專題1.10平面解析幾何三大考點與真題訓(xùn)練

考點一：直線與方程

一、單選題

（Y—3—/sin20

1.（2022?上海閔行?上海市模擬預(yù)測）已知直線的參數(shù)方程為一、,“，則該直線的傾

[y=2+rcos70

斜角為（）

A.20B.45C.110D.135

2.（2022?上海虹口?統(tǒng)考一模）已知產(chǎn)是橢圓G：1+曰=1與拋物線C2：V=2px（p>0）的一個共同焦點，C,

與G相交于4曬點，則線段/戚長等于（）

A.2#B.士aC.2D.W

3333

二、填空題

3.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）若直線x+2y+3=0與直線2x+〃?y+10=0平行，則這兩條直線間的距離是

4.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線4：依+（“-1）丫+3=（）4：2尤+畋-1=0,若…,則實數(shù)a的值是

5.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模）已知正實數(shù)a,b滿足3a+?=6,貝山+行工^71的取最小值

6.（2022?上海青浦?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，40,0）,8（1,2）兩點繞定點尸按順時針方向旋轉(zhuǎn)。角

后，分別到4（4,4）,8'（5,2）兩點位置，則cos。的值為.

7.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考二模）若關(guān)于x,丫的方程組有唯一解，則實數(shù)a滿足的條件是

+=6

8.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）直線/的方程為"一；=0,則直線/的一個法向量為

9.（2022?上海虹口?統(tǒng)考二模）設(shè)aeR,keR,三條直線4："-y-2a+5=0,l2:x+ay-3a-4=0,

4:y=H，則4與/2的交點健必的距離的最大值為.

三、解答題

10.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，OM,ON是某景區(qū)的兩條道路（寬度忽略不計，為東西方向），

。為景區(qū)內(nèi)一景點，4為道路。河上一游客休息區(qū)，已知tanNMON=-3,OA=6（百米），演J直線OM,QN的距

離分別為3（百米），四（百米），現(xiàn)新修一條自/經(jīng)過施勺有軌觀光直路并延伸至道路QN于點5,并在題修

5

（1）求有軌觀光直路AB的長；

（2）已知在景點加勺正北方6百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演一次的時長為9分鐘，表演時，噴泉噴

灑區(qū)域以腦圓心，r為半徑變化，且力分鐘時，r=2?7（百米）（04Y9,0<〃<1）.當(dāng)噴泉表演開始時，一

觀光車S（大小忽略不計）正從休息區(qū)加（1）中的軌道&4以正（百米/分鐘）的速度開往休息區(qū)4問：觀光

車在行駛途中是否會被噴泉噴灑到，并說明理由.

考點二：圓與方程

一、單選題

1.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模）已知圓C1的半徑為3,圓G的半徑為7,若兩圓相交，則兩圓的圓心距可能是

（）

A.0B.4C.8D.12

x=-2+5cos0

。。（，為參數(shù)），與圓球于直線產(chǎn)/=0對稱的圓

{y=3+5sm?

的普通方程是（）

A.(x+3>+(y-2)2=25B.(x-2)?+(y+3)2=25

C.(x+3)2+(y-2)2=5D.(x-2)2+(y+3)2=5

3.（2021?上海閔行?上海市模擬預(yù)測）已知拋物線C：V=I6x的焦點A,虛拋物線C上位于第

一象限內(nèi)的一點，媯坐標(biāo)原點，若△OFM的外接圓〃與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則圓。與直線x-gy-2=0相交得

到的弦長為（）

A.2上B.4C.2瓜D.4g

二、填空題

■7

4.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線*?-丁=1（°>0）的漸近線與圓x2+/-4y+3=0相切，則。=

5.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓或一般方程為f+2x+y2=0,則圓儆半徑為

6.（2022?上海普陀?統(tǒng)考一模）設(shè)加eR.若直線=與曲線C“：卜-仔]+（y-加了=1僅有一個公共點，

則，”=.

7.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考二模）構(gòu)造一個二元二次方程組I，使得它的解恰好為F=：,

要求，（x，y）=o與g（x，y）=。的每個方程均要出現(xiàn)x,y兩個未知數(shù).答：.

