北京海淀北方交大附中2023-2024學年數學高一下期末復習檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．閱讀程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果為()A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，，則（）A．3 B．2 C．1 D．04．直線的斜率是（）A． B． C． D．5．直線：與圓的位置關系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定6．已知等差數列的前項和為，，，則使取得最大值時的值為()A．5 B．6 C．7 D．87．函數的定義域為R，數列是公差為的等差數列，若，，則（）A．恒為負數 B．恒為正數C．當時，恒為正數；當時，恒為負數 D．當時，恒為負數；當時，恒為正數8．下列函數中，在區間上為減函數的是A． B． C． D．9．設等比數列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．10．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（）．A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列從第項起每項都是它前面各項的和，且，則的通項公式是__________．12．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于．13．已知算式，在方框中填入兩個正整數，使它們的乘積最大，則這兩個正整數之和是___.14．某中學從甲乙丙3人中選1人參加全市中學男子1500米比賽，現將他們最近集訓中的10次成績（單位：秒）的平均數與方差制成如下的表格：甲乙丙平均數250240240方差151520根據表中數據，該中學應選__________參加比賽．15．若為銳角，，則__________．16．己知函數，，則的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的前n項和為，，，.（1）求證：數列是等差數列；（2）令，數列的前n項和為，求證：.18．如圖，在直三棱柱中，，，，點N為AB中點，點M在邊AB上.（1）當點M為AB中點時，求證：平面；（2）試確定點M的位置，使得平面.19．已知圓,直線（1）求證：直線過定點；（2）求直線被圓所截得的弦長最短時的值；（3）已知點，在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數．20．如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點，且.（1）求的值；（2）若點的橫坐標為，求的值.21．（1）設1＜x＜，求函數y＝x（3﹣2x）的最大值；（2）解關于x的不等式x2-（a+1）x+a＜1．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】漸近線為，時，，所以，即，，，故選A．2、D【解析】

按照程序框圖運行程序，直到時輸出結果即可.【詳解】按照程序框圖運行程序輸入，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，不滿足，輸出故選：【點睛】本題考查根據程序框圖計算輸出結果的問題，屬于基礎題.3、A【解析】

由，求出，代入計算即可．【詳解】由題意，則.故答案為A.【點睛】本題考查了向量的數量積，考查了學生的計算能力，屬于基礎題．4、A【解析】

一般式直線方程的斜率為．【詳解】直線的斜率為.故選A【點睛】此題考察一般直線方程的斜率，屬于較易基礎題目5、C【解析】

求出圓的圓心坐標和半徑，然后運用點到直線距離求出的值和半徑進行比較，判定出直線與圓的關系.【詳解】因為圓，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓相交.故選【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，運用點到直線的距離公式求出和半徑比較，得到直線與圓的位置關系.6、D【解析】

由題意求得數列的通項公式為，令，解得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據等差數列的性質，可得，即又由，即，所以等差數列的公差為，又由，解得，所以數列的通項公式為，令，解得，所以使得取得最大值時的值為8，故選D.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質，等差數列的通項公式，以及前n項和最值問題，其中解答中熟記等差數列的性質和通項公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、A【解析】

由函數的解析式可得函數是奇函數，且為單調遞增函數，分和兩種情況討論，分別利用函數的奇偶性和單調性，即可求解，得到結論．【詳解】由題意，因為函數，根據冪函數和反正切函數的性質，可得函數在為單調遞增函數，且滿足，所以函數為奇函數，因為數列是公差為的等差數列，且，則①當時，由，可得，所以，所以，同理可得：，所以，②當時，由，則，所以綜上可得，實數恒為負數．故選：A．【點睛】本題主要考查了函數的單調性與奇偶性的應用，以及等差數列的性質的應用，其中解答中合理利用等差數列的性質和函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．8、D【解析】試題分析：在區間上為增函數；在區間上先增后減；在區間上為增函數；在區間上為減函數，選D.考點：函數增減性9、C【解析】

