2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷08（新題型地區(qū)專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第U卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

5

1.（5分）（2024?山東煙臺?一模）若（1—2久＞=劭+的刀+a2/+—I-a5x,則a2+=（）

A.100B.110C.120D.130

【解題思路】利用二項式定理分別求出。2，。4即可計算得解.

2=24

【解答過程】在（1—2x）5=a0+arx+a2x+—F（25/中，a2C5x2=40,a4=Cgx2=80,

所以a2+a4=120.

故選：C.

2.（5分）（2024?廣西南寧?一模）已知集合4={1,3,4},集合B={2,3,4,6},則如圖中的陰影部分表示（)

C.{2,6}D.{123,4,6}

【解題思路】根據(jù)圖形所表示的含義再結(jié)合交集和補集的定義即可.

【解答過程】因為韋恩圖中的陰影部分表示的是屬于8不屬于4的元素組成的集合,

又4={1,3,4},B={2,3,4,6},所以韋恩圖中的陰影部分表示的集合是CB（4CB）={2,6}.

故選：C.

3.（5分）（2024?云南昆明?一模）某學(xué)校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：s）分別為:

13.09,13,15,12.90,13,16,12.96,13.11,%,13.24,則下列說法錯誤的是（）

第1頁共18頁

A.若該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為13.155,貝卜=13.15

B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為13.15,則x=13.15

C.若該八名選手成績的極差為0.34,則12.90<%<13,24

D.若該八名選手成績的平均數(shù)為13.095,貝卜=13.15

【解題思路】舉反例判斷A,利用眾數(shù)和平均數(shù)定義判斷B、D,分情況討論尤判斷C.

【解答過程】對A,因為8x75%=6,當(dāng)芯=13,八名選手成績從小到大排序

12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,,故該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為曳苫口=13.155,

但％=13#13.15,故A錯誤；

對B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，B正確；

對C,當(dāng)x<12.9,極差為13.24—%>0.34,不符合題意舍去；

當(dāng)12.90WxW13.24,極差為13.24—12.9=0.34,符合題意

當(dāng)x>13.24,極差為x-12.9>0.34不符合題意舍去，綜上，12.90WxW13.24,C正確；

4叱4dl2.90+12.96+13.09+13.11+13.15+13.16+13.24+%

對D,平均數(shù)為-----------------------------------13.095,解得％=13.15,故D正確.

故選：A.

4.(5分M2024?山東濟寧?一模)已知的內(nèi)角的對邊分別為Q,hc,且a=3,acosB=(2c-b)cosA,

則△ABC面積的最大值為()

【解題思路】利用正弦定理對已知條件進行邊角轉(zhuǎn)化，求得4結(jié)合余弦定理以及不等式求得兒的最大值,

再求三角形面積的最大值即可.

【解答過程】因為acosB=(2c—b)cos4由正弦定理可得：sinAcosB=2sinCcosA—sinBcosA,

即sin(Z+B)=2sinCcos4sinC=2sinCcosA,

又CEsinCHO,故cos/=±由4E(0,n),解得/=；；

由余弦定理，結(jié)合。=3,可得cos/=：=匕-9,

22bc

即/+c2=be+9>2bc,解得be<9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取得等號；

故aABC的面積S=-besinA=-x—be<—x9=—,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取得等號.

22244

即△ABC的面積的最大值為竽.

4

故選：A.

第2頁共18頁

5.（5分）（2024?福建龍巖?一模）已知0<￡<aVpcos（cr+夕）=|,sin（cr—貝ijtanatan/?的值為

（）

135

A.-B.-C.-D.2

253

【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的余弦、正弦公式并進行弦化切求得正確答案.

【解答過程】cos（a+夕）=cosacos/?—sincrsin/?=

sin（a-/?）=sincrcos/?—coscrsin/?=g

cosacos/?-sinasin/?點分子分母同時除以cosacos/?得:

sinacos、一cosasin0

1-tanatan/?

tana-tan^?

