，且=以點A為圓心，AC長為半徑作弧，得到扇形ABC,且

ZBAC=120°,BC=2.若在這個圓面上隨意拋飛鏢，則飛鏢落在扇形ABC內(nèi)的概率是()

7.如圖，各正方形的邊長均為1,則四個陰影三角形中，一定相似的一對是()

A.①②B.①③C.②③D.③④

8.如圖1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以拋物線為模型設計而成，且成軸對稱圖形.從正面看葡萄酒杯的上半

部分是一條拋物線，若AB=4,CD=3,以頂點C為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，則拋物線的表達式為

()

32323232

A.y——xB.y——xC.y——xD.y-....x

416416

1—3人

9.在反比例函數(shù)y=----的圖象上有兩點A（xi,yi）,B（X2,y2）,當0>xi>X2時，有yi>y2,則k的取值范圍

x

是（）

1111

A.k<-B.k<-C.貯一D.k>-

3333

10.已知點（xi,ji）,（X2,j2）是反比例函數(shù)y=*圖象上的兩點，且0Vxi〈X2,則yi,以的大小關系是（）

A.0<ji<j2B.0<j2<jiC.ji<j2<0D.j2<ji<0

11.已知二次函數(shù)y=一取+1（一5<A<2）,則函數(shù)圖象隨著匕的逐漸增大而（)

A.先往右上方移動，再往右平移

B.先往左下方移動，再往左平移

C.先往右上方移動，再往右下方移動

D.先往左下方移動，再往左上方移動

12.如圖，數(shù)學興趣小組的小穎想測量教學樓前的一棵樹的樹高，下午課外活動時她測得一根長為1m的竹竿的影長

是0.8m,但當她馬上測量樹高時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上（如圖），他先

測得留在墻壁上的影高為L2m,又測得地面的影長為2.6m,請你幫她算一下，樹高是（）

A.4.25mB.4.45mC.4.60mD.4.75m

二、填空題（每題4分，共24分）

13.等邊三角形ABC中，AB=2,將ABC繞AC的中點。逆時針旋轉90。，得到△A4G，其中點3的運動路

徑為BB],則圖中陰影部分的面積為

14.因式分解：a3-4a=

15.如圖，在4x3的矩形方框內(nèi)有一個不規(guī)則的區(qū)城4（圖中陰影部分所示），小明同學用隨機的辦法求區(qū)域A的面

積.若每次在矩形內(nèi)隨機產(chǎn)生10000個點，并記錄落在區(qū)域A內(nèi)的點的個數(shù)，經(jīng)過多次試驗，計算出落在區(qū)域4內(nèi)點

的個數(shù)的平均值為6700個，則區(qū)域A的面積約為.

16.在某一時刻，測得一根高為1.8帆的竹竿的影長為3相，同時同地測得一棟樓的影長為90帆，則這棟樓的高度為

_______m.

17.已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC、6。相較于點。，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加

一個條件（只添加一個即可），使平行四邊形ABC。成為矩形.

18.如圖，正方形網(wǎng)格中，5個陰影小正方形是一個正方體表面展開圖的一部分.現(xiàn)從其余空白小正方形中任取一個

涂上陰影，則圖中六個陰影小正方形能構成這個正方體的表面展開圖的概率是.

三、解答題（共78分）

19.（8分）計算或解方程：（1）（2—后+后二花+2sin30。xtan60。

（2）2X2+X-6=0

20.（8分）互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已經(jīng)成為大眾創(chuàng)業(yè)的一種新途徑，某網(wǎng)店準備銷售一種多功能旅行背包，計劃從廠家

以每個50元的價格進貨.

[~7~|件庫存2000件

|立即購買

銷售期間發(fā)現(xiàn)：銷售單價是100元時，每天的銷售量是50個，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5個，為了增

加銷售量，盡量讓利顧客，當銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤達到4000元？

21.（8分）某學校的學生為了對小雁塔有基本的認識，在老師的帶領下對小雁塔進行了測量.測量方法如下：如圖，

間接測得小雁塔地部點D到地面上一點E的距離為115.2米，小雁塔的頂端為點B,且BDLDE,在點E處豎直放一

個木棒，其頂端為C,CE=1.72米，在DE的延長線上找一點A,使A、C、B三點在同一直線上，測得AE=4.8米.求

小雁塔的高度.