8.（2022?上海黃浦?校考模擬預(yù)測）設(shè)有直線/：6+y-3=O,/的傾斜角為a.若在直線/上

存在點A滿足|。勾=2,且tana<0,則上的取值范圍是.

22

9.（2022?上海靜安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線*-與印色〉。,〃〉。）的兩條漸近線均與圓C:（X-3）2+V=4

相切，右焦點和圓心重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

10.（2022?上海閔行?模擬預(yù)測）若圓0：/+y2=/上有且只有兩點到直線

/:3x+4y-15=0的距離為2,則圓的半徑,的取值范圍是.

11.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)直線系M:（x-l）cose+（y-2）sin0=l（O4e42萬）,對于下列四個命題：

①陰」所有直線均經(jīng)過一個定點；

②存在定點P不在，腫的任一條直線上；

③對于任意整數(shù)〃（〃23）,存在正〃邊形，使其所有邊均在1沖的直線上；

④陰」的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

其中真命題的序號是（寫出所有真命題的序號）

三、解答題

12.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模）如圖所示，由半橢圓q[+/=l（yvo）和兩個半圓

2

c2：（x+i）+/=i（y>o）,C3：（xTy+y2=i（”o）組成曲線C：尸（3）=°，其中點A、4依次為G的左、右頂

點，點8為G的下頂點，點”、鳥依次為的左、右焦點.若點耳、馬分別為曲線G、的圓心.

y

B

(D求G的方程;

⑵若點P、。分別在C?、G上運動，求忸H+忸。的最大值，并求出此時點P、Q的坐標(biāo);

⑶若點M在曲線C：F(x,y)=O上運動，點N(O,-1),求的取值范圍.

13.(2022?上海徐匯校考模擬預(yù)測)橢圓C：J+￡=l(a＞匕＞0)的離心率為以橢圓酸上頂

22

點7為圓心作圓7：^+(y-l)=r(r＞0),圓7與橢圓珠第一象限交于點4在第二象限交于點6.

(1)求橢圓比勺方程；

⑵求7X18的最小值，并求出此時圓微方程；

(3)設(shè)點戶是橢圓讓異于4冰)一點，且直線為，分別與碎由交于點肌N,0為坐標(biāo)原點，求證：|0"卜|"|為定

值.

考點三：圓錐曲線

一、單選題

22

1.（2023?上海閔行?模擬預(yù)測）已知橢圓三+==1（。>%>0）的左右焦點分別為6,外,

ab

則橢圓的離心率取值范圍為（)

B.[pD

□4孕

2.（2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模）己知平面直角坐標(biāo)系中的直線4：y=3x、，2：y=-3x.設(shè)到4、4距離之和為

2Pl的點的軌跡是曲線G，入4距離平方和為2P2的點的軌跡是曲線其中Pl、8>0.則G、公共點的個

數(shù)不可能為（）

A.0個B.4個C.8個D.12個

二、填空題

3.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）雙曲線產(chǎn)-1=1的焦點為.

4.（2022?上海?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xS，中，動點尸在橢圓目+上=1上，點M是OP

43

的中點，過點用作直線/（和直線OP不重合）與橢圓相交于Q,R兩點，若直線。P,。。的斜率分別為占、

心，且MR=5QM,貝必上的值是.

Yv2r2

5.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓?+方=1傳>0）與雙曲線,Eg〉。）有公共的焦點，尸為右焦

點，。為坐標(biāo)原點，雙曲線的一條漸近線交橢圓于尸點，且點尸在第一象限，若OP上FP,則橢圓的離心率等于

6.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知次雙曲線C:￡-3=l（a>（U>0）的右焦點，4為雙曲線一點，直線

ah-

軸，與雙曲線派一條漸近線交于昆若|AB|=|AF|,則亦離心率e=

7.（2023?上海閔行?模擬預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙

紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點G（-a,0）,工（0,0）距離之積等于a2（a>0）的點的軌跡稱為雙紐線C.

已知點一（%,九）是雙紐線C上一點.下列說法中正確的有.①雙紐線C關(guān)于原點。中心對稱；②

-^<y0<p③雙紐線C上滿足|「用=|尸用的點尸有兩個；④.1尸。1的最大值為近a.

8.（2022?上海金山?統(tǒng)考一模）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點坐標(biāo)為（2,0）,則。的值為.