（a->0

由于0</?Vav]所以卜廣一SV。，所以O(shè)Va-pv]

[0<a<

所以cos（a一B）=Jl一圖=I，

所以tan（a—/?）=四"2=±,即隨&2比經(jīng)^4

cos（a-0）3cosacosj?+sinasin/?3

分子分母同時除以cosacosy?得:

tana-tanB4」4c4,4,,八

W----------=-.tana—tan。=一+-tanatann,代入①得:

l+tanatanjg3133L

1-tanatan/?（解得tanatan/?=

-+-tanatan/?

故選：A.

6.（5分）（2024.河南南陽?一模）黨的二十大報告提出:“深化全民閱讀活動.”今天，我們思索讀書的意義、

發(fā)掘知識的價值、強調(diào)閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、博

物館、美術(shù)館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放，開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有/、8、

C、。、E共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作，每個場館至少需要一名志愿者，每名志

愿者到各個場館的可能性相同，則4、8兩名志愿者不在同一個場館的概率為（）

159

A.B.C.D.

2610

【解題思路】首先求出將5名志愿者分配到4個場館的方法數(shù)，再求出48兩名志愿者在同一個場館的方

法數(shù)，最后利用古典概型的概率公式及對立事件的概率公式計算可得.

【解答過程】將5名志愿者分配到4個場館，共有髭A1種不同的方法,

第3頁共18頁

其中力、B兩名志愿者在同一個場館共有A3種不同的方法,

所以力、B兩名志愿者不在同一個場館的概率為P=1-懸=《.

髭A：10

故選：D.

22

7.（5分）（2024.全國?模擬預(yù)測）設(shè)橢圓京=l（a>b>0）的左，右焦點分別為尻,，直線I過點%

若點&關(guān)于1的對稱點P恰好在橢圓C上，且瓦A瓦瓦=。2,則C的離心率為（）

【解題思路】利用橢圓的定義及平面向量數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理解三角形構(gòu)造齊次式方程計算離心率即

可.

【解答過程】設(shè)=。，

由已知可得，IP&I=內(nèi)引=2c，

根據(jù)橢圓的定義有2a-[PF/=|P6|=2a-2c,

又F1了?F/；=。2,所以4c2cos8=/?2,

在APFiB中，由余弦定理可得，

|PF|2=2+|PF/2-2\PF\■\FF\-cos0=>（2a-2c）2=8c2-8c2cos0=8c2-2b2,

2\FXF2\±12

即（2a—2c>=8c2—2（a2—c2）,整理得3a2—4ac—3c2=0=>3e2+4e—3=0,

解方程得e=警或e=—宇（舍去），

故選：D.

8.（5分）（2024?四川.模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體48CD-中，點P是該正方體對角

線BA上的動點，給出下列三個結(jié)論：

@AC1DP-,

②點P到直線AC的距離的最小值是￡

6

③當(dāng)BQ=4BP時，三棱錐P—ABD外接球的表面積為等.

第4頁共18頁

其中所有正確結(jié)論的序號為（）

C.②③D.①②③

【解題思路】對①，證明力C_L平面BOD1即可；對②，根據(jù)4C1平面8。必，設(shè)BDc4C=。，則根據(jù)OP為

點P到直線4C的距離分析即可；對③，根據(jù)外接球的性質(zhì)，確定三棱錐P-4BD外接球的直徑為BDP的外接

圓直徑求解即可.

【解答過程】對①，連接BD,交AC于。.

因為力BCD-AiBiCiDi為正方體，故力C1BD,DD11平面4BCD,

又ACu平面4BCD,則4C1DDr.

又BDCDDLD,8。,叫u平面故力C_L平面3叫.

又DPu平面BOD〉故4C1DP,故①正確；

對②，由①可得點P到直線力C的距離為。P,故當(dāng)。P1BD1時。P最小，

此時BD=V2,DD1=1,BD]=VTT2=b，故sinNDB%=看OP=0B-sinADBD1='x專=半，故②

正確；

對③，當(dāng)=4BP時，因為gJ_平面ZBCD,DD]u平面BDD1，故平面8叫_L平面4BCD,即平面BDP1

平面力BD.

