河南省洛陽市第一中學2025屆高一下數學期末統考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知實數滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．62．關于x的不等式ax－b>0的解集是，則關于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是()A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．[1,2]D．(，1]∪[2，)3．函數的零點所在的區間是（）．A． B． C． D．4．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢5．對于一個給定的數列，定義：若，稱數列為數列的一階差分數列；若，稱數列為數列的二階差分數列．若數列的二階差分數列的所有項都等于，且，則（）A．2018 B．1009 C．1000 D．5006．函數，，若在區間上是單調函數，，則的值為（）A． B．2 C．或 D．或27．已知，，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．化簡：（）A． B． C． D．9．函數的最小正周期為（）A． B． C． D．10．如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為4，且側棱垂直于底面，正視圖是邊長為4的正方形，則三棱柱的左視圖面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列的通項公式為，是其前項和，則_____．（結果用數字作答）12．已知向量，且，則___________．13．我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術”，即的，其中分別為內角的對邊.若，且則的面積的最大值為____．14．甲船在島的正南處，，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發以每小時的速度向北偏東的方向駛去，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.15．異面直線，所成角為，過空間一點的直線與直線，所成角均為，若這樣的直線有且只有兩條，則的取值范圍為___________________.16．某次體檢，6位同學的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77則這組數據的中位數是_________（米）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在中，，角的平分線交于點，設，其中．（1）求；（2）若，求的長．18．已知函數(1)解關于的不等式；(2)若，令，求函數的最小值.19．已知向量且，（1）求向量與的夾角；（2）求的值.20．已知為等差數列，且，．求的通項公式；若等比數列滿足，，求的前n項和公式．21．已知關于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）求函數的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

設點，根據條件知點均在單位圓上，由向量數量積或斜率知識，可發現，對目標式子進行變形，發現其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關.【詳解】設，，均在圓上，且，設的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設到直線的距離分別為，，，.【點睛】利用數形結合思想，發現代數式的幾何意義，即構造系數，才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.2、A【解析】試題分析：因為關于x的不等式ax－b>0的解集是，所以，從而SKIPIF1<0≤0可化為SKIPIF1<0，解得，關于x的不等式SKIPIF1<0≤0的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，選A。考點：本題主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法。點評：簡單題，從已知出發，首先確定a,b的關系，并進一步確定一元二次不等式的解集。3、C【解析】

因為原函數是增函數且連續，，所以根據函數零點存在定理得到零點在區間上，故選C．4、B【解析】設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又,則,故選B.5、C【解析】

根據題目給出的定義，分析出其數列的特點為等差數列，利用等差數列求解.【詳解】依題意知是公差為的等差數列，設其首項為，則，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．選C.【點睛】本題考查新定義數列和等差數列，屬于難度題.6、D【解析】

先根據單調性得到的范圍，然后根據得到的對稱軸和對稱中心，考慮對稱軸和對稱中心是否在同一周期內，分析得到的值.【詳解】因為，則；又因為，則由可知得一條對稱軸為，又因為在區間上是單調函數，則由可知的一個對稱中心為；若與是同一周期內相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以；若與不是同一周期內相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以.【點睛】對稱軸和對稱中心的判斷：對稱軸：，則圖象關于對稱；對稱中心：，則圖象關于成中心對稱.7、A【解析】

由作差法可判斷出A、B選項中不等式的正誤；由對數換底公式以及對數函數的單調性可判斷出C選項中不等式的正誤；利用指數函數的單調性可判斷出D選項中不等式的正誤.【詳解】對于A選項中的不等式，，，，，，，，A選項正確；對于B選項中的不等式，，，，，，，B選項錯誤；對于C選項中的不等式，，，，，，，即，C選項錯誤；對于D選項中的不等式，，函數是遞減函數，又，所以，D選項錯誤.故選A.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，常見的比較大小的方法有：（1）比較法；（2）中間值法；（3）函數單調性法；（4）不等式的性質.在比較大小時，可以結合不等式的結構選擇合適的方法來比較，考查推理能力，屬于中等題.8、A【解析】

