流體力學(xué)上海大學(xué)

2流體靜力學(xué)分析流體靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的力平衡關(guān)系，靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律,流體與固體表面之間的相互作用力.

流體靜止的概念流體靜壓強(qiáng)（壓力）的特點(diǎn)重力場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布規(guī)律

求靜水總壓力。靜止是相對(duì)于坐標(biāo)系而言的，不論相對(duì)于慣性系或非慣性系靜止的情況，流體質(zhì)點(diǎn)之間肯定沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這意味著粘性將不起作用。2.1作用在流體上的力一.體積力和面力

在流體中取一以封閉曲面S為界面的體積

，則作用在流體上的外力可以分為體積力和面力。

作用在流體上的力1.體積力（質(zhì)量力）：指徹體分布作用于每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)上的外力，且與流體的質(zhì)量成正比。例如：重力、慣性力。

——表示作用于

處單位質(zhì)量

流體上的體力，如：流體團(tuán)所受體力合力=與體積直接相關(guān)，如

質(zhì)量力單位質(zhì)量力:

作用在體積元d

上的體力是

若F的大小有限，體積元d

，則作用在體積元d

上的體力df是三階無(wú)窮小量。質(zhì)量力作用在體積團(tuán)

上的體力合力是（z軸正向垂直向上）表面力2.(表)面力：與流體團(tuán)表面S接觸的其他流體或固體作用于該流體團(tuán)上的力。面力與作用面的面積成正比。

例如：壓力、摩擦力，與表面積S直接相關(guān)。應(yīng)力：作用于流團(tuán)單位面積表面上的面力。

面力的特點(diǎn)：在流體中某點(diǎn)處取不同法向的面元，一般說(shuō)來(lái)各面元上應(yīng)力不同，應(yīng)力的大小和方向與面元的法向有關(guān)，且一般說(shuō)來(lái)應(yīng)力的方向與法向不一致。（在場(chǎng)中任一點(diǎn)處取球形流體微團(tuán)，球面各點(diǎn)處應(yīng)力不同，且未必沿徑向。）面力面力應(yīng)力的符號(hào)表示：

指向的那邊的流體作用于dS上的應(yīng)力

指向的那邊的流體作用于dS上的應(yīng)力

據(jù)Newton第三定律，有面力面力應(yīng)力：作用于流體團(tuán)表面單位面積上的面力。取外法線方向。

pn為矢量，一般不是n的方向，故可以分解。法向分量pnn

切向分量pn

或按坐標(biāo)軸方向分解:

應(yīng)力分量

pnx

pny

pnz

面力作用在面元dS上的面力是

則作用在面積元dS上的面力dP是二階無(wú)窮小量。

作用在面積S上的面力合力是

法向應(yīng)力沿內(nèi)法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個(gè)法向應(yīng)力稱為靜

壓強(qiáng)，記作pn(x,y,z)

，腳標(biāo)中n為作用面法線方向?！?.2靜止流體中應(yīng)力的性質(zhì)

靜止流體的應(yīng)力只有內(nèi)法向分量—靜壓強(qiáng)靜止流體的應(yīng)力只有法向分量（流體質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)不存在切應(yīng)力）。PnnPnn靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力在這個(gè)表達(dá)式中，已包含了應(yīng)力四要素：作用點(diǎn)、作用面、受力側(cè)和作用方向。

靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)

在靜止流體中取出以M(O)

為頂點(diǎn)的四面體流體微元，它受到的質(zhì)量力和表面力必是平衡的①表面力：（只有各面上的垂直壓力即流體靜壓力）②質(zhì)量力：（只有重力、靜止）單位質(zhì)量力在各方向上的分別為X、Y、Z，則質(zhì)量力在各方向上的分量為在靜止流體中的四面體流體微元，它受到的質(zhì)量力和表面力必是平衡的，以y

方向?yàn)槔?，寫出平衡方程Y

是質(zhì)量力在y

方向的分量dxdydzpxpnpzpyxyzno此時(shí)，pn，px，py，pz已是同一點(diǎn)（M點(diǎn)）在不同方位作用面上的靜壓強(qiáng)，其中斜面的方位n又是任取的，這就證明了靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)。

當(dāng)四面體微元趨于M點(diǎn)時(shí)，注意到質(zhì)量力比起面力為高階無(wú)窮小，即得pn=py，同理有pn=px，pn=pzdxdydzpxpnpzpyxyzno

靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)只須用一個(gè)靜壓強(qiáng)數(shù)量場(chǎng)p=p(x,y,z)

來(lái)描述，在任意一個(gè)作用點(diǎn)、以任意方位n

為法向的面元上的應(yīng)力為：

靜壓強(qiáng)pn(x,y,z)

與作用面的方位無(wú)關(guān)，僅取決于作用點(diǎn)的空間位置，所以可將腳標(biāo)去掉寫成p(x,y,z)

Pnn也適用于流體與固體接觸的表面§2.3流體的平衡微分方程

平衡微分方程的推導(dǎo)

表面力在y

方向上的分量只有左右一對(duì)面元上的壓力，合力為

odxdzpxyzdy在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

y

方向的受力。微元所受y

方向上的質(zhì)量力為注：在垂直于X軸的左、右兩個(gè)平面中心點(diǎn)上的靜壓強(qiáng)分別為略去二階以上無(wú)窮小量后，分別等于

odxdzpxyzdy得y方向平衡方程為或同理有和其中X,Y,Z

是質(zhì)量力

f的三個(gè)分量。稱為靜壓強(qiáng)場(chǎng)的梯度。它

是數(shù)量場(chǎng)p(x,y,z)對(duì)應(yīng)的一

個(gè)矢量場(chǎng)。

稱為哈米爾頓算子,它同時(shí)具有矢量和微分（對(duì)跟隨其后的變量）運(yùn)算的功能。用它來(lái)表達(dá)梯度，非常簡(jiǎn)潔，并便于記憶。平衡微分方程的矢量形式其中

的三個(gè)分量是壓強(qiáng)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)，它反映了數(shù)量場(chǎng)在空間上的不均勻性。流體的平衡微分方程實(shí)質(zhì)上表明了質(zhì)量力和壓差力之間的平衡。壓強(qiáng)對(duì)流體受力的影響是通過(guò)壓差來(lái)體現(xiàn)的。

平衡微分方程的物理意義壓強(qiáng)的全微分等壓面dp=0性質(zhì)：在靜止流體中，作用于任意點(diǎn)的質(zhì)量力垂直于經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的等壓面所以重力場(chǎng)中，等壓面為水平面。兩種互不相混的靜止流體的分界面必為等壓面說(shuō)明：等壓面可能是水平面、斜面、曲面、分界面

§2.4重力作用下的液體平衡

重力作用下的平衡方程

z

軸垂直向上，流體不可壓縮。壓力分布靜止液體中的壓力分布

取z軸垂直向上，xy為水平面，則有

靜力學(xué)壓力分布積分得

靜力學(xué)壓力分布從基本方程可得到以下規(guī)律：——帕斯卡定律自由表面壓強(qiáng)p0變化，則流體內(nèi)所有各點(diǎn)p都隨著等值變化。壓力分布z=0321靜力學(xué)壓力分布靜壓強(qiáng)分布規(guī)律

重力場(chǎng)中連通的同種靜止液體中：

①壓強(qiáng)隨位置高程線性變化；

②等壓面是水平面，與質(zhì)量力垂直；

③是常數(shù)。

絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空

壓強(qiáng)p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱：以完全真空為零點(diǎn)，記為

pabs絕對(duì)壓強(qiáng)兩者的關(guān)系為:

pr=

pabs-

pa以當(dāng)?shù)卮髿鈮?/p>

pa

為零點(diǎn)，記為

pr

相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值稱為真空壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)§2—5壓強(qiáng)的測(cè)量絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空

BA絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O大氣壓強(qiáng)

paO壓強(qiáng)

今后討論壓強(qiáng)一般指相對(duì)壓強(qiáng)，省略下標(biāo)，記為

p，若指絕對(duì)壓強(qiáng)則特別注明。

壓強(qiáng)單位：應(yīng)力單位帕Pa（=N/m2）液柱高度水柱**mH2O，汞柱**mmHg大氣壓:標(biāo)準(zhǔn)大氣壓1atm=101325Pa工程大氣壓1at=98070Pa

如果z=0

為靜止液體的自由表面，自由表面上壓強(qiáng)為大氣壓，則液面以下

h

處的相對(duì)壓強(qiáng)為γh

，所以在液體指定以后高度也可度量壓強(qiáng)，稱為液柱高，例如：××m(H2O)，××mm(Hg)等。特別地，將水柱高稱為水頭。把真空壓強(qiáng)轉(zhuǎn)換成水柱高表示，稱為真空度。hp=0一個(gè)工程大氣壓為98.10kN/m2，相當(dāng)于10m(H2O)