又乙DAB=90°,故三棱錐P-力BO外接球球心在平面BDP上，即三棱錐P-48。外接球直徑為BDP的外接

圓直徑.

此時COSNDBP=—BD=a,BP=；B5=亨，

故OP?=BD2+BP2_2BD-BPcos乙DBP=2+—-2A/2X—x—,故DP=—.

1643164

設(shè)三棱錐P-2B0外接球的半徑為R,

2

則表面積S=4TTR2=1T（2R）2=n（.北）=誓，故③錯誤.

\smz.DBP/16

第5頁共18頁

綜上①②正確.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)(2024?廣東江門?一模)下列說法正確的是()

A.z-z=\z\2,zEC

B.i2024=-l

C.若|z|=l,zee,則怙一2|的最小值為1

D.若一4+3i是關(guān)于％的方程%2+p%+q=0(p,qER)的根，貝|p=8

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷B；設(shè)2=

x+y\,(x,yGR),根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式，可得/+y2=i,以及|z—2|=4一4x+5,結(jié)合x的范圍可

判斷C；將-4+3i代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等，求出p,即可判斷D.

【解答過程】對于A,zEC,設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,(a,bER),則5=a—bi,(a,匕ER),\z\=Va2+ft2,

故z-z=(a+bi)(a—hi)=a2+b2=\z\2,A正確；

對于B,由于12=一1/4=1,故［2024=04)506=1,B錯誤；

對于C,zeC,設(shè)z=%+yi,Q,yCR),由于|z|=1,則J/+y2=i,...%2+y2=1,

故|z—2|=J(x-2)2+y2—JQ_2)2+i_%2—7—4x+5,

由/+y2=L得一則一4%+5Nl,

故當(dāng)％=1時，|z-2|的最小值為1,C正確；

對于D,-4+3i是關(guān)于x的方程久2+p%+q=o(p,qGR)的根，

故(一4+3i)2+p(-4+3i)+q=0(p,qGR),即7—4p+q+(3p-24)i=0,

故「3^￥；。°-1建3D正確，

故選：ACD.

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10.(6分)(2024?全國?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4(-2,0),動點P滿足|P4|=W|P0|,得到動點

P的軌跡是曲線C.則下列說法正確的是()

A.曲線C的方程為(x—l)2+V=3

B.若直線y=k久+1與曲線C相交，則弦最短時k=—1

C.當(dāng)0,4P三點不共線時，若點。(1一8,0),則射線PD平分N4P。

D.過A作曲線C的切線，切點分別為M,N,則直線MN的方程為久=0

【解題思路】由點P的軌跡滿足已知條件列兩點間距離公式化簡可求A選項；由弦長公式和基本不等式可求

B選項；由角平分線定理的逆定理可求C選項；由幾何關(guān)系和兩圓方程相減可得兩圓公共弦方程可求D選

項.

【解答過程】A：設(shè)P(x,y),因為4(—2,0),動點P滿足|P4|=H|P0|,

所以+2)2+y2=百X+y2,化簡可得(X-1)2+y2=3,故A正確；

B：由選項A可知，圓心(1,0),半徑「=次，設(shè)圓心到直線的距離為由，則八=蘭祟，

設(shè)弦長為&2，由弦長公式得d2=2y/r2-d，l=213-=2譽之=2ax11—

\1-rK71+K.'K+—

因為/kx]=2,當(dāng)且僅當(dāng)k=l,取等號，

所以弦最短時k=l,故B錯誤；

因為|p力I=b|「。|,則^=遮，又。(1一8,0),

所以|力。|=3—舊，|OD|=V3-1,則黑=督=百=黑，

\uD\V3—1|PU|

所以由角平分線定理的逆定理可知射線PD平分NAP。，故C正確；

D：過A作曲線C的切線，切點分別為M,N,

則由集合關(guān)系可知M,N在以ac為直徑的圓上，半徑為弓=|,圓心為(―|,0),

此圓方程為(％+])+y2=￡

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兩圓方程相減可得公共線MN的方程為x=0,故D正確;

故選：ACD.

