2021-2022學年八年級數學上冊尖子生同步培優題典【浙教版】專題2.12勾股定理與弦圖問題（重難點培優）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2020秋?姑蘇區期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為64，小正方形面積為9，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊長（x＞y），請觀察圖案，下列關系式中不正確的是（）A．x2+y2＝64 B．x﹣y＝3 C．2xy+9＝64 D．x+y＝11【分析】根據勾股定理得出方程組，進而解答即可．【解析】根據勾股定理可得：x2+y2＝64①，（x﹣y）2＝9②，①﹣②可得2xy＝55③，∴2xy+9＝64，x﹣y＝3，①+③得x2+2xy+y2＝119，∴x+y=119∴選項A、B、C不符合題意，選項D符合題意，故選：D．2．（2019?龍馬潭區模擬）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝18，大正方形的面積為100．則小正方形的邊長為）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，根據勾股定理以及題目給出的已知數據即可求出小正方形的邊長．【解析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵每一個直角三角形的面積為：12ab=12×∴4×12ab+（a﹣b）2＝∴（a﹣b）2＝100﹣36＝64，∴a﹣b＝8或a﹣b＝﹣8（舍去），故選：B．3．（2020秋?山西月考）如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．588【分析】24和10為兩條直角邊長時，求出小正方形的邊長14，即可利用勾股定理得出EF2的長．【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10為兩條直角邊長時，∴小正方形的邊長＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故選：C．4．（2021春?海珠區月考）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【分析】由題意知x2+y2=49①(x-y)2=4②，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③【解析】由題意知x2由①﹣②得2xy＝45③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y=94∴結論①②③正確，④錯誤．故選：C．5．（2020秋?重慶期末）2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，則（a+b）2的值為（）A．25 B．19 C．13 D．169【分析】根據正方形的面積及直角邊的關系，列出方程組，然后求解．【解析】由條件可得：a2解之得：a=3b=2所以（a+b）2＝25，故選：A．6．（2020秋?明溪縣期中）如圖，“趙爽弦圖”是用四個相同的直角三角形與一個小正方形無縫隙地鋪成一個大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根據勾股定理解答即可．【解析】根據題意可得：x2+y2＝25，故B錯誤，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D錯誤，∴（x﹣y）2＝1，故A錯誤，∴x2﹣y2＝7，故C正確；故選：C．7．（2020秋?阜寧縣期中）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．每個直角三角形的兩條直角邊的長分別是3cm和6cm，則中間小正方形的面積是（）A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2【分析】由正方形的性質和勾股定理求出小正方形的面積．【解析】根據題意得：小正方形的面積＝（6﹣3）2＝9（cm2），故選：A．8．（2020秋?中牟縣期中）1876年，美國總統伽菲爾德利用如圖所示的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而證明勾股定理．【解析】根據勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD．故選：B．9．（2020秋?南山區校級期中）如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點M，N，連接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．214 B．215 C．225 【分析】根據正方形的面積可得正方形邊長的平方，設DH＝x，則AH＝3DH＝3x，根據勾股定理可得x的平方的值，再根據題意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得陰影部分的面積之和為梯形NGFM的面積．【解析】∵S正方形ABCD＝21，∴AB2＝21，設DH＝x，則AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝21，∴x2=21根據題意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN＝2S△CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴陰影部分的面積之和為：S梯形NGFM=12（NG+FM=12（EM+MF=12FE=12×（2＝2x2=21故選：B．10．（2021春?武昌區期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．如圖，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若大正方形面積是9，小正方形面積是1，則ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由勾股定理得a2+b2＝9，由小正方形面積是1，得出（a﹣b）2＝1，即可得出結果．【解析】∵直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，大正方形面積是9，∴a2+b2＝9，∵小正方形面積是1，∴（a﹣b）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴9﹣2ab＝1，∴ab＝4，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020春?雨花區校級月考）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為3，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為29．【分析】根據所求問題，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知條件得到ab的值，根據完全平方公式即可求解．【解析】大正方形的面積為16，得到它的邊長為4，即得a2+b2＝42＝16，由題意4×12ab+3＝2ab＝13，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，故答案為：29．12．（2020秋?福田區期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于6．【分析】根據勾股定理得出AH與AE的值，進而解答即可．【解析】∵AB＝10，AH：AE＝3：4，設AH為3x，AE為4x，由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴5x＝10，∴x＝2，∴AH＝6，故答案為：6．13．（2020秋?沈河區校級期中）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為2的小正方形EFGH．已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM＝43EF，則正方形ABCD的面積為98．【分析】設AM＝2a．BM＝b．則正方形ABCD的面積＝4a2+b2，由題意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解決問題．【解析】設AM＝2a．BM＝b．則正方形ABCD的面積＝4a2+b2，由題意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝43EF，∴2a＝43b，∴a＝23b，∵正方形EFGH的面積為2，∴b2＝2，∴正方形ABCD的面積＝4a2+b2＝49b2＝98，故答案為：98．14．（2020?寧夏）2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為27．【分析】根據題意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，然后利用完全平方公式的變形求出（a+b）2即可．【解析】由題意可得在圖1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3，a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案為：27．15．（2021?高新區一模）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1S2=32，則【分析】由S1S2=32，可得S2為大正方形面積的25．