9.（2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模）已知拋物線C:/=i6x的焦點為F,在有一點P滿足|PF|=13,則點尸到

x軸的距離為.

10.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，它的漸近線方程為y=±2x,則

它的離心率等于.

三、解答題

11.（2022?上海閔行?擬預(yù)測）有一正方形景區(qū)EFG4,E”所在直線是一條公路，該

景區(qū)的垃圾可送到位于F點的垃圾回收站或公路即上的流動垃圾回收車，于是，景區(qū)分為兩個區(qū)域3和$2,其

中豆中的垃圾送到流動垃圾回收車較近，邑中的垃圾送到垃圾回收站較近，景區(qū)內(nèi)耳和邑的分界線為曲線C,

現(xiàn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點。為E尸的中點，點尸的坐標(biāo)為（1,0）.

（1）求景區(qū)內(nèi)的分界線C的方程；

（2）為了證明耳與邑的面積之差大于1，兩位同學(xué)分別給出了如下思路，思路①：求分界線C在點G處的切線方

程，借助于切線與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明；思路②：設(shè)直線乙：y=x+b,分界線C恒

在直線c的下方（可以接觸），求人的最小值，借助于直線L與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證

明.請選擇一個思路，證明上述結(jié)論.

12.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模)已知橢圓C的中心在原點。，且它的一個焦點產(chǎn)為(6,0).點A，4分別是橢

圓的左、右頂點，點8為橢圓的上頂點，△OFB的面積為也.點M是橢圓C上在第一象限內(nèi)的一個動點.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若把直線的斜率分別記作仁,網(wǎng),若k、+k2=_j,求點M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線MA與)'軸交于點P，直線加&與)軸交于點。.令=求實數(shù)/I的取值范圍.

22

13.(2022?上海寶山?統(tǒng)考一模)已知橢圓C：,+￡=1(。>〃>0),尸(1,3),2(3,1),加(-3,1),N(0,2)這四

點中恰有三點在橢圓C上.

y

?尸

N

?M?0

(1)求橢圓由J方程；

(2)點正是橢圓的一個動點，求一EMN面積的最大值；

⑶過R(0』)的直線，交橢圓C于/1、曬點，設(shè)直線/的斜率4>0,在斕1上是否存在一點。(〃?,0),使得以"I、DB為

鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實數(shù)。的取值范圍；若不存在，請說明理由.

14.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)已知曲線C,的方程為x2+4J=l(4eR,i=l,2,3),直線/：y=>(x+l)與曲

線G在第一象限交于點耳(4%).

(1)若曲線C是焦點在X軸上且離心率為它的橢圓，求4的值；

2

⑵若％=1,時，直線/與曲線Cz相交于兩點“，N,且|MN|=應(yīng)，求曲線的方程；

(3)是否存在不全相等4，4,4滿足4+4=24,且使得只=玉晶成立.若存在，求出巧的值；若不存在，請說

明理由.

【真題訓(xùn)練】

一.選擇題（共2小題）

2

1.（2020?上海）已知橢圓冷_+），2=1,作垂直于工軸的垂線交橢圓于A、B兩點，作垂直于y軸的垂線交橢圓于C、。兩

點，且AB=CQ,兩垂線相交于點P,則點P的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.圓D.拋物線

2.（2022?上海）設(shè)集合。={（x,y）|（x-k）2+（y-F）2=4固，依Z}

①存在直線/,使得集合Q中不存在點在/上，而存在點在/兩側(cè)；

②存在直線/，使得集合。中存在無數(shù)點在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

二.填空題（共10小題）

2

3.（2022?上海）雙曲線三--丫2=1的實軸長為

9'

4.（2021?上海）若7+/-2x-4y=0,求圓心坐標(biāo)為.

5.（2023?上海）已知圓C的一般方程為f+2x+y2=0,則圓C的半徑為.

（2022?上海）若關(guān)于x,y的方程組[xW有無窮多解，則實數(shù)山的值為______.

6.

[mx+16y=8

7.（2021?上海）已知拋物線丁=2內(nèi)（p>0）,若第一象限的A,B在拋物線上，焦點為尸，|AF|=2,\BF]=4,|A8|=

3,求直線AB的斜率為.