11.(6分)(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)已知/'(久)=(久+l)lnx,g(x)=久(^+1)(其中e=2.71828…為

自然對數(shù)的底數(shù))，則下列結(jié)論正確的是()

A./0)為函數(shù)/O)的導(dǎo)函數(shù)，則方程［尸(乃］2—5/0)+6=0有3個不等的實數(shù)解

B.3xe(0,+oo),/(x)=g(x)

C.若對任意x>0,不等式g(a+Inx)Wg(久e“2一x)恒成立，則實數(shù)a的最大值為-1

D.若/Oi)=。(冷)=t(t>0)，則一：：［］)的最大值為三

【解題思路】對于A,只需判斷廣(x)=2或尸Q)=3的根的個數(shù)和即可，通過求導(dǎo)研究廣@)=Inx+?=

h(x)的性態(tài)畫出圖象即可得解；對于B,由/(x)單調(diào)遞增，故只需判斷函數(shù)u(x)=ex-x,x>0有無零點即

可；對于C,首先得g(%)=/(。工)在(0,+8)上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)換成a<xex~2-ln(xex)=m(u)=^-Inu,u=

xe，>0在(0,+8)上恒成立驗算即可；對于D,根據(jù)單調(diào)性得看=距，將問題轉(zhuǎn)換成求野=n(t),t>0的

而/'⑺=Inx+詈=/i(x),h'M=：一專=妥,%>0,

所以當(dāng)0<%<1時，h'{x)<0,h(%)即/(久)單調(diào)遞減，當(dāng)％>1時，//(%)>0,/i(%)即f'(%)單調(diào)遞增，

所以尸(x)min=/⑴=2,而尸(1)=11-InlO>3/(10)=InlO+藍(lán)>3,

所以方程［［(x)］2-5尸(x)+6=0有3個不等的實數(shù)解，故A正確；

對于B,若％W(0,+8),/(%)=g(%)=/(e%),由A選項分析可知廣(%)N2>0,即/(%)單調(diào)遞增，

所以e*=x,令〃(%)=e%—%,%>0,u'{x)=ex—1>0,%>0,所以〃(%)單調(diào)遞增，

所以〃(久)=e%-%>〃(0)=1,%>0,矛盾，故B選項錯誤；

對于C,由B選項分析可知/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知g(%)=/(e%)在(0,+8)上

單調(diào)遞增，

第8頁共18頁

若對任意K>0,不等式g(a+In%)<g｛xex~2—%)恒成立，貝!Ja+In%<xex~2—x,

即Q<xex~2—x—Inx=xex~2—ln(%e*)在(0,+8)上恒成立，

令〃=xex,當(dāng)工€(0,+8)時，u=xexG(0,+oo),令==—Iniz,u>0,

則m'(〃)=4—~=>0，

ezuezu

所以當(dāng)〃E(0,。2)時，mr(u)<0,znQ)單調(diào)遞減，當(dāng)a^(e2,+8)時，mf(u)>0,m(〃)單調(diào)遞增，

所以m(u)min=血缶2)=--Ine2=-1,

因為a<xex~2—ln(xex)=m(u)=^—Inu,u=xex>0在(0,+8)上恒成立，

所以a4—1,即Qmax=-1，故C正確；

對于D,若f(%i)=g(%2)=/(e%2)=t>0,

又f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以%]=e%2,

所以君寸入=盛吟―°，

所以？i(t)=與詈,t>0,所以當(dāng)t6(0,e)時，nz(t)>0,n(t)單調(diào)遞增,當(dāng)tc(e,+8)時,n'(t)<0,n(t)單

調(diào)遞減，

所以n(t)max=2即小3的最大值為\故D錯誤.

故選：AC.

第口卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛時｝的前幾項和為配，且M=2Sn+2,則%+S°=-4.

【解題思路】由題意首先得的=-2,其次當(dāng)nN2時，可以通過工,廝的關(guān)系得數(shù)列｛a/是首項為-2,公比

為-1的等比數(shù)列，由此即可進一步求解.

