2020-2021學年盤錦市大洼區八年級上學期期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

2.下列計算不正確的是（）

A.a3a5=a~2B.a3-a-5=a~2C.（a-3）2=a9D.（a2）-3=a-6

3.某種花粉的直徑約為25微米，它相當于（）

A.2.5x10-6米B.2.5x10-5米c.25x10-6米D2.5x10-米

4.4為平面直角坐標系內任意一點，順次連接4點與它關于x軸，y軸和原點的對稱點所組成的圖形

是（）

A.任意四邊形B.正方形C.矩形D.菱形

5.如圖，點C為線段4B上一動點（點C不與點4,B重合），分別以4C,

BC為邊在48的同側作等邊△4CD和ABCE,連接BD,AE-,BD分/\

別交4E,CE于點F,N；4E交CD于點M,連接MN,則下列結

論錯誤的是（）AC5

A.AAFD=60°B.CM=CN

C.△BCN=AECMD.乙AMD=4BNE

6.如圖，兩個半徑都是4cm的圓外切于點C,一只螞蟻由點4開始依4、B、C、。、

E、F、C、G、力的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路

徑上不斷爬行，直到行走2006玄機后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（）

A.。點

B.E點

C.F點

D.G點

7.已知一個多邊形的內角和是540。那么這個多邊形是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

8.幾名同學包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價為180元，出發時又增加了兩名同學，結果每

個同學比原來少攤了3元錢車費，設參加游覽的同學共x人，則所列方程為（）

A.旦圖=3180180

xx+2x+2x

c180180r180180r

C.------=5D.------------3

xx-2x-2x

9.如圖，在AABC,中，AB=AC,ZC=70°,△AB'C'與△4BC關于

直線EF對稱，/.CAF=15°,連接BB',則44BB'的度數是（）

A.30°

B.35°

C.40°

D.45°

10.如圖，BEJ.AC于點。，且=BD=ED.若乙ABC=72°,則NE等

于（）

A.18°

B.36°

C.54°

D.72°

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.分解因式2M—4X+2=.

12.（6x3—12x2+x）+（-3x）=.

13.要使代數式叵有意義，則x的取值范圍為.

%-3

14.把9nI2—36足分解因式的結果是.

15.若三角形的兩邊分別是6和2,第三邊長是偶數，則此三角形的第三邊為

16.若一個多邊形截去一個角后，變成六邊形，則原來多邊形的邊數可能是

三、計算題（本大題共2小題，共13.0分）

17.計算：

(1)—2x2y?(—2%y2)2+(2xy)3?(%y2)

(2)(x-2y)(x+2y)-(x+2y)2.

18.(1)計算：-12。18+舊+(專)-1一|1一或|一(兀—3.14)°

(2)化簡求值：(W+W)+E，其中％=2?

四、解答題(本大題共9小題，共89.0分)

19.如圖，已知人B、C三點，根據下列語句畫出圖形并填空：

①畫線段4B；

②畫射線AC；③畫直線BC；B.

④若NB4C的度數是58。，它的余角的度數是.

20.先畫出△ABC關于直線。對稱的圖形△A/iC],再畫出△&BiG關于直線％對稱的圖形△A2B2C2.

rrrr

rrrr4nmniTimm

rrrn7ammm

rrrrn^nnnnTiimi

-r-r-r

』」」」」」」

』」」」」」」」」」」

』』」」」」」」」」」」「

21.(1)因式分解：x3-9x；

x-2,6

(2)解方程:-------F1=——

2x-ll-2x

22.我市某校吳同學探究--“紅燈綠燈時間差”的探討--十字形的路口，東西、南北方向的行人車

輛來來往往，車水馬龍.為了不讓雙方擠在一起，紅綠燈就應動而生，一個方向先過，另一個

方向再過.

在XX路的十字路口，紅燈綠燈的持續時間是不同的-紅燈的時間總比綠燈長.即當東西方向紅燈亮

時，南北方向的綠燈要經過若干秒后才亮.這樣方可確保十字路口的交通安全.