8.（2021?上海）直線x=-2與直線盜刀-丫+1=0的夾角為

9.（2020?上海）已知橢圓C：￡_+?_=1的右焦點為尸，直線/經(jīng)過橢圓右焦點F,交橢圓C于P、。兩點（點P在第二

43

象限），若點Q關(guān)于x軸對稱點為Q',且滿足PQLFQ',求直線/的方程是

10.（2020?上海）已知直線A：x+ay=1,fc：ax+y=1,若八〃/2,則人與/2的距離為.

2

11.（2021?上海）己知橢圓/+J=1的左、右焦點為為、尸2,以。為頂點，尸2為焦點作拋物線交橢圓于

b2

P,且尸2=45°,則拋物線的準(zhǔn)線方程是

2

12.(2022?上海)己知Pi(xi,yi),Pi(X2,)2)兩點均在雙曲線r：2—-/=1(q>0)的右支上，若xix2>yi)2

恒成立，則實數(shù)”的取值范圍為.

三.解答題(共7小題)

13.(2021?上海)(1)團(tuán)隊在。點西側(cè)、東側(cè)20千米處設(shè)有4、8兩站點，測量距離發(fā)現(xiàn)一點尸滿足|尸A|-|PB|=20千

米，可知P在4、B為焦點的雙曲線上，以。點為原點，東側(cè)為x軸正半軸，北側(cè)為y軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，。在北偏東60°處，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和尸點坐標(biāo).

(2)團(tuán)隊又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有C、。兩站點，測量距離發(fā)現(xiàn)|。川-|。陰=30千米，IQC1-|。。|=10千米，求

|0。|(精確到1米)和。點位置(精確到1米，1°)

(2023?上海)已知橢圓r：式+3

14.(機(jī)>0且機(jī).

22

m°

(1)若機(jī)=2,求橢圓r的離心率；

(2)設(shè)A1、A2為橢圓r的左右頂點，橢圓r上一點E的縱坐標(biāo)為1,且靛;的=-2,求實數(shù)機(jī)的值；

L22

(3)過橢圓r上一點尸作斜率為正的直線/,若直線/與雙曲線二v、-二=1有且僅有一個公共點，求實數(shù)機(jī)的取

5m25

值范圍.

15.(2022?上海)設(shè)有橢圓方程r：號+J=1(a>/?>0),直線/：x+y-4&=o,「下端點為A,M在/上，左、

a2b2

右焦點分別為Fl(-&,0)、尸2(&,0).

(1)a=2,AM中點在x軸上，求點M的坐標(biāo)：

(2)直線/與y軸交于B,直線經(jīng)過右焦點尸2,在△4BM中有一內(nèi)角余弦值為卷，求b；

(3)在橢圓r上存在一點P到/距離為d,使|PFi|+|PF2|+d=6,隨a的變化，求d的最小值.

2

16.(2022?上海)已知橢圓「：幺+)，2=1(?>1),A、B兩點分別為「的左頂點、下頂點，C、。兩點均在直線/：x

2

a

=a上，且C在第一象限.

(1)設(shè)尸是橢圓「的右焦點，且求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

6

(2)若C、。兩點縱坐標(biāo)分別為2、1,請判斷直線AC與直線BC的交點是否在橢圓「上，并說明理由；

(3)設(shè)直線A。、BC分別交橢圓「于點尸、點。，若P、。關(guān)于原點對稱，求|CC|的最小值.

2,L

2

17.(2021?上海)已知「：2L_+y=itFi,五2是其左、右焦點，直線/過點尸(山，0)(〃忘-&),交橢圓于A,

2

B兩點,且A,3在工軸上方，點4在線段3尸上.

(1)若5是上頂點，IBF；I=IPFJ'求加的值；

(2)若六?正｝=2，且原點。到直線/的距離為量運，求直線/的方程；

(3)證明：對于任意加使得F[6〃82區(qū)的直線有且僅有一條，

18.(2020?上海)已知雙曲線1'："-二天=1與圓「2：x2+y2=4+b2(b>0)交于點A(XA,將)(第一象限)，

4b2

曲線r為「1、r2上取滿足x>g|的部分.