【解答過程】當(dāng)?1=1時，ai=2S]+2,解得a1=—2.

當(dāng)nN2時，a”=25^+2,a“_i=2Sn_1+2,兩式相減得a.=-廝-1，

因為=—2豐0,所以Cln-i中0,所以=—1,

an-l

所以數(shù)列是首項為-2,公比為-1的等比數(shù)列，

所以廝=(一2).(-1尸,即數(shù)列｛斯｝是一2,2,—2,2,……,

故。7=-2,Sg=-2,所以為+S9=-4.

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故答案為：-4.

13.(5分)(2024.四川.模擬預(yù)測)如圖，在矩形ABCD中，=4,40=2,點E為線段CD的中點.沿直線

AE將A/IDE翻折，點。運動到點P的位置.當(dāng)平面P4E與平面4BCE所成角為60。時，三棱錐P—ABC的體積為

2V6

-3-

【解題思路】根據(jù)二面角的幾何法可得NPHF為平面PAE與平面48CE所成角的平面角，故NPHF=60。,進而

可得點P到平面4BCE的距離，即可由錐體的體積公式求解.

【解答過程】

如圖，取4B的中點F,連接DF,與AE交于點H.

由翻折前后的不變性可知，由已知，四邊形。￡72為正方形，則0F14E,

所以NPHF(或其補角)為平面P4E與平面48CE所成角的平面角，故NPHF=60。或NPHF=120。；

由于PHDDF=H,PH,DFu平面PDF,所以4E1平面PDF,AEu平面4BCE,

故平面4BCE_L平面PDF,即P在平面2BCE上的射影。在直線。尸上(點0在線段DH或HF上均可).

由題意可知，在RSPH。中，乙PHO=60°,PH=四,貝!］

PO=PWsin60°=又SAABC=4,則［X彳X4=乎?

故答案為：竽.

14.(5分)(2024?全國?模擬預(yù)測)已知點M(%L2)是函數(shù)/(%)=i4cos(<ox+0)(4>0,①>全0V0Vn)

圖象上的一個最高點，％是函數(shù)/(%)的一個零點，且%1與久2之差的絕對值的最小值為將/(%)的圖象

向右平移工個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且或久)是奇函數(shù).給出下列結(jié)論：①s=g；②/(久)在區(qū)間

(0用上的值域為［-2,1］；③/㈤的單調(diào)遞增區(qū)間為［碗-工,碗-斗fcGZ.其中所有正確結(jié)論的序號為_

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①②.

【解題思路】根據(jù)題意求出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性，值域求解判斷

【解答過程】設(shè)f(x)的最小正周期為T,

由題知，4=2,--T—Ti――,.,.(0=2,

443

/(%)=2cos(2%+cp),

???g(x)=2cos12(%—+g]=2cos(2%+0-

對于①，g(x)是奇函數(shù)，9一；=Mt+g/cGZ,

62

A(/?=fell+y,fc6Z,0<(p<71,A(p=與故①正確；

對于②,由①知，/(%)=2cos(2%+當(dāng)，

當(dāng)軻，〃=2%+*E得，當(dāng)

由余弦函數(shù)的圖象知，f(u)=2cosue[-2,1],

???/(%)在區(qū)間(0段上的值域為[-2,1],故②正確；

對于③，令2Ml—n<2x+2fcir,fcGZ,

解得kn-—<%<Zen-fc6Z,

63

.?./⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為忸-焉.-外，kez,故③錯誤.

故答案為：①②.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(2024?四川瀘州?二模)某校為了讓學(xué)生有一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，特制定學(xué)生滿意度調(diào)查表,

調(diào)查表分值滿分為100分.工作人員從中隨機抽取了100份調(diào)查表將其分值作為樣本進行統(tǒng)計，作出頻率

分布直方圖如圖.

