押重慶卷第16-18題押題方向一：求陰影部分面積（扇形）3年成都真題考點命題趨勢2023年重慶A卷第16題根據矩形的性質求面積；90度的圓周角所對的弦是直徑；求其他不規則圖形的面積；從近年重慶中考來看，求陰影部分面積以填空題形式考查，難度適中；預計2024年重慶卷還將繼續扇形的面積公式進行考查，還要注意割補法的應用。2023年重慶B卷第16題根據矩形的性質求線段長；求其他不規則圖形的面積；2022年重慶A卷第15題利用菱形的性質求面積；求其他不規則圖形的面積；2022年重慶B卷第15題利用矩形的性質求角度；求扇形面積；根據特殊角三角函數值求角的度數；2021年重慶A卷第16題求扇形面積；2021年重慶B卷第16題利用菱形的性質求面積；求其他不規則圖形的面積；1．（2023·重慶·中考真題）如圖，⊙O是矩形ABCD的外接圓，若AB=4,AD=3，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）

【答案】25【分析】根據直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到BD=5，再根據圓的面積及矩形的性質即可解答．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD是⊙O的直徑，∵AB=4,AD=3，∴BD=AB∴⊙O的半徑為52∴⊙O的面積為254π，矩形的面積為∴陰影部分的面積為254故答案為254

【點睛】本題考查了矩形的性質，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質是解題的關鍵．2．（2023·重慶·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E為BC的中點，連接AE，DE，以E為圓心，EB長為半徑畫弧，分別與AE，DE交于點M，N，則圖中陰影部分的面積為

【答案】4?π【分析】利用矩形的性質求得AB=CD=2,BE=CE=2，進而可得∠BAE=∠AEB=∠DEC=∠CDE=45°，然后根據S陰影【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，E為BC的中點，∴AB=CD=2,BE=CE=12BC=2∴∠BAE=∠AEB=∠DEC=∠CDE=45°，∴S陰影故答案為：4?π．【點睛】本題考查了矩形的性質和不規則面積的計算，熟練掌握矩形的性質、明確陰影面積為兩個全等的等腰直角三角形的面積減去兩個圓心角為45°的扇形面積是解題關鍵．3．（2022·重慶·中考真題）如圖，菱形ABCD中，分別以點A，C為圓心，AD，CB長為半徑畫弧，分別交對角線AC于點E，F．若AB=2，∠BAD=60°，則圖中陰影部分的面積為．（結果不取近似值）【答案】2【分析】連接BD交AC于點G，證明△ABD是等邊三角形，可得BD＝2，然后根據菱形的性質及勾股定理求出AC，再由S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．【詳解】解：連接BD交AC于點G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，∴BD＝2，∴BG＝12∴AG=A∴AC＝2AG=23∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝12故答案為：23【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時，能夠將求不規則圖形的面積轉化為求規則圖形的面積是解題的關鍵．4．（2022·重慶·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AD于點E．則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）【答案】π【分析】先根據特殊角的銳角三角函數值，求出∠ABE，進而求出∠EBC，再根據扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠ABC=90°，∵以B為圓心，BC的長為半輕畫弧，交AD于點E，BC=2，∴BE=BC=2，在Rt△ABE中，AB=1，∴cos∴∠ABE=60°，∴∠EBC=90°?60°=30°，S陰影=30π故答案為：π3【點睛】本題考查了由特殊角的三角函數值求角度數，矩形的性質，扇形的面積的計算，綜合掌握以上知識點并熟練運用是解題的關鍵．5．（2021·重慶·中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）．