(1)若加=逐，求〃的值；

(2)當(dāng)b=煙,「2與x軸交點記作點Fi、F1,尸是曲線「上一點，且在第一象限，且|PFi|=8,求NF1PF2；

(3)過點。(0,U+2)斜率為-2的直線/與曲線r只有兩個交點，記為〃、N,用b表示誣?瓦，并求萬?加的

22

取值范圍.

19.(2020?上海)已知拋物線產(chǎn)=》上的動點M(xo,和)，過M分別作兩條直線交拋物線于尸、。兩點，交直線*=廳

A、B兩點.

(1)若點M縱坐標(biāo)為&,求M與焦點的距離；

(2)若『-1,P(1,1),Q(1,-1),求證：w?w為常數(shù)；

（3）是否存在f,使得小?消=1且為常數(shù)？若存在，求出r的所有可能值，若不存在，請說明理由.

專題1.10平面解析幾何三大考點與真題訓(xùn)練

考點一：直線與方程

一、單選題

x=3-/sin20

1.（2022?上海閔行?模擬預(yù)測）已知直線的參數(shù)方程為,則該直線的傾

y=2+rcos70

斜角為（)

A.20B.45C.110D.135

【答案】D

【分析】根據(jù)直線參數(shù)方程可確定斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】由參數(shù)方程可知：直線斜率憶=三=42r=-1,，直線傾斜角為135.

x-3-sin20

故選：D.

2.（2022?上海虹口?統(tǒng)考一模）已知尸是橢圓G：三+￡=1與拋物線G：V=2px（p>0）的一個共同焦點，G

43

與相交于兒曬點，則線段4解J長等于（）

A.2"B.土瓜C.2D.W

3333

【答案】B

【分析】先求得4曬點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得線段/加勺長

【詳解】橢圓G：H+￡=1的右焦點坐標(biāo)為（1,0）,

43

則拋物線。2:V=2px（p>0）的焦點坐標(biāo)為（1,0）,

則則P=2,拋物線C2：y2=4尢

22

x=-X——

,解得：3

或，

y=->/6y=

3

則|明=：?

故選：B

二、填空題

3.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）若直線x+2y+3=0與直線2x+,〃），+10=0平行，則這兩條直線間的距離是

【答案】￥##|石

【分析】運用兩直線平行求得加的值，再運用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】由直線x+2y+3=0與直線2x+沖+10=0平行，

可知〃z-2x2=0,即機(jī)=4,

故直線2x+%y+10=0為2x+4y+10=0,

直線x+2y+3=0變形得2x+4y+6=0,

故這兩條直線間的距離為d=-觸°!=攣,

V22+425

故答案為：堂.

4.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知直線《：以+(a-l)y+3=04：2x+ay-1=0,若則實數(shù)a的值是

【答案】。=0或。=-1

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得。的值.

【詳解】由題意可知/1/?,故2a+“(a-l)=0,即/+4=()

解得a=0或a=-1.

故答案為：a=0或a=-l

5.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)已知正實數(shù)a,6滿足3a+力=6,則+從—24+1的取最小值

【答案】今29

【分析】利用代數(shù)式和幾何圖形的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為距離之和的最小值即可求解.

【詳解】設(shè)直線3x+2y=6,點P(a,b)在直線3x+2y=6上，且在第一象限，

設(shè)點4(0,1),M(a,0),

所以方+1“2+匕2-26+1=b+M+(b-lf=PM+PA,

如圖所示，

點A關(guān)于直線3x+2y=6對稱的點設(shè)為B(m,明

n-\2

24一

tn3m=1

3

則有3機(jī)解得.

-----F〃+1=0

2n=

29一

1

3

所以+=+由圖可知，當(dāng)仇P,M在直線元二萬時，

29

PA/+PB最小，最小值為〃=百，

即b+揚(yáng)+/一處+1的最小值為，

2Q

故答案為：—.

6.(2022?上海青浦?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中，40,0),8(1,2)兩點繞定點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)。角

后，分別到4(4,4),夕(5,2)兩點位置，則cos。的值為.

3

【答案】-g##-0.6

【分析】根據(jù)給定條件，求出點用I坐標(biāo)，再借助幾何圖形結(jié)合二倍角的余弦計算作答.