4￡O

22.（10分）滿洲里市某樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房

者持幣觀望.為了加快資金周轉，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售.

（1）求平均每次下調(diào)的百分率；

（2）某人準備以開盤均價購買一套100平方米的房子.開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；

②不打折，送兩年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費是每平方米每月1.5元，請問哪種方案更優(yōu)惠？

23.（10分）某商店以每件40元的價格進了一批商品，出售價格經(jīng)過兩個月的調(diào)整，從每件50元上漲到每件72元，

此時每月可售出188件商品.

（1）求該商品平均每月的價格增長率；

（2）因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價出售.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價每下降一元，每個月多賣出

一件，設實際售價為*元，則x為多少元時銷售此商品每月的利潤可達到4000元.

24.（10分）一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,另有一個可以自由旋轉的圓

盤，被分成面積相等的3個扇形區(qū)域，分別標有數(shù)字1,2,3（如圖所示）.小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學校參

加歌詠比賽，游戲規(guī)則為：一人從口袋中摸出一個小球，另一人轉動圓盤，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉出數(shù)字之

和小于4,那么小穎去；否則小亮去.

⑴用樹狀圖法或列表法求出小穎參加比賽的概率；

⑵你認為游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請修改該游戲規(guī)則，使游戲公平.

25.（12分）某養(yǎng)殖場計劃用96米的竹籬笆圍成如圖所示的①、②、③三個養(yǎng)殖區(qū)域，其中區(qū)域①是正方形，區(qū)域②

和③是矩形，且AG：5G=3：1.設5G的長為lx米.

AFD

①

H③

②

B--------------1-----------------------C

（1）用含x的代數(shù)式表示。尸=一;

（Dx為何值時，區(qū)域③的面積為180平方米；

（3）x為何值時，區(qū)域③的面積最大？最大面積是多少？

26.如圖，在某建筑物AC上，掛著一宣傳條幅BC,站在點F處，測得條幅頂端B的仰角為30。，往條幅方向前行

20米到達點E處，測得條幅頂端B的仰角為60。，求宣傳條幅BC的長.（3。1.732,結果精確到0.1米）

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、B

【分析】過點O作OCJ_AB于點C,由在半徑為50cm的。O中，弦AB的長為50cm,可得aOAB是等邊三角形,

繼而求得NAOB的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得點O到AB的距離.

【詳解】解：過點。作OC_LAB于點C,如圖所示：

.,.△OAB是等邊三角形,

/.ZOAB=60°,

VOC±AB

OC=04.sin60。=50X乎=25?cm）

故選：B

此題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù),熟練掌握垂徑定理，證明aOAB是等邊三角形是解決問

題的關鍵.

2、D

【分析】根據(jù)垂徑定理求出BD,根據(jù)勾股定理求出OD,求出AD,再根據(jù)勾股定理求出AB即可.

【詳解】解：；AO_LBC,AO過O,BC=8,

；.BD=CD=4,NBDO=90。，

由勾股定理得：OD='B02_BD2=加2-U=3,

/.AD=OA+OD=5+3=8,

在R3ADB中，由勾股定理得：AB=打+42=46，

故選D.

本題考查了垂徑定理和勾股定理，能根據(jù)垂徑定理求出BD長是解此題的關鍵.

3、A

【分析】根據(jù)隨機事件的概念對每一事件進行分析.

【詳解】選項A,只有當兩條直線為平行線時，同位角才相等，故不確定為隨機事件.

選項B,不可能事件.

選項C不可能事件

選項D,必然事件.

故選A

本題考查了隨機事件的概念.