【答案】4【分析】利用矩形的性質求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴S陰影故答案為：45【點睛】本題考查了矩形的性質，扇形的面積等知識，正確的識別圖形是解題的關鍵．6．（2021·重慶·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=12，BD=16，分別以點A，B，C，D為圓心，12AB的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留【答案】96-25【分析】先根據菱形的性質得出AB的長和菱形的面積，再根據扇形的面積公式求出四個扇形的面積和即可得出答案【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；∴AB=O∴菱形ABCD的面積=1∵四個扇形的半徑相等，都為12∴四個扇形的面積=360π×∴陰影部分的面積=96-25π故答案為：96-25π【點睛】本題考查的是扇形面積計算、菱形的性質，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．此類題考查了特殊四邊形形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時，能夠將求不規則圖形的面積轉化為求規則圖形的面積是解題的關鍵。1．如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，將⊙O分別沿AB、CB向內翻折．若AC=6，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）【答案】27?【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓的面積公式，正方形的性質，折疊的性質和勾股定理，根據正方形的性質得到AD=CD，∠D=90°，求得AD=CD=32【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴由勾股定理得：AC∴AD=CD=32∵將⊙O分別沿AB、CB向內翻折，∴圖中陰影部分的面積=正方形的面積?（⊙O的面積?正方形的面積）÷4×2=32故答案為：27?92．如圖，AB為半圓O的直徑，點C為半圓上的一點，OD⊥AC，垂足為點D，延長OD與半圓O交于點E．若AB=16，∠CAB=30°，則圖中陰影部分的面積為．【答案】32【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，扇形面積的計算，關鍵是由含30度角的直角三角形的性質求出OD長．連接OC，由等腰三角形的性質得到∠OAC=∠OCA=30°，即可求出∠AOC=180°?30°?30°=120°，由含30度角的直角三角形的性質求出OD=12OA=4，由勾股定理求出AD=OA2?OD2=43，由垂徑定理得到AC=2AD=83，求出△AOC的面積【詳解】解：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴∠AOC=180°=?30°?30°=120°，∵AB=16，∴OA=1∵OD⊥AC，∠OAD=30°，∴OD=1∴AD=O∵OD⊥AC，∴AC=2AD=83∴△AOC的面積=1∵扇形AOC的面積=120π×∴陰影的面積=（扇形AOC的面積?△AOC)×1故答案為：3233．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=22，以點A為圓心，AD為半徑作弧交BC于E，連接AE，則圖中陰影部分的面積為【答案】4【分析】本題考查求不規則圖形的面積，利用矩形的面積減去三角形ABE的面積減去扇形的面積，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：AE=AD=BC=22，∠B=90°由勾股定理知BE=A∴AB=BE，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠BAE=45°,∴∠DAE=45°，故陰影部分面積=AB×BC?14．