【詳解】依題意，點/在線段A4'的中垂線4上，點少也在線段3B'的中垂線4上，

連A8,A'8'，而40,0),B(l,2),A'(4,4),8'(5,2),因此|A'B'RAB|=6,

^\PA!^PA\,\PB'\=]PB\,即..APB'm.APB,有ZA'PQ=ZAPB,于是得N8P￡=Z/WW=。，

直線4過A4'中點(2,2),而直線4r斜率為1,則直線乙的斜率為-1,方程為x+y=4,直線的方程為x=3,

于是得點P(3,D,令直線4交于點Q(3,2),|PB|=J(3-iy+(l-2)2=6,\PQ\=l,cosN8PQ=￡,

所以cose=cos2ZBPQ=2cos2ZBPQ-1=2(-^)2-13

5

3

故答案為：?1

x+2y=4

7.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考二模)若關(guān)于工,)'的方程組有唯一解，則實數(shù)a滿足的條件是

3x+ay=6

【答案】"6##a-6Ho

【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程（。-6）＞+6=0有唯一解，進(jìn)而得到實數(shù)a滿足的條件

【詳解】由二:，可得（。-6）丫+6=0,

由關(guān)于x,y的方程組有唯一解，

[3x4-ay=6

可得方程（a-6）y+6=0有唯一解，則

故答案為：ax6

8.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）直線，的方程為=0,則直線/的一個法向量為

【答案】（卜2）

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合行列式的公式，以及法向量的定義，即可求解.

【詳解】解：：x；『'=0,

：.x-1-2y=0,即x-2y-l=0,則直線的斜率A=g

故直線/的一個法向量為（1,-2）.

故答案為：（1,-2）.

9.（2022?上海虹口?統(tǒng)考二模）設(shè)aeR,&wR,三條直線4：以-?-2a+5=0,l2:x+ay-3a-4=0,

4：y="，則乙與4的交點嫉科的距離的最大值為一.

【答案】5+&##&+5.

【分析】根據(jù)直線4與4的的方程易知《山2,而4過定點A（2,5）,4過定點8（4,3）,得到《與《的交點1施以45為

直徑的圓上，求出圓心和半徑，結(jié)合4：y=質(zhì)恒過原點，

即可利用圓心到原點的距離加半徑解出.

【詳解】因為axl+(-l)xa=0,所以4U.

而直線4：ar-y-2a+5=0,整理為a(x—2)-y+5=0,

x-2=0J,x=2

令一…，解得:

j=5

故4過定點A（2,5）,

l2:x+ay-3a-4=O,變形為x-4+a（y-3）=0,過定點以4,3）,

2+45+3

所以4與4的交點，麻以/媯直徑的圓上，圓心為即N（3,4）,

直徑為.4-2）2+（3-5）2=2啦，故半徑為夜,

所以圓的方程為（x-3Y+（y-4）2=2,

因為4：y=去恒過原點。（0,0）,

所以，倒4的距離的最大值為ON的長加上半徑，即7（3-0）2+（4-0）2+及=5+a.

故答案為：5+V2.

三、解答題

10.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，OM,ON是某景區(qū)的兩條道路（寬度忽略不計，。“為東西方向），

。為景區(qū)內(nèi)一景點，力為道路上一游客休息區(qū)，已知tanNMON=-3,OA=6（百米），鹿I直線,ON的距

離分別為3（百米），迎（百米），現(xiàn)新修一條自4經(jīng)過附有軌觀光直路并延伸至道路ON于點反并在8處修

（1）求有軌觀光直路AB的長；

（2）已知在景點殃正北方6百米的/處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演一次的時長為9分鐘，表演時，噴泉噴

灑區(qū)域以腦圓心，r為半徑變化，且七分鐘時，r=2&i（百米）（0<r<9,0<”1）.當(dāng)噴泉表演開始時，一

觀光車S（大小忽略不計）正從休息區(qū)因價（1）中的軌道&4以及（百米/分鐘）的速度開往休息區(qū)4間：觀光

車在行駛途中是否會被噴泉噴灑到，并說明理由.