由，，聯立方程組，求出等比數列的首項和公比，然后求．【詳解】解：若，則，顯然不成立，所以．由，，得，，所以，所以公比．所以．或者利用，所以．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數列的前項和公式的應用，要求熟練掌握，特別要注意對公比是否等于1要進行討論，屬于基礎題．10、A【解析】試題分析：由斜二測畫法的規則知與x'軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長度不變，與y軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長度變成原來的一半，正方形的對角線在y'軸上，可求得其長度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長度變為原來的2倍，長度為2，觀察四個選項，A選項符合題意．故應選A．考點：斜二測畫法．點評：注意斜二測畫法中線段長度的變化．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

列舉,可找到是從第項起的等比數列,由首項和公比即可得出通項公式.【詳解】解：,即,所以是從第項起首項,公比的等比數列.通項公式為：故答案為：【點睛】本題考查數列的通項公式,可根據遞推公式求出.12、【解析】試題分析：由題意得，不妨設棱長為，如圖，在底面內的射影為的中心，故，由勾股定理得，過作平面，則為與底面所成角，且，作于中點，所以，所以，所以與底面所成角的正弦值為．考點：直線與平面所成的角．13、.【解析】

設填入的數從左到右依次為，則，利用基本不等式可求得的最大值及此時的和.【詳解】設在方框中填入的兩個正整數從左到右依次為，則，于是，，當且僅當時取等號，此時.故答案為：15【點睛】本題考查基本不等式成立的條件，屬于基礎題.14、乙；【解析】

一個看均值，要均值小，成績好；一個看方差，要方差小，成績穩定．【詳解】乙的均值比甲小，與丙相同，乙的方差與甲相同，但比丙小，即乙成績好，又穩定，應選乙、故答案為乙．【點睛】本題考查用樣本的數據特征來解決實際問題．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的穩定），這樣比較易得結論．15、【解析】因為為銳角，，所以，.16、1【解析】

將代入函數計算得到答案.【詳解】函數故答案為：1【點睛】本題考查了三角函數的計算，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據和的關系式，利用，整理化簡得到，從而證明是等差數列；（2）利用由（1）寫出的通項，利用裂項相消法求出，從而證明【詳解】（1）因為，所以當時，兩式相減，得到，整理得，又因為，所以，所以數列是等差數列，公差為3；（2）當時，，解得或，因為，所以，由（1）可知，即公差，所以，所以，所以【點睛】本題考查根據與的關系證明等差數列，裂項相消法求數列的和，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）推導出，由此能證明平面．（2）當點是中點時，推導出，，從而平面，進而，推導出△，從而，由此能證明平面．【詳解】（1）在直三棱柱中，點為中點，為中點，，平面，平面，平面．（2）當點是中點時，使得平面．證明如下：在直三棱柱中，，，，點為中點，點是中點，，，，平面，平面，，，，，△，，，，，平面．【點睛】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）直線過定點（2）.（3）在直線上存在定點，使得為常數.【解析】分析：（Ⅰ）利用直線系方程的特征，直接求解直線l過定點A的坐標．（Ⅱ）當AC⊥l時，所截得弦長最短，由題知，r=2，求出AC的斜率，利用點到直線的距離，轉化求解即可．（Ⅲ）由題知，直線MC的方程為，假設存在定點N滿足題意，則設P（x，y），，得，且，求出λ，然后求解比值．詳解：（Ⅰ）依題意得，令且，得直線過定點（Ⅱ）當時，所截得弦長最短，由題知，，得，由得（Ⅲ）法一：由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，則設，，得，且整理得，上式對任意恒成立，且解得,說以（舍去，與重合），綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數點睛：過定點的直線系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通過兩直線l1∶A1x＋B1y＋C1=0與l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系，而這交點即為直線系所通過的定點．20、(1)-1；(2)【解析】

（1）用表示出，然后利用誘導公式化簡所求表達式，求得表達式的值.（2）根據點的橫坐標即的值，求得的值，根據誘導公式求得的值，由此利用兩角和與差的正弦公式，化簡求得的值.【詳解】解：（1）∵∴，∴（2）由已知點的橫坐標為∴，，【點睛】本小題主要考查三角函數的定義，考查利用誘導公式化簡求值，考查兩角和與差的正弦公式以及同角三角函數的基本關系式，考查運算求解能力，屬于中檔題.21、（1）（2）見解析【解析】

（1）由題意利用二次函數的性質，求得函數的最大值．（2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜1，分類討論求得它的解集．【詳解】（1）設1＜x，∵函數y＝x（3﹣2x）2，故當x時，函數取得最大