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=105°，半徑OA=8，將扇形AOB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在AB上的點D處，折痕交OA于點C，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留π）【答案】8π?16【分析】連接OD，交BC于E，根據對折得出BC⊥OD，DE=OE=4，∠DBE=∠OBE，OB=BD=8，易知△DOB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠DOB=∠DBO=60°，求出∠COD=∠AOB?∠DOB=45°，求出CE=OE=4，再分別求出扇形AOD和△COD的面積即可．【詳解】解：連接OD，交BC于E，∵沿BC對折點O和D重合，OD=8，∴BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=8，∴∠BEO=90°，△DOB是等邊三角形，∴∠DOB=∠DBO=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COD=∠AOB?∠DOB=45°，∵∠OEC=90°，∴CE=OE=4，∴陰影部分的面積=S扇形AOD?S故答案為：8π?16．【點睛】本題考查了求不規則圖形的面積，扇形的面積，等邊三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識點，能把求不規則圖形的面積轉化成求規則圖形的面積是解此題的關鍵．5．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半徑OA=10，將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在AB上的點D處，折痕BC交OA于點C，則圖中陰影部分面積為．【答案】175【分析】此題考查的是扇形面積公式，在解答此題時要注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．先連接OD，由折疊的性質，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得ΔOBD是等邊三角形，ΔOCD是等腰直角三角形，故可得出OC的長，再根據【詳解】解：連接OD，∵ΔCBD由∴CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴Δ∵∠AOB=105°，∴∠COD=∠CDO=45°，∴Δ∵半徑OA=10，∴OC=O∴S故答案為：1756押題方向二：分式+不等式含參運算3年成都真題考點命題趨勢2023年重慶A卷第17題解分式方程；求一元一次不等式組的整數解；從近年重慶中考來看，分式與不等式的綜合含參運算難度較大，應前兩年考查的選擇題，相對來說難度有所增加；預計2024年重慶卷還將繼續對分式和不等式的考查，特別是計算能力的考查。還應注重對分情況討論，枚舉法的培養。2023年重慶B卷第17題根據分式方程解的情況求值；由不等式組解集的情況求參數；2022年重慶A卷第11題根據分式方程解的情況求值；由一元一次不等式組的解集求參數；2022年重慶B卷第11題根據分式方程解的情況求值；由一元一次不等式組的解集求參數；2021年重慶A卷第11題根據分式方程解的情況求值；求一元一次不等式組的整數解；由不等式組解集的情況求參數；2021年重慶B卷第11題根據分式方程解的情況求值；由不等式組解集的情況求參數；1．（2023·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組x+32≤42x?a≥2，至少有2個整數解，且關于y的分式方程a?1【答案】4【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a≤6，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得y=a?12，由分式方程有正整數解，確定出【詳解】解：x解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x≥1+∴不等式的解集為1+∵不等式組至少有2個整數解，∴1+解得：a≤6；∵關于y的分式方程a?1y?2∴a?1?4=2解得：y=a?1即a?12≥0且解得：a≥1且a≠5∴a的取值范圍是1≤a≤6，且a≠5∴a可以取：1，3，∴1+3=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．2．（2023·重慶·中考真題）若關于x的不等式組x+23>x2+14x+a<x?1的解集為x<?2，且關于y的分式方程【答案】13【分析】先求出一元一次不等式組中兩個不等式的解集，從而可得a≤5，再解分式方程可得a>?2且a≠1，從而可得?2<a≤5且a≠1，然后將所有滿足條件的整數a的值相加即可得．