.故選A．【點睛】考查向量數乘和加法的幾何意義，向量加法的運算．9、D【解析】,函數的最小正周期為，選.【點睛】求三角函數的最小正周期，首先要利用三角公式進行恒等變形，化簡函數解析式，把函數解析式化為的形式，然后利用周期公式求出最小正周期，另外還要注意函數的定義域.10、A【解析】

根據題意，得出該幾何體左視圖的高和寬的長度，求出它的面積，即可求解.【詳解】根據題意，該幾何體左視圖的高是正視圖的高，所以左視圖的高為，又由左視圖的寬是俯視圖三角形的底邊上的高，所以左視圖的寬為，所以該幾何體的左視圖的面積為，故選A.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

由題意知，數列的偶數項成等差數列，奇數列成等比數列，然后利用等差數列和等比數列的求和公式可求出的值.【詳解】由題意可得，故答案為.【點睛】本題考查奇偶分組求和，同時也考查等差數列求和以及等比數列求和，解題時要得出公差和公比，同時也要確定出對應的項數，考查運算求解能力，屬于中等題.12、【解析】

把平方，將代入，化簡即可得結果.【詳解】因為，所以，，故答案為.【點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數量積公式，屬于中檔題.平面向量數量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.13、【解析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【詳解】因為，所以整理可得，由正弦定理得因為，所以所以當時，的面積的最大值為【點睛】本題用到的知識點有同角三角函數的基本關系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學生分析問題的能力和計算整理能力．14、【解析】

根據條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數對稱軸及可求解出最值.【詳解】假設經過小時兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當小時時甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【點睛】本題考查解三角形的實際應用，難度較易.關鍵是通過題意將示意圖畫出來，然后將待求量用未知數表示，最后利用函數思想求最值.15、【解析】

將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，根據題意可以求出的取值范圍.【詳解】將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，異面直線，所成角為，可知，所以，所以在方向，要使有兩條，則有：，在方向，要使不存在，則有，綜上所述，.故答案為：【點睛】本題考查了異面直線的所成角的有關性質，考查了空間想象能力.16、1.76【解析】

將這6位同學的身高按照從低到高排列為：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，這六個數的中位數是1.75與1.77的平均數，顯然為1.76.【考點】中位數的概念【點睛】本題主要考查中位數的概念，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，涉及統計的題目，往往不難，主要考查考生的視圖、用圖能力，以及應用數學解決實際問題的能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）5.【解析】

（1）根據求出和的值，利用角平分線和二倍角公式求出，即可求出；（2）根據正弦定理求出，的關系，利用向量的夾角公式求出，可得，正弦定理可得答案【詳解】解：（1）由，且，，，，則；（2）由正弦定理，得，即，，又，，由上兩式解得，又由，得，解得【點睛】本題考查了二倍角公式和正弦定理的靈活運用和計算能力，是中檔題．18、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

(1)討論的范圍，分情況得的三個答案.(2)時，寫出表達式，利用均值不等式得到最小值.【詳解】(1)①當時，不等式的解集為，②當時，不等式的解集為，③當時,不等式的解集為(2)若時，令（當且僅當，即時取等號）.故函數的最小值為.【點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，函數的最小值，意在考查學生的綜合應用能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用平面向量的數量積的運算法則化簡，進而求出向量與的夾角；（Ⅱ）利用，對其化簡，代入數值，即可求出結果．【詳解】解：（Ⅰ）由得因向量與的夾角為（Ⅱ）【點睛】本題考查平面向量的數量積的應用，以及平面向量的夾角以及平面向量的模的求法，考查計算能力．20、（1）；（2）.【解析】

設等差數列的公差為d，由已知列關于首項與公差的方程組，求得首項與公差，則的通項公式可求；求出，進一步得到公比，再由等比數列的前n項和公式求解．【詳解】為等差數