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(1)估計此次滿意度調(diào)查所得的平均分值元(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)在選取的100位學(xué)生中，男女生人數(shù)相同，規(guī)定分值在(1)中的元以上為滿意，低于元為不滿意，據(jù)統(tǒng)計

有32位男生滿意.據(jù)此判斷是否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生滿意度與性別有關(guān)”？

(3)在(2)的條件下，學(xué)校從滿意度分值低于元分的學(xué)生中抽取部分進行座談，先用分層抽樣的方式選出8

位學(xué)生，再從中隨機抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率.

附：K?一[),其中九一a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.100.050.0100.0050.001

Ko2.7063.8416.6357.87910.828

【解題思路】(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法求解即可；

(2)利用(1)的結(jié)論及給定信息得到2x2列聯(lián)表，再計算K2的觀測值，與臨界值表比對作答即可得解;

(3)求出8位業(yè)主中男女人數(shù)，利用列舉法及古典概率公式即可得解.

【解答過程】(1)根據(jù)頻率分布直方圖知，x=(45x0.012+55x0.016+65x0.020+75x0.024+85x

0.018+95x0.010)x10=70,

所以此次滿意度調(diào)查中物業(yè)所得的平均分值為70分.

(3)由(2)知滿意度分值低于70分的業(yè)主有48位，其中男士18位，女士30位,

用分層抽樣方式抽取8位業(yè)主，其中男士3位，女士5位，

記男士為a,b,c,記女士為1,2,3,4,5,

從中隨機抽取兩位為監(jiān)督員事件為：

ab,ac,al,a2,a3,a4,aS,be,bl,b2,b3,b4,b5,cl,c2,c3,c4,c5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,

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共計28個基本事件，

其中抽到男女各一人有a3,a4,a5,bl,b2,b3,b4,Z?5,cl,c2,c3,c4,c5,共15個基本事件,

所以恰好抽到男女各一人為監(jiān)督員的概率為p=啜.

Zo

16.(15分)(2024?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(久)=g(久)=+3)2-3(久+l)?e久.

(1)當(dāng)a=1.時，求/'(x)在％=1處的切線方程；

(2)若e[l,e],3X2e[-3,0],使得(Oi)<g(%2)，

①求g。)的單調(diào)區(qū)間；

②求a的取值范圍.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，得到/'(1)=1,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程；

(2)①求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)進行因式分解，解不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

②得到fOOmax<gOOmax，求出gCOmax=-126-3"(x)在(0,e")上遞減，在小一。,+8)上遞增，分<1,

e-a2e和1<e-a<e,得到函數(shù)單調(diào)性和最大值，進而得到不等式，求出答案.

【解答過程】(1)a=1時，/(“)=—等，

尸(乃=嘿，

又尸⑴=1,f(l)=-2,

所以y—(—2)=x—1,即y=x—3.

(2)

①由題可得“(%)=(%+3)2+2x(x+3)—3(%+1)(%+3)ex=3(%+l)(x4-3)(1—ex),

令g'(%)=0,可得％=—3,x=-1,x=0,

當(dāng)久C(一8,—3)U(—1,0)時，grM>0,

當(dāng)黑€(—3,—1)U(0,+8)時，“(%)<0,

所以9(%)的遞增區(qū)間為(一8,-3),(-1,0)；遞減區(qū)間為(一3,-1),(0,+8).

②由題可得f(%)max4g(%)max，由(1)得9(%)在(一1,0)上遞增，(一3,-1)上遞減，

g(-3)=-12e-3,g(0)=-3,所以g(%)max=。(-3)=-12e-3.

由題可得r(x)=曙，由/'(X)=嘿=0可得X=e-a,

所以f(x)在(0,e-a)上遞減，在(e-a,+8)上遞增.

若e-a<1,即a>0,則“X)在[l,e]單調(diào)遞增，/(%)max=/(e)=一等，

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則一^—<—12e-3,所以a>0.

e

若e-a'e,即。<一1,則f(%)在［l,e］單調(diào)遞減，/(x)max=/(I)=-a-1

所以—a—1>0>—12e-3,所以a無解.

若1Ve~aVe,即一1<aV0,則/(%)在(1工-。)上單調(diào)遞減，在伯-。￡)上單調(diào)遞增，

所以/(%)max=/(I)或/(e),則—12e-3,且一a—14一12e~3,

解得工孝<a<0.

ez

綜上所述，a的取值范圍為［失式,+8).