【詳解】解：x+23解不等式①得：x<?2，解不等式②得：x<?a+1∵關于x的不等式組x+23>x∴?a+1解得a≤5，方程a+2y?1+y+2解得y=a+2∵關于y的分式方程a+2y?1∴a+23>0解得a>?2且a≠1，∴?2<a≤5且a≠1，則所有滿足條件的整數a的值之和為?1+0+2+3+4+5=13，故答案為：13．【點睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．3．（2022·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組x?1≥4x?135x?1＜a的解集為x≤?2，且關于y的分式方程y?1A．－26 B．－24 C．－15 D．－13【答案】D【分析】根據不等式組的解集，確定a＞-11，根據分式方程的負整數解，確定a＜1，根據分式方程的增根，確定a≠-2，計算即可．【詳解】∵x?1≥4x?1解①得解集為x≤?2，解②得解集為x＜∵不等式組x?1≥4x?135x?1∴a+15解得a＞-11，∵y?1y+1=ay+1?2的解是y=a?1∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，故滿足條件的整數a的值之和是-8-5=-13，故選D．【點睛】本題考查了不等式組的解集，分式方程的特殊解，增根，熟練掌握不等式組的解法，靈活求分式方程的解，確定特殊解，注意增根是解題的關鍵．4．（2022·重慶·中考真題）關于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數，且關于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3A．13 B．15 C．18 D．20【答案】A【分析】先通過分式方程求出a的一個取值范圍，再通過不等式組的解集求出a的另一個取值范圍，兩個范圍結合起來就得到a的有限個整數解．【詳解】由分式方程的解為整數可得：3x?a?x?1=x?3解得：x=a?2又題意得：a?2>0且a?2≠3∴a>2且a≠5，由y+9≤2y+2得：由2y?a3>1∵解集為y≥5∴3+a解得：a<7綜上可知a的整數解有：3，4，6它們的和為：13故選：A．【點睛】本題考查含參數的分式方程和含參數的不等數組，掌握由解集倒推參數范圍是本題關鍵．5．（2021·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組{3x?2≥2(x+2)a?2x<?5的解集為x≥6，且關于y的分式方程y+2ay?1+3y?8A．5 B．8 C．12 D．15【答案】B【分析】先計算不等式組的解集，根據“同大取大”原則，得到5+a2<6解得a<7，再解分式方程得到y=a+52，根據分式方程的解是正整數，得到a>?5【詳解】解：{解不等式①得，x≥6，解不等式②得，x>∵不等式組的解集為：x≥6∴∴a<7解分式方程y+2ay?1y+2a∴y+2a?(3y?8)=2(y?1)整理得y=∵y?1≠0,則a+52∴a≠?3,∵分式方程的解是正整數，∴∴a>?5，且a+5是2的倍數，∴?5<a<7，且a+5是2的倍數，∴整數a的值為-1,1,3,5,∴?1+1+3+5=8故選：B．【點睛】本題考查解含參數的一元一次不等式、解分式方程等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．6．（2021·重慶·中考真題）關于x的分式方程ax?3x?2+1=3x?12?x的解為正數，且使關于y的一元一次不等式組3y?22A．?5 B．?4 C．?3 D．?2【答案】B【分析】先將分式方程化為整式方程，得到它的解為x=6a+4,由它的解為正數，同時結合該分式方程有解即分母不為0，得到a+4>0且a+4≠3，再由該一元一次不等式組有解，又可以得到a?2<0，綜合以上結論即可求出【詳解】解：ax?3x?2兩邊同時乘以（x?2)，ax?3+x?2=1?3x,a+4x=6由于該分式方程的解為正數，∴x=6a+4，其中∴a>?4，且a≠?1；∵關于y的元一次不等式組3y?22由①得：y≤0;由②得：y>a?2;∴a?2<0，∴a<2綜上可得：?4<a<2,且a≠?1;∴滿足條件的所有整數a為：?3，?2,0,1；∴它們的和為?4；故選B．【點睛】本題涉及到含字母參數的分式方程和含字母參數的一元一次不等式組等內容，考查了解分式方程和解一元一次不等式組等相關知識．