那么，如何根據實際情況設置紅綠燈的時間差呢？

如圖所示，假設十字路口是對稱的，寬窄一致.設十字路口長為m米，寬為n米.當綠燈亮時最后一

秒出來的騎車人4不與另一方向綠燈亮時出來的機動車輛B相撞，即可保證交通安全.

根據調查自行車一般速度低于14km/h（即4m/s）,機動車速度不超過28k?n"（即8m/s）若紅綠燈時

間差為t秒.

通過上述數據，你能想出吳同學是怎樣算出設置的時間差要滿足t滿足什么條件時，才能使車人不相

23.5月12日14時28分，四川汶川發生了8.0級大地震，震后兩小時，武警某師參謀長王毅奉命率部

隊乘車火速向汶川縣城開進.13日凌晨1時15分，車行至古爾溝，巨大的山體塌方將道路完全

堵塞，部隊無法繼續前進，王毅毅然決定帶領先遣分隊徒步向汶川挺進，到達理縣時為救援當

地受災群眾而耽誤了1小時，隨后，先遣分隊將步行速度提高城于13日23時15分趕到汶川縣城.

理縣、汶川交通示意圖

古爾溝一理縣30千米

理縣一汶川60千米

(1)設先遣分隊從古爾溝到理縣的步行平均速度為每小時X千米，請根據題意填寫下表:

所走路程速度時間

(千米)(千米/小時)(小時)

古爾溝

到理縣30X

理縣

到汶川60

(2)根據題意及表中所得的信息列方程，并求出先遣分隊徒步從理縣到汶川的平均速度是每小時多少

千米？

24.【操作體驗】

(1)如圖①，已知線段AB和直線，，用直尺和圓規在1上作出所有的點P,使得乙4PB=30。，寫出作圖

過程并說明理由.

【方法遷移】

(2)如圖②，已知矩形"BCD,BC=2,AB=m,P為4。邊上的點，若滿足NBPC=45。的點P恰好

有兩個，則m的取值范圍為

【深入探究】

(3)如圖③，已知矩形48CD,AB=3,BC=2,P為矩形ABCD內一點，且NBPC=135。，若線段4P

繞點4逆時針旋轉90。得到線段4Q.請問PQ是否有最小值，如果有最小值，請求出此時四邊形

4BPQ的面積；若沒有，請說明理由.

25.(1)如圖1,在△ABC中，Z.ACB=90°,AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,求MN的長.

(2)如圖2,在△ABC中，乙4cB=90。，AM=AC,BN=BC,當乙4=30。時，求/MCN的度數.

當乙4的度數變化時，NMCN的度數是否變化，如有變化，請說明理由；如不變，求4MCN的度數.

(3)如圖3,在A4BC中，44cB=90。，4C=BC,點M、N在邊4B上，且4MCN=45。，試猜想線段

AN、BM、MN之間的數學關系，直接寫出你的結論(不要求證明).

26.如圖，正方形4BCD,點P在射線CB上運動(不包含點B、C),連接。P,交于點M,作BE1DP

于點E,連接AE,作NF4D=4E48,F4交。P于點F.

(1)如圖a,當點P在CB的延長線上時，

①求證：DF=BE；

②請判斷DE、BE、AE之間的數量關系并證明；

(2)如圖b,當點P在線段BC上時，DE、BE、4E之間有怎樣的數量關系？請直接寫出答案，不必證

明；

⑶如果將已知中的正方形ABCD換成矩形4BCD,且4D：AB=V3：1,其他條件不變，當點P在射

線CB上時，DE.BE、4E之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出答案，不必證明.

27.如圖1,已知點A、C、F、E、B為直線/上的點，且AB=12,CE=6,F為4E的中點.

(1)如圖1,若CF=2,則BE=,若CF=m,BE與CF的數量關系是

(2)當點E沿直線，向左運動至圖2的位置時，(1)中BE與CF的數量關系是否仍然成立？請說明理由.