或736mm(Hg)位置水頭、壓強(qiáng)水頭、測(cè)壓管水頭

在靜水壓強(qiáng)分布公式

中，各項(xiàng)都為長(zhǎng)度量綱，稱為水頭（液柱高）。

——

位置水頭，以任取水平面為基準(zhǔn)面

z=0

，鉛垂向

上為正。

——

壓強(qiáng)水頭，以大氣壓為基準(zhǔn)，用相對(duì)壓強(qiáng)代入計(jì)

算。

——

測(cè)壓管水頭。

在內(nèi)有液體的容器壁選定測(cè)點(diǎn)，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測(cè)壓管。OO測(cè)壓管內(nèi)的靜止液面上

p=0，其液面高程即為測(cè)點(diǎn)處的，所以叫測(cè)壓管水頭。

測(cè)壓管水頭的含義§2—6測(cè)壓計(jì)如果容器內(nèi)的液體是靜止的，一根測(cè)壓管測(cè)得的測(cè)壓管水頭也就是容器內(nèi)液體中任何一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭。如接上多根測(cè)壓管，則各測(cè)壓管中的液面都將位于同一水平面上。OO

測(cè)靜壓只須一根測(cè)壓管

敞口容器和封口容器接上測(cè)壓管后:如圖總勢(shì)能

位置水頭（勢(shì)能）與壓強(qiáng)水頭（勢(shì)能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和—

測(cè)壓管水頭（總勢(shì)能）是保持不變的。

各項(xiàng)水頭也可理解成單位重量液體的能量位置勢(shì)能，（從基準(zhǔn)面

z=0

算起鉛垂向上為正。）

z

壓強(qiáng)勢(shì)能（從大氣壓強(qiáng)算起）

液體的平衡規(guī)律表明測(cè)壓原理

測(cè)壓管的一端接大氣，這樣就把測(cè)管水頭揭示出來(lái)了。再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)，包括測(cè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。用測(cè)壓管測(cè)量αA如果連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過(guò)渡。

即使在連通的靜止流體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)都不知道，也可利用流體的平衡規(guī)律，知道其中任何二點(diǎn)的壓差，這就是比壓計(jì)的測(cè)量原理

用比壓計(jì)測(cè)量流體的平衡規(guī)律必須在連通的靜止流體區(qū)域（如測(cè)壓管中）應(yīng)用，不能用到管道中去，因?yàn)楣艿乐械牧黧w可能是在流動(dòng)的，測(cè)壓管不只是為測(cè)量靜壓用的。例§2—7非慣性系中液體的平衡一.非慣性系中靜止液體的平衡方程慣性系中靜止液體的平衡方程非慣性系中靜止液體的平衡方程這樣非慣性系中平衡方程在處理上就和慣性系沒(méi)有區(qū)別了。替代用表面力中仍無(wú)切應(yīng)力

二.兩個(gè)例子

所有流體質(zhì)點(diǎn)加速度大小、方向都相同，重力加上慣性力仍是均勻的，因此等壓面還是平面，但不再是水平的。相對(duì)于勻加速直線運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系靜止的液體單位質(zhì)量流體的慣性力為離心加速度，與向心加速度反向，重力加上慣性力不再均勻，等壓面成為旋轉(zhuǎn)拋物面，由于離軸越遠(yuǎn)，離心力越大，等壓面坡度越陡。

相對(duì)于繞鉛垂軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系靜止的液體筒內(nèi)液體都以等角速度ω旋轉(zhuǎn)。下面推導(dǎo)這種相對(duì)平衡情況下的等壓面方程和壓強(qiáng)分布規(guī)律。取與筒一起等角速度旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，z軸垂直向上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在新自由表面旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點(diǎn)上。此時(shí)流體所受的質(zhì)量力亦是兩個(gè)：一是重力，鉛垂向下；另一是離心慣性力，與r軸方向一致。AxyrAzoxxyyop0gω

單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)分量

代入歐拉平衡微分方程式積分得

由x=0，y=0，z=0處p=p0得c=p0，代入上式整理得這就是等角速度旋轉(zhuǎn)的直立容器