本題考查了不等式組的解集，分式方程的特殊解，增根，熟練掌握不等式組的解法，靈活求分式方程的解，確定特殊解，注意增根是解題的關鍵，要求學生能根據題干中的條件得到字母參數a的限制不等式，求出a的取值范圍進而求解，本題對學生的分析能力有一定要求，屬于較難的計算問題1.若關于x的一元一次不等式組x2≥x?13x+a<1有解，且關于y的分式方程1【答案】?1【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a<3，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得y=a+32，由分式方程有正數解，確定出【詳解】解：x2解不等式①得：x≥?2解不等式②得：x<1?a，∵關于x的一元一次不等式組x2∴1?a>?2，解得：a<3，分式方程1y?2?a?y解得：y=a+3∵y是正數，且y≠2，∴a>?3且a≠1，∴滿足條件的整數a的和為?2?1+0+2=?1，故答案為：?1．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．2．如果關于y的方程a?1?yy?2=3有非負整數解，且關于x的不等式組x?a2≥32【答案】?14【分析】本題考查了不等式組的特殊解，分式方程的解法等知識，熟練使用運算法則運算是解題的關鍵．利用運算的法則進行運算，找出a的取值范圍后，再整理出a的值相加即可．【詳解】解：∵a?1?y∴解得：y=a+5又∵y為非負整數，且y?2≠0，∴a+52≥0且∴a≥?5且a≠?1，∵x?a2∴整理得：x≥a+3x≥2∵不等式組的解集為x≥2，∴a+3≤2，∴a≤?1，∴?5≤a≤?1，且a≠?1，∴a的值可為：?5，?4，?3，?2，∴?5?4?3?2=?14，故答案為：?14．3．若關于x的分式方程2x?3+2=1?ax3?x有整數解，且關于y的不等式組y2【答案】?15【分析】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解集等，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程和不等式組的方法．本題中先對分式方程去分母，解方程，用a的代數式表示方程的解，然后開始討論，注意要檢驗，然后再解一元一次不等式組，求出a的取值范圍，繼而確定整數a有哪些．【詳解】解：原分式方程變形得2x?3∴2x?4=ax?1，即x=3∵x為整數，x?3≠0∴a＝1(舍去)、3、5、?1；解y2?1≥y?23得y≥1，解依題意有a+32≥1，即故符合條件的所有整數a的值之積為3×5×(?1)=?15．故答案為：?15．5．若關于x的不等式組x?a2>0x?43+4<x的解集為x>4，且關于x的分式方程1?ax【答案】4【分析】本題考查解一元一次不等式組，解分式方程．根據題意先將一元一次不等式組解開，利用x>4求出a≤4，在解分式方程得出x≠2，x=4【詳解】解：∵x?a2>0x?4∵x的不等式組x?a2>0x?4∴a≤4，∵1?ax2?x等式兩邊同時乘以(2?x)得：1?ax?3=2?x，整理得：x=4∵關于x的分式方程1?ax2?x∴2?x≠0，即x≠2，又∵a≤4，∴當a=3時，x=4當a=2時，x=4當a=0時，x=4當a=?1時，x=4當a=?3時，x=4∴符合條件的所有整數a有：?3,0,2,3，故答案為：4．5．若關于x的一元一次不等式組x?42>4x?a5x≥3x?1有且只有2個整數解，且關于y的分式方程ay?3【答案】8【分析】此題考查了含有字母參數的不等式組與分式方程綜合問題的解決能力，關鍵是能對以上問題準確求解，并根據題意確定字母參數的取值．先解不等式組并求得符合題意的a的取值范圍，再解分式方程并求得符合題意的a的取值范圍，然后確定a的所有取值，最后計算出此題結果．【詳解】x?4解得：?3∵不等式組有且只有2個整數解，∴0<2a?4解得2<a≤5.5解分式方程ay?3?1∵y的值解為正數，∵2a?5>0，且2a?5≠3，∵a>2.5且a≠4，∴滿足條件的整數a的值有3和5，∴3+5=8故答案為：8押題方向三：閱讀材料3年成都真題考點命題趨勢2023年重慶A卷第18題數字問題(一元一次方程的應用)；二元一次方程的解；從近年重慶中考來看，閱讀材料以填空題形式考查，難度很大，前幾年考查的是解答題；預計2024年重慶卷還將繼續考查，但改為填空題后分值和難度已經有所下降，且因為是雙空題，第一空有2分的送分，第一空一定不要丟分。2023年重慶B卷第18題有理數四則混合運算；整式加減的應用；2023年重慶A卷第23題含乘方的有理數混合運算；整式的混合運算；2023年重慶B卷第23題新定義下的實數運算；用代數式表示式；用一元一次不等式解決實際問題；2023年重慶A卷第24題新定義下的實數運算；因式分解的應用；2023年重慶B卷第24題新定義下的實數運算；二元一次方程的解；1．