(3)如圖3,在(2)的條件下，在線段8E上，是否存在點0,使得80=7,且DF=30E?若存在，請

求出甯值；若不存在，請說明理由.

ACFEB

圖1

'CAFET

圖3

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：小???此圖形旋轉180。后能與原圖形重合，此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，

故此選項正確；

8、?.?此圖形旋轉180。后不能與原圖形重合，此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項

錯誤；

C、此圖形旋轉180。后不能與原圖形重合，此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯

誤；

?此圖形旋轉180。后能與原圖形重合，.?.此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯

誤.

故選：A.

根據中心對稱圖形的定義旋轉180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的

定義即可判斷出.

此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

2.答案：C

解析：解：4、正確，a3-T-a5=a3-5=a-2；

B、正確，a3-a-5=a3-5=a-2；

C、錯誤，(a-3)2=a'；

D、正確，(a2)-3=a2(-3)=a-6；

故選C.

分別根據同底數幕的除法與乘法、積的乘方法則進行逐一計算即可.

本題考查的知識點為：

(1)同底數塞的除法法則：底數不變，指數相減；

(2)同底數基的乘法法則：底數不變，指數相加：

(3)積的乘方法則：底數不變，指數相乘.

3.答案：B

解析：解：1米=1。6微米，

25微米=25x10-6米=2.5x10-5米.

故選&

1米=1。6微米，先把25微米換算為25x10-6米，再用科學記數法表示為2.5x10-5.小于1的正數也

可以利用科學記數法表示，一般形式為axlO-",與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負

指數幕，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

本題考查用科學記數法表示較小的數.一般形式為axIO",其中1<|a|<10,n為由原數左邊起

第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.本題還要記住單位換算的關系，如1米=微米.

4.答案：C

解析：解：???2為平面直角坐標系內任意一點，順次連接4點與它關于x軸，y軸和原點的對稱點，

二對應點橫、縱坐標絕對值相等，只是符號不同，

??.這4個點所組成的圖形是矩形.

故選：C.

根據平面直角坐標系中任意一點P(x,y),關于原點的對稱點是(-x,-y),關于%軸、y軸的對稱點分

別是(x,—y),然后直接作答即可.

本題考查了關于x軸、y軸以及關于原點對稱的點坐標的關系，是需要熟記的基本問題，記憶方法可

以結合平面直角坐標系的圖形.

5.答案：D

解析：解：???△4CD和ACBE都是等邊三角形，

AC=DC,CE=CB,/.ACD=乙ECB=60°,

A.ACD+乙DCE=乙ECB+乙DCE,/.ACE=180°-4ECB=120°,

/,ACE=4DCB,^CAE+"EC=180°-Z.ACE=60°,

在4ACE^Q^,OCB中，

AC=DC

/.ACE=乙DCB,

.CE=CB

???△ACE三△DCB(SAS),

:.Z.CAE=乙CDB,Z.AEC=乙CBD,

^AFD=/.CAE+乙CBD=/.CAE+乙AEC=60°,

故A不符合題意；

???△ACE=^DCB,

Z.CAM=乙CDN,

■■■^LACD=AECB=60°,而4、C、B三點共線,

???Z.DCN=60°,E

在△4CM與△DCN中，/\

{/.ACM=乙DCN.4CB

.-.^ACM^^DCN(ASA),

：.CM=CN,

故8不符合題意；

在ABCN和aECM中，

(CBN="EM

\BC=CE,

(z_BCN=乙ECM=60°

:.ABCN三4ECMIASA),

故C不符合題意；

???乙4Mo=乙CAE+乙ACM=60°+乙CAE,乙BNE=乙BCN+乙CBD=60°+乙CBD,乙CAE#乙CBD,

/.AMD豐乙BNE,

故。符合題意：

故選：D.