17.(15分)(2024?四川成都?模擬預(yù)測)在四棱錐P-4BCD中,已知AB||CD,AB1AD,BC1PA,AB=

2AD=2CD=2,PA=V6,PC=2,E是線段PB上的點.

⑴求證：PC1底面ABCD；

⑵是否存在點E使得PA與平面瓦4c所成角的余弦值為學(xué)若存在，求出ff的值；若不存在，請說明理由.

3Dr

【解題思路】(1)首先證明BC,平面P4C,可得出8CLPC,利用勾股定理的逆定理可證得PCL2C,再

結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證明PC1底面4BCD；

(2)以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)配=2加，且0W4W1,求平面E4C的法向量落利用

|cos(屁，砂|=|,即可求得4的值，即可得出結(jié)論.

【解答過程】(1)在△4DC中，AD=DC=1,AADC=90°,

所以4c=y/AD2+DC2=VTTT=V2.

在△力BC中，AC=的,AB=2,^BAC=45°,

由余弦定理有：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos45°=4+2—2x2x&x曰=2,

所以，AB2=AC2+BC2,所以N4CB=90。，

所以BC1AC,

又因為PACtAC=A,PA,4Cu平面PAC,所以，BC1平面PAC,

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因為PCU平面PAC,所以，BC1PC,

在APAC中：AC=V2,PC=2,PA=V6,貝UPA2=402+

所以，PC1AC,

因為4CnBC=C,AC.BCu平面4BCD,

所以PCl^ABCD.

(2)因為PCI平面ABCD,AB1AD,以點A為坐標(biāo)原點，

AD.AB,而的方向分別為％、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

貝IJ有4(0,0,0)、8(0,2,0)、C(l,l,0)、。(1,0,0)、P(l,l,2),

設(shè)屁=2前=2(1,-1,2)=(尢一九22),其中0<2<1,

則版=南+旗=(尢2—九22),AC(1,1,0),族=(1,1,2),

設(shè)元=O，y,z)為面E"的法向量，貝U有『'AE二"士Q一物+2M=0

取％=—A,則y=A,z=A—1,

所以，平面瓦4c的一個法向量為記=(一尢九4一1),

設(shè)P4與平面E4C所成的角為aG(O.?

V52

cosa=——,Asina=-

33

由題意可得Icos(衣，元)I=需±=|2A-2|2

-9

V6X^/A2+A2+(A—I)23

可得3萬+2a—i=o,因為owAwi,所以a=

因此，存在點E使得24與平面比4c所成角的余弦值為￡且寞=j

3BP3

18.(17分)(2023?全國?模擬預(yù)測)已知拋物線E:*=2Px(p>0)的焦點為F,E上任意一點P到尸的距離

與到點Q(2,0)的距離之和的最小值為3.

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知過點Q且互相垂直的直線口12與E分別交于點4c與點B,。，線段4C與BD的中點分別為M,N.若直線

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OM,ON的斜率分別為七,七，求心口的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析可得IPFI+IPQI22+￡=3,進而可得p=2；

(2)設(shè)直線匕的方程為x=my+2,直線%的方程為x=-\y+2,與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理整

理得心心=--rA--利用基本不等式運算求解.

蘇+薩+2

【解答過程】(1)拋物線E的準(zhǔn)線方程為x=-]

設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為d.

由拋物線的定義，得|PF|+|PQ|=d+|PQ|22+￡=3,解得p=2,

當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,F三點共線時，等號成立，

所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

(2)設(shè)AOi，yi),B(X2,y2).C(x3,y3),D(x4,y4),

由題意可知，L的斜率存在且均不為。，

設(shè)直線4的方程為x=my+2,

將其代入*=4%,得y?—4my—8=0,則有yi+y3=4m.

同理可得：設(shè)直線12的方程為％=-5丫+2,則、2+”=一￡

所以肌=爐=2皿丫、=空=_,

所以X”=myM+2=262+2,xN=--yN+2