（2023·重慶·中考真題）如果一個四位自然數abcd的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足ab?bc=cd，那么稱這個四位數為“遞減數”．例如：四位數4129，∵41?12=29，∴4129是“遞減數”；又如：四位數5324，∵53?32=21≠24，∴5324不是“遞減數”．若一個“遞減數”為a312，則這個數為；若一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數abc【答案】43128165【分析】根據遞減數的定義進行求解即可．【詳解】解：∵a312∴10a+3?31=12，∴a=4，∴這個數為4312；故答案為：4312∵一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數abc與后三個數字組成的三位數bcd的和能被9整除，∴10a+b?10b?c=10c+d，∵abc+∴abc+∵110a+101b=99a+b+11a+2b，能被∴11a+2b能被9整除，∵各數位上的數字互不相等且均不為0，∴a=1b=8∵最大的遞減數，∴a=8,b=1，∴10×8?9×1?c=10c+d，即：11c+d=71，∴c最大取6，此時d=5，∴這個最大的遞減數為8165．故答案為：8165．【點睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應用．理解并掌握遞減數的定義，是解題的關鍵．2．（2023·重慶·中考真題）對于一個四位自然數M，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱M為“天真數”．如：四位數7311，∵7?1=6，3?1=2，∴7311是“天真數”；四位數8421，∵8?1≠6，∴8421不是“天真數”，則最小的“天真數”為；一個“天真數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記PM=3a+b+c+d，QM=a?5，若【答案】62009313【分析】根據題中“天真數”可求得最小的“天真數”；先根據題中新定義得到c+d=a+b?8，進而PMQM=4a+b?8a?5，若【詳解】解：根據題意，只需千位數字和百位數字盡可能的小，所以最小的“天真數”為6200；根據題意，a?d=6，b?c=2，6≤a≤9，2≤b≤9，則c+d=a+b∴PM∴PM若M最大，只需千位數字a取最大，即a=9，∴PM∵PM∴b=3，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．【點睛】本題是一道新定義題，涉及有理數的運算、整式的加減、數的整除等知識，理解新定義是解答的關鍵．3．（2022·重慶·中考真題）若一個四位數M的個位數字與十位數字的平方和恰好是M去掉個位與十位數字后得到的兩位數，則這個四位數M為“勾股和數”．例如：M=2543，∵32又如：M=4325，∵52+2(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數”，并說明理由；(2)一個“勾股和數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記GM=c+d9，PM=10【答案】(1)2022不是“勾股和數”，5055是“勾股和數”；理由見解析(2)8109或8190或4536或4563．【分析】（1）根據“勾股和數”的定義進行驗證即可；（2）由“勾股和數”的定義可得10a+b=c2+d2，根據GM，PM均是整數可得c+d=9，c【詳解】（1）解：2022不是“勾股和數”，5055是“勾股和數”；理由：∵22+2∴1022不是“勾股和數”；∵52∴5055是“勾股和數”；（2）∵M為“勾股和數”，∴10a+b=c∴0<c∵GM∴c+d=9，∵PM∴c2∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此時M=8109或8190；②c=3，d=6或c=6，d=3，此時M=4536或4563，綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．【點睛】本題以新定義為背景考查了整式混合運算的應用以及學生應用知識的能力，解題關鍵是要理解新定義，能根據條件找出合適的“勾股和數”．4．（2022·重慶·中考真題）對于一個各數位上的數字均不為0的三位自然數N，若N能被它的各數位上的數字之和m整除，則稱N是m的“和倍數”．