專題14函數的應用（一）

題型——次函數模型的實際應用題

1.某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數關系，如圖所示，由圖中給出的信息

可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是（）

B.300元

C.390元D.280元

【答案】B

ri/+日古土y—8001300—800左刀/曰

【解析】依題意:?=———,解得y=300.

0—1z—1

故選：B

2.甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發，路程S與時間f的函數關系如圖所示，則下列說法正確

的是.（填序號）

①甲比乙先出發；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙兩人的速度相同；④甲比乙先到達終點.

【答案】④.

【解析】對①，由圖知，甲、乙兩人同時出發，故①錯誤；

對②，甲、乙的路程S取值范圍相同，故②錯誤；

對③，速度,其幾何意義是直線的斜率，顯然甲的速度快，故②錯誤；

t

對④，由圖知，甲到達終點時用時較少，故④正確；

故答案為：④.

題型二二次函數模型的實際應用題

1.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營.據市場分析，每輛客車營運的利潤》與營運年數x

（xeN）為二次函數關系（如圖），則客車有營運利潤的時間不超過年.

【答案】7

【解析】設二次函數產a(x-6)2+ll,

又過點(4,7),

所以a=-l,即y=-(x-6)2+ll.

解y>0,得6-711-6+VTT，

所以有營運利潤的時間為2而.

又6<2JTT<7,所以有營運利潤的時間不超過7年.

故答案為：7

2.如圖，有一長AM=30米，寬4V=20米的矩形地塊，物業計劃將其中的矩形ABCD建為倉庫，要求

頂點C在地塊對角線上，氏。分別在邊4/4V上，其他地方建停車場和路，設=x米.

則矩形ABCD的面積S關于龍的函數解析式為.

2

【答案】5=-§/+20無(0<%<30)

DN

【解析】解：在直角中石

AN

所以導20—A0

20

：.AD=20--x,

3

29

S=.X(20--X)=--X2+20X(0<X<30)

2

所以矩形ABCD的面積S關于元的函數解析式為5=--x2+20x(0<x<30).

t+20,0<t<25,

3.某種商品在近30天內每件的銷售價格P(元)和時間*天)的函數關系為：P=

-t+100,25<t<30.

QGN*)設該商品的日銷售量。(件)與時間*天)的函數關系為2=40-r(0</<30,feN*),求這種商品的日

銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？

【答案】銷售額的最大值為1125元，且在第25天時日銷售金額達到最大.

【解析】設日銷售金額為，⑺元，則

J(f+20)(40-f)0<f<25jeN

/⑷一[(100-(40-/),25W30,f6N，

”“、f-t2+20t+800,0<t<25,teN

'7t2-140/+4000,25<t<30,teN

當0<f<25時，/■(>)=—/+20/+800,/=10時有最大值900；

當25印<30時，是減函數，/=25時〃。有最大值1125.

綜上所述，f=25時〃。有最大值1125,

所以，第25天日銷售金額最大，最大值為1125元.

4.某水廠的蓄水池中有400噸水，每天零點開始由池中放水向居民供水，同時以每小時60噸的速度向池

中注水，若f小時內向居民供水總量為100癡（04424）,則每天何時蓄水池中的存水量最少.

【答案】，=字時，蓄水池中的存水量最少.

O

【解析】設/小時后，蓄水池中的存水量為y噸，貝仃=400+60/-100倔，其中0W24,

令〃=〃e[0,2悶，貝I]y=60zr-10。庭“+400,

所以，當-時,y取最小值，此時，/=（地]=—（時）.

2x60616J6

因此，當，=蓼時，蓄水池中的存水量最少.

O

5.某公司生產一種產品，每年投入固定成本0.5萬元，此外每生產100件這種產品還需要增加投資0.25

萬元，經預測可知，市場對這種產品的年需求量為500件，當出售的這種產品的數量為X單位：百件）時,

銷售所得的收入約為夕-3/（萬元）.

（1）若該公司的年產量為x（單位：百件），試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量x

的函數;

（2）當這種產品的年產量為多少時，當年所得利潤最大?

12

—%+4.75%—0.5,0<%W5

【答案】(1)1%)=彳2；(2)475件.

12-0.25%,%>5

【解析】（1）當0<爛5時，產品全部售出，當x>5時，產品只能售出500件.

5x——x2J—(0.5+0.25x),0<xW5

所以〃%)=

5x5-1x52j-(O.5+O.25x),x>5

12

—x+4.75%—0.5,0<%<5

即危尸2

12-0.25x,x>5

(2)當0K5時，X.?)=-1^2+4.75X-0.5,

所以當尤=4.75(百件)時，Kx)有最大值，

於),皿=10.78125(萬元).

當x>5時，丸初<12—0.25x5=10.75(萬元).

故當年產量為475件時，當年所得利潤最大.

題型三塞函數模型的實際應用題

1.若彳2>/成立，則X的取值范圍是.

【答案】(e,o)u(l,a)

【解析】如圖所示，分別畫出函數y=Y與>=￡的圖象，由于兩函數的圖象都過點(1,1),

由圖象可知不等式/>)的解集為(-s,0)u(l,y).

2.用清水洗一堆蔬菜上殘留的農藥，用水越多，洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上現作

如下假定：用x單位的水清洗次后，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函數

(1)(i)試解釋/(0)與/(D的實際意義；

(ii)寫出函數A*)應該滿足的條件和具有的性質；

(2)現有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次.哪種方案清洗后蔬

菜上殘留的農藥量比較少？請說明理由.