設AB為x，表示出空白部分的面積S2，即12x2×4=25m【解析】∵S1S2=∴S2設圖2中AB＝x，依題意則有：4?即4×12×x解得：x1在Rt△ABC中，AB2+CB2＝AC2，∴(5解得：n1∴nm故答案為：5516．（2020秋?金水區校級月考）如圖，用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方圖案，已知大正方形面積為10，小正方形面積為2，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③x-y=2；④x+2y=42．其中說法正確的有【分析】大正方形的面積是10，則其邊長是10，顯然，利用勾股定理可得①x2+y2＝10；小正方形的面積是2，則其邊長是2，根據圖可發現y+2=x，即③x﹣y還可以得出四個三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，即4×12xy+2＝10，化簡得②xy＝其中④x+2y＝42，故成立．【解析】①大正方形的面積是10，則其邊長是10，顯然，利用勾股定理可得x2+y2＝10，故選項①正確；③小正方形的面積是2，則其邊長是2，根據圖可發現y+2=x，即③x﹣y=2②根據圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，即4×12xy+2＝10，化簡得②xy＝4，故選項④x-y=2xy=4，則x+2y故答案為：①③④．17．（2021?鼓樓區校級模擬）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形ABCD，中間陰影部分是一個小正方形EFGH，這樣就組成一個“趙爽弦圖”．若AB＝10，AE＝8，則正方形EFGH的面積為4．【分析】利用勾股定理求得直角邊的較短邊，進一步根據正方形EFGH的面積＝大正方形面積﹣4個直角三角形面積即可求得正方形EFGH的面積．【解析】直角三角形直角邊的較短邊為102正方形EFGH的面積＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故答案為：4．18．（2019秋?石獅市期末）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a+b=15，ab＝2，則小正方形的面積為7【分析】觀察圖形可知，小正方形的邊長＝a﹣b，根據正方形面積公式計算，再進行變形即可求出答案．【解析】觀察圖形可知，小正方形的邊長＝a﹣b，∵a+b=15，ab＝2∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝15﹣8＝7．故答案為：7．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2020秋?溧陽市期中）勾股定理被譽為“幾何明珠”，在數學的發展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數學中的重要知識點之一，也是初中學生以后解決數學問題和實際問題中常常運用到的重要知識，因此學好勾股定理非常重要．學習數學“不僅要知其然，更要知其所以然”，所以，我們要學會勾股定理的各種證明方法．請你利用如圖圖形證明勾股定理：已知：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．【分析】連接AC，根據四邊形ABCD面積的兩種不同表示形式，結合全等三角形的性質即可求解．【解析】連接AC，∵△ABE≌△BCD，∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABC＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC=12BD?AE+12BD?CD=12AE?AE+12BD?BE又∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12AB?BC+12CD?DE=12AB?AB+12BE?DE∴12AE2+12BD?BE=12AB2∴AB2＝AE2+BD?BE﹣BE?DE，∴AB2＝AE2+（BD﹣DE）?BE，即AB2＝BE2+AE2．20．（2018秋?伊川縣期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．【分析】連接DB，過點D作BC邊上的高DF，根據S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝S△ADB+S△DCB即可求解．【解答】證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a．∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2．21．（2020秋?壽陽縣期中）【背景閱讀】勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了驗證勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．【實踐操作】（1）請敘述勾股定理；（2）驗證勾股定理，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的驗證方法中任選一種來驗證該定理：（以下圖形均滿足驗證勾股定理所需的條件）【探索發現】（1）如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足S1+S2＝S3的有3個；（2）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、S2、S3的關系并說明理由．【分析】【實踐操作】（1）勾股定理內容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．（2）在圖1中，根據大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即可得：a2+b2＝c2．在圖2中，根據大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即可得：a2+b2＝c2．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即可得：a2+b2＝c2．【探索發現】（1）根據勾股定理可得三個圖形中面積關系滿足S1+S2＝S3的有3個；（2）根據半圓面積和勾股定理即可得結論：S1+S2＝S3．【解析】【實踐操作】（1）如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）（2）證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）化簡得：a2+b2＝c2．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即（a+b）2＝c2+12ab×化簡得：a2+b2＝c2．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+化簡得：a2+b2＝c2．【探索發現】（1）三個圖形中面積關系滿足S1+S2＝S3的有3個；故答案為3；（2）結論：S1+S2＝S3．∵S1+S2=12π（a2）2+12π（b2）2+S3-∴S1+S2=12π（a2+b2﹣c2）+S∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．22．（2020秋?雁江區期末）中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了數學研究中的繼承和發展，現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個圖形解決下列問題：（1）試說明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求（a+b）2的值．【分析】（1）根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．（2）根據完全平方公式的變形解答即可．【解析】（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為12ab，小正方形面積為（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b（2）由圖可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．23．（2020春?青白江區期末）如圖，在長方形ACDF中，AC＝DF，點B在CD上，點E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）在探究長方形ACDF的面積S時，我們可以用兩種不同的方法：一種是找到長和寬，然后利用長方形的面積公式，就可得到S；另一種是將長方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE組成的，分別求出它們的面積，再相加也可以得到S．請根據以上材料，填空：方法一：S＝ab+b2．方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+12b2-12a2（2）由于（1）中的兩種方法表示的都是長方形ACDP的面積，因此它們應該相等，請利用以上的結論求a，b，c之間的等量關系（需要化簡）．（3）請直接運用（2）中的結論，求當c＝10，a＝6，S的值．【分析】（1）根據長方形的面積公式可求解；（2）根據長方形的面積＝4個三角形的面積和列式化簡即可求解；（3）將a，c的值代入計算可求解b的值，進而可求解S值．【解析】（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．故答案為S＝ab+b2；