例如：∵247÷(2+4+7)=247÷13=19，∴247是13的“和倍數”．又如：∵214÷(2+1+4)=214÷7=30??4，∴214不是“和倍數”．(1)判斷357，441是否是“和倍數”？說明理由；(2)三位數A是12的“和倍數”，a，b，c分別是數A其中一個數位上的數字，且a>b>c．在a，b，c中任選兩個組成兩位數，其中最大的兩位數記為F(A)，最小的兩位數記為G(A)，若F(A)+G(A)16為整數，求出滿足條件的所有數A【答案】(1)357不是15“和倍數”，441是9的“和倍數”；理由見解析(2)數A可能為732或372或516或156【分析】（1）根據題目中給出的“和倍數”定義進行判斷即可；（2）先根據三位數A是12的“和倍數”得出a+b+c=12，根據a>b>c，FA是最大的兩位數，GA是最小的兩位數，得出FA+GA=10a+2b+10c，F(A)+G(A)16=k（k為整數），結合a+b+c=12得出【詳解】（1）解：∵357÷3+5+7∴357不是15“和倍數”；∵441÷4+4+1∴441是9的“和倍數”．（2）∵三位數A是12的“和倍數”，∴a+b+c=12，∵a>b>c，∴在a，b，c中任選兩個組成兩位數，其中最大的兩位數FA=10a+b，最小的兩位數∴FA∵F(A)+G(A)16設F(A)+G(A)16=k（則10a+2b+10c16整理得：5a+5c+b=8k，根據a+b+c=12得：a+c=12?b，∵a>b>c，∴12?b＞b，解得∵“和倍數”是各數位上的數字均不為0的三位自然數，∴a>b>c＞∴b＞∴1＜把a+c=12?b代入5a+5c+b=8k得：512?b整理得：b=15?2k，∵1＜b＜∴b=3或b=5，當b=3時，a+c=12?3=9，∵a>b>c＞∴a＞3，∴a=7，b=3，c=2，或a=8，b=3，c=1，要使三位數A是12的“和倍數”，數A必須是一個偶數，當a=7，b=3，c=2時，組成的三位數為732或372，∵732÷12=61，∴732是12的“和倍數”，∵372÷12=31，∴372是12的“和倍數”；當a=8，b=3，c=1時，組成的三位數為318或138，∵318÷12=26??????6，∴318不是12的“和倍數”，∵138÷12=11??????6，∴138不是12的“和倍數”；當b=5時，a+c=12?5=7，∵a>b>c＞∴5＜∴a=6，b=5，c=1，組成的三位數為516或156，∵516÷12=43，∴516是12的“和倍數”，∵156÷12=13，∴156是12的“和倍數”；綜上分析可知，數A可能為732或372或516或156．【點睛】本題主要考查了新定義類問題，數的整除性，列代數式，利用數位上的數字特征和數據的整除性，是解題的關鍵，分類討論是解答本題的重要方法，本題有一定的難度．5．（2021·重慶·中考真題）如果一個自然數M的個位數字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數，A與B的十位數字相同，個位數字之和為10，則稱數M為“合和數”，并把數M分解成M=A×B的過程，稱為“合分解”．例如∵609=21×29，21和29的十位數字相同，個位數字之和為10，∴609是“合和數”．又如∵234=18×13，18和13的十位數相同，但個位數字之和不等于10，∴234不是“合和數”．（1）判斷168，621是否是“合和數”？并說明理由；（2）把一個四位“合和數”M進行“合分解”，即M=A×B．A的各個數位數字之和與B的各個數位數字之和的和記為P(M)；A的各個數位數字之和與B的各個數位數字之和的差的絕對值記為Q(M)．令G(M)=P(M)Q(M)，當G(M)能被4整除時，求出所有滿足條件的【答案】（1）168不是“合和數”，621是“合和數，理由見解析；（2）M有1224，1221，5624，5616．【分析】（1）首先根據題目內容，理解“合和數”的定義：如果一個自然數M的個位數字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數，A與B的十位數字相同，個位數字之和為10，則稱數M為“合和數”，再判斷168，621是否是“合和數”；（2）首先根據題目內容，理解“合分解”的定義．引進未知數來表示A個位及十位上的數，同時也可以用來表示B．然后整理出：G(M)=P(M)Q(M)，根據能被4整除時，通過分類討論，求出所有滿足條件的【詳解】解：（1）168不是“合和數”，621是“合和數”．∵168=12×14，2+4≠10，∴168不是“合和數”，∵621=23×27，十位數字相同，且個位數字3+7=10，∴621是“合和數”．