4、A

【分析】根據(jù)題意，可以推出40=30=20,若設半徑為r,則OZ>=r-10,OB=r,結合勾股定理可推出半徑r的值.

【詳解】解：

二.AD=DB=20/77,

在HfAAOD中，=OD~+AD~,

設半徑為廣得：r2=(r-10)2+202,

解得：r=25m,

,這段彎路的半徑為25m

故選A.

本題主要考查垂徑定理的應用、勾股定理的應用，關鍵在于設出半徑為r后，用r表示出0。、05的長度.

5、C

【分析】根據(jù)解一元二次方程的方法進行判斷.

【詳解】解：先移項得到3(2x-1)2-4(2x-l)=0,然后利用因式分解法解方程.

故選：c.

本題考查了解一元二次方程一一因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，

是解一元二次方程最常用的方法.

6、C

【分析】如圖，連接AO,NBAC=120。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AOLBC,NBAO=60。，解直角三角形得到

AB=2",由扇形的面積公式得到扇形ABC的面積=120."義(飛一)-4〃，根據(jù)概率公式即可得到結論.

3-----------------------——

3609

【詳解】如圖，連接AO,ZBAC=120°,

VAB=AC,BO=CO,

AAO±BC,ZBAO=60°,

VBC=2,

ABO=1,

AB=BO4-cos30°=,

3

扇形ABC的面積=四兀乂(3)_也,

360—9

的面積="，

加4

二飛鏢落在扇形ABC內(nèi)的概率是9=—，

-----9

71

故選：C.

本題考查了幾何概率，扇形的面積的計算，等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形的運用，正確的識別圖形是解題的關鍵.

7、A

【分析】利用勾股定理，求出四個圖形中陰影三角形的邊長，然后判斷哪兩個三角形的三邊成比例即可.

【詳解】解：由圖，根據(jù)勾股定理，可得出

①圖中陰影三角形的邊長分別為：1,0,6；

②圖中陰影三角形的邊長分別為：72,2,710；

③圖中陰影三角形的邊長分別為：1,石,20；

④圖中陰影三角形的邊長分別為：2,75,713；

可以得出①②兩個陰影三角形的邊長J=—=^=—,

V227102

所以圖①②兩個陰影三角形相似；

故答案為：A.

本題考查相似三角形的判定，即如果兩個三角形三條邊對應成比例，則這兩個三角形相似；本題在做題過程中還需注

意，陰影三角形的邊長利用勾股定理計算，有的圖形需要把小正方形補全后計算比較準確.

8、A

【分析】由題意可知C(0,0),且過點(2,3),設該拋物線的解析式為

y=ax2,將兩點代入即可得出a的值，進一步得出解析式.

【詳解】根據(jù)題意，得

該拋物線的頂點坐標為C(0,0),經(jīng)過點(2,3).

二?設該拋物線的解析式為y=ax2.

.e*3=ax22.

3

?-a=—.

4

3

該拋物線的解析式為y=-x2.

4

故選A.

本題考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意得出兩個坐標是解題的關鍵.

9、D

【解析】根據(jù)題意可以得到L3kV0,從而可以求得k的取值范圍，本題得以解決.

1—3左

【詳解】???反比例函數(shù)y=--------的圖象上有兩點A(xi,yi),B(xz,y2),當0>xi>X2時，有yi>y2,

解得，k>:,

3

故選D.

本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

10、B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)為5>0,在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小的性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】?門〉。，

圖形位于一、三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

又,.,0VxiVx2,

故選：B.

本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.注意：反比例函數(shù)的增減性只指在同一象限內(nèi).

11>D

【分析】先分別求出當入=-5、0、2時函數(shù)圖象的頂點坐標即可得結論.

【詳解】解：二次函數(shù)y=-好-板+1(-5<6<2),

529529

當6=-5時，y=-X2+5X+1=-(x)2+—,頂點坐標為(一，一)；

2424

當6=0時，y=-x2+l,頂點坐標為(0,1)；

當萬=2時，y=-秒-2x+l=-(X+1)2+2,頂點坐標為(-1,2).