【答案】(1)(i)詳見解析(ii)詳見解析(2)答案不唯一，具體見解析

【解析】解：(1)(i)7(0)=1,表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量為1.

22

/(D=p表示用1個單位的水清洗時，可清除蔬菜上殘留的農藥的

(ii)函數"X)在0+8)上單調遞減，并且有0</(元)41.

(2)設清洗前蔬菜上的農藥量為1,用。單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為可，則

=lx/(a)=-^-T.

2+a

如果用￡單位的水清洗1次，則殘留的農藥量為

212)8+〃

然后再用］單位的水清1次后，殘留的農藥量為嗎=/（胃）=64

(8+/2.

22

2642a(a-16

由于叫一%T，所以，叱-%的符號由/一16決定.

2+/(8+/

當a>4時，叱>也.此時，把。單位的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農藥量較少；

當。=4時，叱=嗎.此時，兩種清洗方法效果相同；

當。<4時，叱<明.此時，用，單位的水清洗一次，殘留的農藥量較少.

3.某人開汽車以60初x//z的速度從A地到150Am遠處的8地，在3地停留后，再以50加//i的速度返

回A地，把汽車離開A地的路程％（版）表示為時間，（〃）（從A地出發是開始）的函數，并畫出函數的圖

象；再把車速vAm//z表示為時間《"）的函數，并畫出函數的圖象.

【答案】見解析

60r,0<r<2.5,

【解析】由題意得：路程九（初0表示為時間/（力）的函數：X=150,2.5<r<3.5,圖像如圖：

150-50（^-3.5）,3.5<r<6.5.

60,0<Z<2.5,

車速v(A加%)表示為時間/(%)的函數：v=<0,2.5<r<3.5,圖像如圖

50,3.5<6.5.

+v(km/h)

60金也

36=50

40

I

20-刖“5

-202?555t/h

-40

二落

4.為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如下表，若某戶居

民本月交納的水費為48元，求此戶居民本月用水量.

每戶每月用水量水價

不超過12M的部分3元/加3

超過12m3但不超過18療的部分6元/加

超過18療的部分9元/蘇

【答案】14m3

【解析】解：設用水量為初？，水費為y元，當噂/12時，y=3%，當12<x?18時,

y=12x3+(%-12)x6=6x-36,當尤>18時，y=12x3+6x6+(%-18)x9=9x-90,

’3%,賺!Jr12

二.y=<6x-36,12<18,

9x-90,x>18

由y=48知6%—36=48,X=14.

???此戶居民本月用水量為14m3.

題型四分段函數模型的實際應用題

1.某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產品，生產“玉兔”的固定成本為20000元，每生產一

/、400.r--x2,(0<x<400)

件“玉兔”需要增加投入100元，根據初步測算，總收益滿足函數R(x)=2I),其中尤

80000,(x>400)

是“玉兔”的月產量.

(1)將利潤/(x)表示為月產量尤的函數；

(2)當月產量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？(總收益=總成本+利潤)

【答案】(1)山)F。。—。。。。,(例4。。)⑵當—0G時，該廠所獲利潤最大，最大利潤

-100%+60000,(%>400)

為25000元.

【解析】(1)由題意，

當噴火400時，

f(x)=400x-0.5/-20000-100%

=300無-。貨-20000.

當x>400時，/(x)=80000-lOOx-20000

=60000-100%；

,--x2+300%-20000,(Oiijv400)

故/(x)=12

-100x+60000,(x>400)

(2)當Oik400時，/(x)=300.r-0.5x2-20000；

當x=300時，/(x)e="300)=25000(元)

當X>400時，/?_</(400)=20000(元)

25000>20000,

當x=300時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元.

2.為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如下表:

每戶每月用水量水價

不超過12加3元/加

超過12m3但不超過18M的部分6元/疝

超過18M的部分9元/疝

若某戶居民本月交納的水費為48元，求此戶居民本月用水量.

【答案】14m3

【解析】設此戶居民本月用水量為x,

當0<x412時，3x=48,解得元=16,不滿足題意；

當12<xW18時，3?126?（x12）=48,解得了=14,滿足題意；

46

當x>18時，3?126?69?（x18）=48,解得x=],不滿足題意，

綜上所述，此戶居民本月用水量為14〃.

3.李莊村電費收取有以下兩種方案供農戶選擇：

方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時，超過部分按每度0.6元.

方案二：不收管理費，每度0.58元.

（1）求方案一收費"%）元與用電量x（度）間的函數關系

（2）李剛家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？

/、f2+0.5x,0<x<30

【答案】（1）L（x）=\；（2）25度到50度范圍內（不含25、50度）時，選擇方案一

[0.6%—〉30

比方案二更好.

【解析】（1）當0<x<30時，￡（%）=2+0.5%.

當x>30時，=2+30x0.5+（x—30）x0.6=0.6%—1.

/、[2+0.5x,0<x<30

[0.6x—l,x>30

（2）設按第二方案收費為尸（x）元,則產（x）=0.58x.

當04尤430時，由L（x）〈尸（x）,得2+0.5x<0.58x，x>25

25<x<30.

當%>30時，由L（九）vF（x）,得0.6x—1<0.58%x<50

30<x<50.

綜上,25Vx<50.

故李剛家月用電量在25度到50度范圍內（不含25、50度）時，選擇方案一比方案二更好.

4.經市場調查，新街口某新開業的商場在過去一個月內（以30天計），顧客人數/⑺（千人）與時間/

(天)的函數關