【答案】（1）9立；（2）噴泉的水流不會灑到觀光車上，理由見解析

【分析】（1）建立如圖平面直角坐標(biāo)系，易得A（6,0）,直線QN的方程為y=-3x,。（不,3）（毛>0）,由點到直線

距離，求出Q（3,3）,從而直線AQ的方程為y=-（x-6）,聯(lián)產(chǎn)方程組求出B的坐標(biāo)，由此能求出軌道的長；

（2）將噴泉記為圓P,由題意得打3,9）,生成r分鐘時，觀光車在線段四上的點。處，則BC=",0<r<9,從

而C（-3+r,9-f）,若噴泉不會灑到觀光車上，則PC?〉/對fe[0,9卜恒成立，由此能求出噴泉的水流不會灑到觀光

車上.

【詳解】（1）以點媯坐標(biāo)原點，直線為行亂建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則由題設(shè)得：A（6,0）,直線ON的方程為y=-3x,。(%3)(%0>0).

由喟=縉’解得

所以。（3,3）.

故直線AQ的方程為y=-（》-6）,

丫―得卜-3,

由

x+y-6=0(y=9,

即8(-3,9),故A8=J(-3-6)2+9,=9底,

答：水上旅游線48的長為9夜km.

（2）將噴泉記為圓R由題意可得尸（3⑼，

生成力分鐘時，觀光車在線段AB上的點C處，

則BC=V5r，0<z<9,所以C（-3+f,9—f）.

若噴泉不會灑到觀光車上，則PC?>/對r《o,9］恒成立，

即PC?=（6-r）2+f2=2f2-12/+36>4〃，

當(dāng)r=0時，上式成立，

當(dāng)fe（O,9］時，2a<t+--6,以+；-61=6夜-6,當(dāng)且僅當(dāng)r=3及時取等號,

t\<7min

因為“G（O,1）,所以r<PC恒成立，即噴泉的水流不會灑到觀光車上.

答：噴泉的水流不會灑到觀光車上.

【點睛】本題考查軌道長的求法，考查噴泉的水流能否灑到觀光車上的判斷，考查函數(shù)性質(zhì)有生產(chǎn)生活中的應(yīng)用

等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和應(yīng)用意識，屬于中檔題.

考點二：圓與方程

一、單選題

1.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模）已知圓C的半徑為3,圓的半徑為7,若兩圓相交，則兩圓的圓心距可能是

A.0B.4C.8D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)兩圓相交圓心距R-r<d<R+r驗證各選項即可.

【詳解】因為兩圓相交，所以兩圓的圓心距R-r<d<R+r即4<"<1(),僅有C滿足，

故選：C

=-2+5cos6

2.(2022?上海黃浦?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知圓C:(，為參數(shù))，與圓球于直線產(chǎn)y=0對稱的圓

[y=3+5sin6

的普通方程是()

A.(x+3)?+(y-2)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x+3)2+(y-2)2=5D.(x-2)2+(y+3)2=5

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得圓派普通方程為(x+2f+(y-3)2=25,根據(jù)兩圓的圓心關(guān)于直線x+y=0對稱，半徑相同，

即可解出.

【詳解】圓c：(6為參數(shù))轉(zhuǎn)化為普通方程為(尤+2)2+(y-3)2=25,

[y=3+5sinn6>

圓心為(-2,3),半徑為5,所以對稱的圓的圓心為(-3,2),半徑為5,

故對稱的圓的普通方程是(x+3)2+(y-2曰=25.

故選:A.

3.(2021?上海閔行模擬預(yù)測)已知拋物線C：V=i6x的焦點尺，腹拋物線C上位于第

一象限內(nèi)的一點，媯坐標(biāo)原點，若△。取的外接圓〃與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則圓〃與直線x-6y-2=0相交得

到的弦長為()

A.2>/3B.4C.276D.4后

【答案】D

【分析】先求出圓。的圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，即可求出圓。與直線相交得到的弦長，得到答

案.

【詳解】因為的外接圓與拋物線C：V=16x的準(zhǔn)線x=-4相切，

所以4OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線/的距離等于圓的半徑，

又因為圓心在。尸的垂直平分線上，|OF|=^=4,

所以圓的半徑為6,圓心的橫坐標(biāo)為2,所以圓心的縱坐標(biāo)為±75^4=±4&,

所以圓心到直線的距離d=卜一4、-2|=2",

2

所以圓。與直線x-ay-2=0相交得到的弦長為2標(biāo)W=4G.

故選：D.