故函數(shù)圖象隨著6的逐漸增大而先往左下方移動，再往左上方移動.

故選：D.

本題主要考查了二次函數(shù)圖象，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關鍵.

12、B

【分析】此題首先要知道在同一時刻任何物體的高與其影子的比值是相同的，所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與

其影子的比值相同，利用這個結論可以求出樹高.

【詳解】如圖，設BD是BC在地面的影子，樹高為X,

根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得

CB1*

---=---而CB=1.2,

BD0.8

/.BD=0.96,

二樹在地面的實際影子長是0.96+2.6=3.56,

X1

再竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得R，

3.560.8

；?x=4.45,

???樹高是4.45m.

故選B.

抓住竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同是關鍵.

二、填空題(每題4分，共24分)

3V3

42

【分析】先利用勾股定理求出OB,再根據(jù)S陰影=s扇形BOB|-S°BC,計算即可.

【詳解】解：在等邊三角形ABC中，O為AC的中點，AB=2

AOBIOC,OC=-AB=1,BC=AB=2

2

:.ZBOC=90°

???OB=A/BC2-OC2=73

?.?將.ABC繞AC的中點。逆時針旋轉90。，得到J4G

.?./BOB]=90°

.?.0、C、B]三點共線

,S陰影=S扇形BOB|-SOBC=^XKX(^)

故答案為：,兀一旦

42

本題考查旋轉變換、扇形面積公式，三角形的面積公式，以及勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決

問題，屬于中考常考題型.

14>a(a+2)(a-2)

【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.

【詳解】解：/-4々二一勺=〃(〃+2)(〃一2)

本題考查因式分解，掌握因式分解方法是關鍵.

15、8.04

【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求區(qū)域A的面積的估計值.

【詳解】解：由題意，???在矩形內(nèi)隨機產(chǎn)生10000個點，落在區(qū)域A內(nèi)點的個數(shù)平均值為6700個,

6700.

.?.4概率m「=------=0.67,

10000

??,4x3的矩形面積為12,

，區(qū)域A的面積的估計值為：0.67x12=8.04；

故答案為：8.04；

本題考查古典概型概率公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

16、1

【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比即可得出結論.

【詳解】解：設這棟樓的高度為hm,

?.?在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m,同時測得一棟樓的影長為60m,

???A一,

390

解得h=l（m）.

故答案為L

本題考查的是相似三角形的應用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關鍵.

17、或（NABC=90°等，答案不唯一）

【分析】矩形是特殊的平行四邊形，矩形有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是：矩形的對角線相等，矩形的四個內(nèi)角是直

角；可針對這些特點來添加條件.

【詳解】解：若使nABCD變?yōu)榫匦危商砑拥臈l件是：

AC=BD；（對角線相等的平行四邊形是矩形）

ZABC=90°等.（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

故答案為：AC=BD或（ZABC=90°等）

此題主要考查的是矩形的判定方法，熟練掌握矩形和平行四邊形的聯(lián)系和區(qū)別是解答此題的關鍵.

4

18、

7

【分析】首先確定所求的陰影小正方形可能的位置總數(shù)目，除以剩余空白部分的正方形的面積個數(shù)即為所求的概率.

【詳解】解：從陰影下邊的四個小正方形中任選一個，就可以構成正方體的表面展開圖，

4

二能構成這個正方體的表面展開圖的概率是一.

7

4

故答案為：一.

7

本題將概率的求解設置于正方體的表面展開圖中，考查學生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機械

計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學知識在現(xiàn)實生活、甚至娛樂中的運用，體現(xiàn)了數(shù)學學科的基礎性.用到的知識點為：概率=

相應的面積與總面積之比；“一，四，一”組合類型的6個正方形能組成正方體.

三、解答題(共78分)

3

19、(1)5—J3;(2)xi=-2,X2=一

2

【分析】(1)利用完全平方差公式以及化簡二次根式和代入特殊三角函數(shù)進行計算即可；

(2)由題意觀察原方程，可用因式分解法中十字相乘法或者公式法求解.