根據等邊三角形的性質得到4C=DC,CE=CB,乙ACD=乙ECB=60°,求得乙4CE=ADCB^CAE+

^AEC=180°-^ACE=60°,根據全等三角形的性質得到NC4E=乙CDB,/.AEC=乙CBD,于是得

到乙4尸。=NCAE+乙CBD=4CAE+AAEC=60°,故A不符合題意；根據全等三角形的性質得到

/.CAM=4CDN,求得4DCN=60°,推出△4cM三4DCN(ASA),于是得到CM=CN,故B不符合

題意；根據全等三角形的判定定理得到ABCN三△ECM(ASA),故C不符合題意；根據"MD=

Z.CAE+/.ACM=60°+Z.CAE,4BNE=4BCN+4CBD=60°+4CBD推出乙AMD大4BNE,于是

得到結論.

本題考查的是等邊三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，根據題意判斷出^ACE^DCB,

△ACM^LDCN是解答此題的關鍵.

6.答案：A

解析：解：C=兀x8=8兀，

2C=16兀，

2006〃=167rx125+6兀，

所以停止在。點.

故選A.

螞蟻爬行這8段的距離正好是圓周長的2倍，故根據圓周長的計算公式，先計算圓的周長C,然后用

2006兀除以2C,根據余數判定停止在哪一個點.

解決本題的關鍵是弄清題意，爬行的過程是一個重復的過程，求出重復的圈數，再用余數來確定最

終的停留點.

7.答案：B

解析：

本題比較容易，主要考查多邊形的內角和公式.

利用n邊形的內角和可以表示成(n-2)-180%結合方程即可求出答案.

根據多邊形的內角和可得：(n-2)?180。=540。，

解得：n=5,

則這個多邊形是五邊形.

故選B.

8.答案：D

解析：本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵是首先弄清題意，根據關鍵描述語，找到合適

的等量關系；易錯點是得到出發前后的人數.

解：設實際參加游覽的同學共x人，根據題意得：^--=3.

x-zX

故選D.

9.答案：B

解析：解：連接BB',、

???△AB'C'與AZBC關于直線EF對稱，

BAgAB'AC,I

"AB=AC,Z.C=70°,I

^ABC=乙AC'B'=乙AB'C'=70°,B

A.BAC=乙B'AC'=40°,

???ACAF=15°,

???^C'AF=15°,

???/-BAB'=40°+15°+15°+40°=110°,

4ABB'=乙AB'B=35°.

故選：B.

利用軸對稱圖形的性質得出△BAC=hB'AC,進而結合三角形內角和定理得出答案.

此題主要考查了軸對稱圖形的性質以及等腰三角形的性質，正確得出4B4C度數是解題關鍵.

10.答案：B

解析：解：vBE1AC,AD=DC,

???BA=BC,

/.ABD=Z.CBD=-^ABC=36°,

2

在△4DB和△CDE中，

AD=DC

Z-ADB=乙EDC，

BD=DE

???△ADB=^CDE,

:.LE=Z-ABD—36°,

故選：B,

首先證明BE平分4ABC,再證明△ABDW&CED,可得NE=。即可解決問題；

本題考查全等三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的判定和性質等知識，

解題的關犍是熟練掌握基本知識，靈活運用所學知識解決問題.

11.答案：2(X-1)2

解析：

本題主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點在于需要進行二次分解因式.

先提取公因數2,再利用完全平方公式進行二次分解.完全平方公式：(a+by=a2±2ab+b2.

解：2/—4X+2,

——2(7—2%+1),

=2(x—I)2.

12.答案：一2一+4萬一9

解析：

先根據多項式除單項式的法則計算即可.

本題考查多項式除單項式的運算，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵.

解：(6x‘-12%2+x)+(—3x)=-2/+4x——；

故答案為：—2M+4x—

13.答案：x之一3且xK3

解析：解：由題意得，%+3Z0且％-3#0,

解得x>一3且x。3.

故答案為：x>—3且x豐3.

根據被開方數大于等于0,分母不等于0列式計算即可得解.