二、填空題

4.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線［-丁=1（”>0）的漸近線與圓V+/一4），+3=0相切，則。=

【答案】—

33

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用圓心到漸近線的距離等于圓的半徑可求得〃的值.

【詳解】由丁+/-4丫+3=0得/+（y-2）2=l,所以圓心為（0,2）,半徑為1,

雙曲線5-y2=］（a>o）的漸近線方程為）,=±2，即》±3=0,

丫2

因為雙曲線土丫2=［（。>0）的漸近線與圓/+丫2-分+3=0相切，

所以=化簡得3a'I,解得a=且或“=-*■（舍去）.

Vl+a233

故答案為：正.

3

5.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C的一般方程為/+2x+y2=o,則圓曲半徑為一

【答案】1

【分析】先求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得圓的半徑.

【詳解】圓/+2中2=0即（x+lp+y2=i,

所以圓的半徑為1.

故答案為：1

6.（2022?上海普陀?統(tǒng)考一模）設(shè)加eR.若直線/:x=-l與曲線C?,+（y-〃?）2=1僅有一個公共點,

貝|］機(jī)=.

【答案】0

【分析】利用圓心到直線/的距離等于圓G.的半徑可得出關(guān)于實數(shù)m的等式，即可解得實數(shù)"，的值.

【詳解】圓C“的圓心坐標(biāo)為與，相，半徑為1,由題意可得—+1=1,解得,”=o.

I4)4

故答案為：0.

7.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考二模)構(gòu)造一個二元二次方程組使得它的解恰好為卜=：,

[g(x,y)=0[乂=2

二，要求〃x,y)=0與g(x,y)=0的每個方程均要出現(xiàn)x,y兩個未知數(shù).答：.

3x+y-5=0

【答案】|(x-2)2+(y+l)2T0=0

【分析】不妨令〃x，y)=O為過(1,2)、(3,T)兩點的直線，g(x,y)=O為以(1,2)、(3,7)兩點為直徑的圓，即可

滿足題意.

【詳解】過(1,2)、(3,T)兩點的直線為與之=N，整理得版+'-5=0

(1,2)、(3,T)兩點間距離為J(3-iy+(-4-2)2=2回

(1,2)、(3,Y)兩點的中點坐標(biāo)為(2,-1)

則以(1,2)、(3T)兩點為直徑的圓為(x-2)2+(y+l)2=10

則可令/(x,y)=O為3x+y-5=0,g(x,y)=O為(x-2『+(y+l)2=10

故答案為：，_2)，("1)2-10=0

8.(2022?上海黃浦?校考模擬預(yù)測)設(shè)有直線/：丘+y-3=0,/的傾斜角為a.若在直線/上

存在點A滿足岡=2,且tana<0,則人的取值范圍是,

【答案】當(dāng),+8

./

【分析】設(shè)A(x,y),易得-+y2=4,再根據(jù)在直線/上存在點A滿足|。4卜2,圓心到直線的距離不大于半徑求

解.

【詳解】解：設(shè)A(x,y),因為，刊=2,

所以￥+y2=4,

因為在直線/上存在點A滿足|。小=2,

所以圓心到直線的距離不大于半徑,

3

即d=t<2,

解得%邛或《多

又因為衣=-tana>0,

11

所以k的取值范圍是

2'-

A/

故答案為:[2)

9.（2022?上海靜安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知雙曲線=1（?>O,b>0）的兩條漸近線均與圓C:（x-3）2+/=4

a2b2

相切，右焦點和圓心重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】4-4=i

54

【分析】根據(jù)已知條件得出雙曲線的漸近線方程及圓的圓心和半徑，進(jìn)而得出雙曲線的焦點坐標(biāo)，利用雙曲線的

漸近線與圓相切，得出圓心到漸近線的距離等于半徑，結(jié)合雙曲線中三者之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意可知，雙曲線=力>。）的漸近線方程為>=士，X,即云土町=0.

由圓C的方程為（x-3y+y2=4,得圓心為C（3,0）,半徑為廠=2.

因為右焦點和圓心重合，所以雙曲線右焦點的坐標(biāo)為（3,0）.c=3

又因為雙曲線5-￡=1（">°力>°）的兩條漸近線均與圓u（x-3）2+V=4相切,

所以學(xué)曾

=2,即解得匕=