【詳解】(1)計算：(2-6)2+扃二花+2sin30。Xtan60。

V2

解：原式=7—46+舊—?+2X；XG

=7-46+2G-2+6

=5—y/3.

(2)2d+%—6=0

解法一：(2x—3)(x+2)=0

2x—3=0或x+2=0,

3

Xl=-2,X2=—.

2

解法二：a=2,b=l,c=—6,

△=b2—4ac=l2—4x2x(—6)=49,

-1土M-1±7

x=--------=-----，

2x24

3

Xl=-2,X2=—.

2

本題主要考查用因式分解法解一元二次方程以及實數(shù)的綜合運算，涉及的知識點有特殊角的三角形函數(shù)值、完全平方

差公式以及二次根式的分母有理化等.

20、當銷售單價為70元時，每天的銷售利潤達到4000元.

【分析】假設銷售單價為x元，根據(jù)題意可知銷售量與銷售單價之間的關系，銷售量是關于x的一元一次函數(shù)，利潤

=(售價-成本)x銷售量，根據(jù)這一計算方式，將x代入，即可求得答案.

【詳解】解：設銷售單價為X元時，每天的銷售利潤達到4000元，由題意得:

銷售量為：50+5x（100-x）（件），每件的利潤為：x-50（元），

又?.?利潤=（售價-成本）x銷售量，可得：（x-5O）x[50+5x（100-x）]=4000,

解得：X]=70,X2=90,

二?商家為了增加銷售量，且盡量讓利顧客，.?.取x=70,

答：銷售單價為70元時，每天的銷售利潤達到4000元.

本題的考察了一元二次方程解決實際生活問題，解題的關鍵在于將銷售量以及每件衣服的利潤用x進行表示，且要掌

握：利潤=（售價-成本）x銷售量，同時要根據(jù)題意對解出來的答案進行取舍.

21、43m.

AFFC

【解析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出一=—,進而得出答案.

ADBD

【詳解】解由題意可得AAECS^ADB,

u4.81.72

故----------=----，

4.8+115.2BD

解得DB=43,

答：小雁塔的高度為43m.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出AAECSAADB是解題的關鍵.

22、（1）、10%；⑵、方案一優(yōu)惠

【解析】試題分析：（1）、設出平均每次下調(diào)的百分率為x,利用預訂每平方米銷售價格x（1-每次下調(diào)的百分率）2=

開盤每平方米銷售價格列方程解答即可；（2）、對于方案的確定，可以通過比較兩種方案得出的費用：①方案：下調(diào)后

的均價xlOOxO.98；②方案：下調(diào)后的均價xlOO-兩年的物業(yè)管理費，比較確定出更優(yōu)惠的方案.

試題解析：（1）、設平均每次降價的百分率是x,根據(jù)題意列方程得，5000（1-x）2=4050,

解得：xi=10%,X2=1.9（不合題意,舍去）;

答：平均每次降價的百分率為10%.

（2）、方案一的房款是：4050x100x0.98=396900（元）；

方案二的房款是：4050x100-1.5x100x12x2=401400（元）

；396900元V401400元.

考點：一元二次方程的應用.

23、（1）20%;（2）60元

【分析】（1）設該商品平均每月的價格增長率為m,根據(jù)該商品的原價及經(jīng)過兩次漲價后的價格，即可得出關于m的

一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（2）根據(jù)總利潤=單價利潤義銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論.

【詳解】解：（1）設該商品平均每月的價格增長率為機，

依題意，得：50（1+而尸=72,

解得：》n=0.2=20%,rm--2.2（不合題意，舍去）.

答：該商品平均每月的價格增長率為20%.

（2）依題意，得：（x-40）[188+（72-x）]=4000,

整理，得：x2-300x+14400=0,

解得：xi=60,X2—240（不合題意，舍去）.

答：x為60元時商品每天的利潤可達到4000元.

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

24、（1）P（小穎去）=!；