本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0;二次根式的被開方數是非負數.

14.答案:9(m—2n)(m+2n)

解析：解：9m2—36n2

=9(m2—4n2)

=9(m—2n)(m+2n).

故答案為：9(m-2n)(m+2n).

首先提取公因式9,進而利用平方差公式分解因式得出答案.

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用平方差公式是解題關鍵.

15.答案：6

解析：解：根據三角形的三邊關系得：

第三邊大于6-2=4,而小于6+2=8,

又因為第三邊長是偶數，

所以此三角形的第三邊為6.

故答案為：6.

根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，求得第三邊的取

值范圍，再進一步進行分析.

此題主要考查了三角形三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解決此類問題的關鍵.

16.答案：5,6,7

解析：解：如圖可知，原來多邊形的邊數可能是5,6,7.

實際畫圖，動手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個角后得到.

此類問題要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況.

17.答案：解：⑴一2x2y-(-2xy2)2+(2xy)3-(xy2)

=-2x2y-4x2y4+8x3y3-xy2

——8x4ys+8x4ys

=0；

(2)(x-2y)(x+2y)-(x+2y)2

=x2—4y2—x2—4xy—4y2

=—4xy—8y2.

解析：(1)利用單項式乘單項式法則、積的乘方法則計算；

(2)利用平方差公式、完全平方公式計算即可.

本題考查的是整式的混合運算，掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關鍵.

18.答案：解：(1)原式=一1+4+—衣+1—1=3;

(2)原式=［就云+品.三三

x一(x-1)

(x+l)(x—1)2x

i

-2x+2，

當x=2時，

解析：(1)根據實數混合運算順序和運算法則計算可得；

(2)先計算括號內分式的加法、除法轉化為乘法，再約分即可化簡原式，繼而將x的值代入計算可得.

本題主要考查分式的化簡求值、實數的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運

算法則.

19.答案：32。

解析：解：①如圖所示，線段4B即為所求；

A

Bt

②如圖所示，射線AC即為所求；

③如圖所示，直線BC即為所求；

④???ABAC=58°,

???NBAC余角的度數為90。-58°=32°,

故答案為：32。.

①根據線段的概念求解可得；

②根據射線的概念求解可得；

③根據直線的概念求解可得；

④根據余角的概念求解可得.

本題主要考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是掌握線段、射線、直線的概念及余角的定義.

20.答案：解：如圖所示:

rrrr

rrrAr

rrrur

rr^-r1才i

r\lr才mmm1111

rr5Arri-nnnnniim1

r\Ir

解析：根據軸對稱的性質畫出圖形即可.

本題考查的是作圖-軸對稱變換，熟知軸對稱圖形的作法是解答此題的關鍵.

21.答案：解：(1)原式=x(x?-9)=x(x+3)(x-3)；

(2)去分母得：x-2+2x-l=-6,

移項合并得：3x=-3,

解得：x=-1,

經檢驗久=-1是分式方程的解.

解析：(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

(2)分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得x的值，經檢驗即可得到分式方程的解.

此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗.

22.答案：解：從CiG線到FG線的距離=掾+兀=等

騎車人4從CIC2線到K處時，另一方向綠燈亮，此時騎車人4前進距離=牝

K處到FG線距離=等一4如

騎車人4從K處到達FG線所需的時間為太等-4t)=誓-t

5外線到EF線距離為(巾-n)/2.

機動車B從。也線到EF線所需時間為《干=震

oZlo

4通過FG線比B通過EF線要早一些方可避免碰撞事故.

m+nm-nHnm+3n

?'?飛一_t<—(KPt>—

即設置的時間差要滿足t>陪時，才能使車人不相撞.

1D

如XX十字路口長約64米，寬約16米，理論上最少設置時間差為的署=7秒，而實際設置時間差為

8秒(8>7),符合要求.

解析：本題中的不等式關系為：要想使4B不相撞，那么4應該比B提前過FG線，由于4到K點南北

方向的綠燈才亮，因此4從K到FG用的時間WB從DiQ到FG用的時間.然后根據時間=路程+速度，

列出不等式，求得的自變量的取值范圍中，最小的值就應該是設置的時間差.

本題考查一元一次不等式的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，理解車人不相撞的條

件，列出不等式關系式即可求解.

23.答案：解：(1)表中依次填入：弓，(1+；)%,滯7.

3060cc44

(2)依題意，列出方程得工+6*=23-1-1,

解得：%=4.

經檢驗，x=4是原分式方程的根，且符合題意，

???4x(1+》=?.

答：部隊徒步從古爾溝到理縣平均速度是每小時4千米，理縣到汶川的途中平均速度分別是每小時日

千米.

解析：(1)時間=路程+速度.

(2)求的是速度，路程比較明顯，應該根據時間來找等量關系.本題的等量關系是：古爾溝到理縣的

時間+理縣到汶川的時間=23-1-1.

24.答案：解：⑴第一步；分別以點48為圓心，4B長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點。；

第二步：連接04,0B-.

第三步：以。為圓心，。4長為半徑作。。，交I于B，P2；

所以圖中Pi，P2即為所求的點；如圖1所示：

理由如下：連接APi、BPi、4P2、BP2,

如圖2所示：

V0A=OB=AB,

???△(MB是等邊三角形，

???Z,A0B=60°,

由圖②得：4AP1B=^AOB=30°；

(2)2<m<V2+1；

(3)PQ有最小值，理由如下：

如圖4,

o

D

圖/

構建。。，使NCOS=90。，在優弧我上取一點H,則NCHB=45。

:.乙CPB=135°,

由旋轉得：△4PQ是等腰直角三角形，

???PQ=正AP,

???PQ取最小值時，就是4P取最小值，

當P與E重合時，即4、P、。在同一直線上時，4P最小，則PQ的值最小,

在RtUF。中，AF=1,。尸=3+1=4,

AO=Vl2+42=VT7,

:.AE=國—丘=AP,

即4P的最小值為g-V2;

PQ=V2AP=^34-2;

作EM_L4B于M,

■■■AB//OF,

:.Z-EAM=Z.AOF,

:.sinZ-EAM=sinz.AOF=-^=,

**AE一后,

V17-V2V34

EM=——=—=1--.

V1717

???四邊形4BEQ的面積=△4BE的面積+△AEQ的面積

=\ABxEM+^AEXAQ=^X3X(1+1(VT7-V2)2=|一等+*19-2回)=11-

-37-V-3-4，

34

即PQ取最小值時，此時四邊形ABPQ的面積為11-絲場.

34

解析：

解：(1)見答案；

(2)在力B上截取BE=BC,連接CE,以CE為直徑作。0,如圖3所示：

圖3

vBE=BC=2,

：.CE=2vL

?■?O。的半徑為企，即0E=0G=V2?

vOGA.EF,

EH=1,

???OH=1,

???GH=6-1,

???BE<AB<BM,

?，?2W<2+y/2-1?即2W<V2+1,

故答案為：2工771<魚+1；

(3)見答案.

(1)①分別以點4B為圓心，4B長為半徑作弧，兩弧在45上方交于點0；②連接040B；③以。為

圓心，。4長為半徑作。。，交2于％,P2；

由等邊三角形的性質得出乙40B=60。，再由圓周角定理即可得出NAP/=\^AOB=30°；

(2)在4B上截取BE=BC,連接CE,以CE為直徑作。。，由勾股定理得出CE=2魚，得出。。的半

徑為&,即。E=OG=VL求出=由題意得出BEW4B<BM,即可得出結果；

⑶構建。0,使“OB=90°,在優弧能上取一點“，貝叱CHB=45°zCPF=135°,由旋轉的性質

得出AAP。是等腰直角三角形，當P與E重合，即4、P、。在同一直線上時，4P最小，在RtAAF。中，

由勾股定理求出40=舊，得出4E=g—近，得出PQ的最小值；作于M,由平行線的

性質得出乙EAM=4AOF,由三角函數關系求出EM=1—粵，四邊形4BEQ的面積=△4BE的面積

+△力EQ的面積=11—出亙，即PQ取最小值時，此時四邊形ABPQ的面積即為四邊形4BEQ的面積.

34

本題是四邊形綜合題目，考查了等邊三角形的性質、圓周角定理、作圖、勾股定理、等腰直角三角

形的性質、最值問題、三角函數以及三角形面積公式等知識；本題綜合性強，是一道不錯的幾何壓

軸題.

25.答案：解：(1)在RtAABC中，Z./4C5=90°,AC=12,BC=5,

根據勾股定理，AB=V122+52=13，

又???4C=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,

AM=12,BN=5,

???MN=AM+BN-AB=12+5—13=4；

(2)v44=30°,AC=AM,

^AMC=|(180°-30°)=75°,

v乙ACB=90°,=30°,

???Z-B=60°,

???BC=BN,

???ACNB=I(180°-60°)=60°,

:.乙MCN=180°-60°-75°=45°.

當乙4的度數變化時，NMCN的度數不變化；

理由如下：

11

VN4MC=|(180°-z>4),乙BNC=|(180°-Z.5),

???乙MCN=180°-AAMC-乙BNC=*乙4+乙B)=45°.

(3)/1/V2+BM2=MN2.理由如下：

如圖3,作關于CN所在直線的軸對稱ACDN,連接DM.

B

則CD=C4ND=AN,乙ACN=LDCN,4CDN=4A,

"AC=BC,￡.ACB=90°,

???CD=CB,N4=NB=45°,

^ACB=90°,4MCN=45°,

???乙DCN+乙DCM=45°,乙ACN+&BCM=45°.

4DCM=乙BCM,

在AOCM和ABCM中，

CD=CB

乙DCM=4BCM,

.CM=CM

.,?△DCM三△BCM(SZS),

???DM=BM,/COM=NB=45°,

4NDM=乙CDN+LCDM=90°.

ND2+DM2=MN2.

???AN2+BM2=MN2.

解析：本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三

角形的性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等

是解題的關鍵.

(1)根據勾股定理求出4B的長即可解答；

(2)由等腰三角形的性質即可解決問題；

(3)作4CAN關于CN所在直線的軸對稱△CDN,連接DM.可證明4CM=乙BCM,即可證明4DCMW4

BCM,則=Z.CDM=ZB=45°,乙NDM=4CDN+乙CDM=90°,由勾股定理即可得出結

論.

26.答案：證明：(1)①正方形4BCD中，AD=AB,/.ADM+/.AMD=90°

vBE1DP,

???乙EBM+乙BME=90°,

???Z.AMD=乙BME,

???Z.EBM=Z-ADM9

在△4BE和△4。尸中，

￡.FAD=Z.EAB

Z.EBM=/.ADM,

AD=AB

ABE三XADFf

???DF=BE；

@DE=BE+y[2AE,

理由：由（1）有A/IBE三△4DF,

???AE=AF,Z.BAE=Z.DAF,

:.乙BAE+￡.FAM=Z.DAF+Z.FAM,

???/LEAF=乙BAD=90°,

:.EF=近AE,

vDE=DF+EF,

:.DE=BE+y/2AE;

②DE=&AE-BE;

理由：正方形ABC。中，AD=AB,/.BAD=ABAE+Z.DAE=90°,

vZ-FAD=Z.EAB,

???Z.EAF=乙BAD=90°,

???Z.AFE+Z.AEF=90°

???BE1DP,

???乙BEA+Z.AEF=90°,

??乙

?BEA=Z.AFEf

vZ-FAD=Z.EAB,AD=AB

ABE=LADFf

.??AE=AF9BE=DF

vZ.EAF=90°

EF=?AE,

???EF=DF+DE=y[iA