（2）設A的十位數字為m，個位數字為n（m，n為自然數，且3≤m≤9，1≤n≤9），則A=10m+n,B=10m+10?n．∴P(M)=m+n+m+10?n=2m+10,Q(M)=|(m+n)?(m+10?n)|=|2n?10|．∴G(M)=P(M)Q(M)=∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整數，∴m+5=8或m+5=12，①當m+5=8時，{m+5=8|n?5|=1或∴M=36×34=1224或M=37×33=②當m+5=12時，{m+5=12|n?5|=1或∴M=76×74=5623或M=78×72=5616．綜上，滿足條件的M有1224，1221，5624，5616．【點睛】本題考查了新定義問題，解題的關鍵是：首先要理解題中給出的新定義和會操作題目中所涉及的過程，結合所學知識去解決問題，充分考察同學們自主學習和運用新知識的能力．6．（2021·重慶·中考真題）對于任意一個四位數m，若千位上的數字與個位上的數字之和是百位上的數字與十位上的數字之和的2倍，則稱這個四位數m為“共生數”例如：m=3507，因為3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生數”：m=4135，因為4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生數”；（1）判斷5313，6437是否為“共生數”？并說明理由；（2）對于“共生數”n，當十位上的數字是千位上的數字的2倍，百位上的數字與個位上的數字之和能被9整除時，記F(n)=n3．求滿足F(n)各數位上的數字之和是偶數的所有【答案】（1）5313是“共生數”，6437不是“共生數”．（2）n=2148或n=3069.【分析】（1）根據“共生數”的定義逐一判斷兩個數即可得到答案；（2）設“共生數”n的千位上的數字為a,則十位上的數字為2a,設百位上的數字為b,個位上的數字為c,可得：1≤a＜5,0≤b≤9,0≤c≤9,且a,b,c為整數，再由“共生數”的定義可得：c=3a+2b,而由題意可得：b+c=9或b+c=18,再結合方程的正整數解分類討論可得答案．【詳解】解：（1）∵5+∴5313是“共生數”，∵6+∴6437不是“共生數”．（2）設“共生數”n的千位上的數字為a,則十位上的數字為2a,設百位上的數字為b,個位上的數字為c,∴1≤a＜5,0≤b≤9,0≤c≤9,且a,b,c為整數，所以：n=1000a+100b+20a+c=1020a+100b+c,由“共生數”的定義可得：a+c=2(2a+b),∴c=3a+2b,∴n=1023a+102b,∴F(n)=n∵百位上的數字與個位上的數字之和能被9整除，∴b+c=0或b+c=9或b+c=18,當b+c=0,則b=c=0,則a=0,不合題意，舍去，當b+c=9時，則3a+3b=9,∴a+b=3,當a=1時，b=2,c=7,此時：n=1227,F(n)=12273=409當a=2時，b=1,c=8,此時：n=2148,F(n)=21483=716,當a=3時，b=0,c=9,此時：n=3069,F(n)=30693=1023,當b+c=18時，則b=c=9,而3a+3b=18,則a=?3不合題意，舍去，綜上：滿足F(n)各數位上的數字之和是偶數的n=2148或n=3069,【點睛】本題考查的是新定義情境下的實數的運算，二元一次方程的正整數解，分類討論的數學思想的運用，準確理解題意列出準確的代數式與方程是解題的關鍵．此類題主要考查了新定義類問題，數的整除性，列代數式，利用數位上的數字特征和數據的整除性，是解題的關鍵，分類討論是解答本題的重要方法，本題有一定的難度。1．如果一個四位數M滿足各個數位數字都不為0，且千位數字與百位數字之和為9，將M的千位數字與百位數字組成的兩位數記為x，十位數字與個位數字組成的兩位數記為y，令F(M)=x+2y9，若F（M）為整數，則稱數M是“長久數”．例如：M=2754，∴2+7=9，x=27，y=54，F(M)=27+2×549=15為整數，∴M=2754是“長久數”；又如：M=6339，∴6+3=9，x=63，y=39，F(M)=63+2×399=473不為整數，∴M=6339不是“長久數”．若p為最大的“長久數”，則F(p)=；把一個“長久數”M的千位數字記為a，十位數字記為b，個位數字記為c，令【答案】311836【分析】本題考查了因式分解的應用，新定義．（1）根據“長久數”的定義計算即可；（2）根據M是“長久數”，可知M的百位數字為9?a，根據F(M)是正整數，可得b+c=9，根據G(M)為整數，可知182b+3a為整數，可得2b+3a可取18或9或6，即可確定滿足條件的a、b、c，進一步即可確定M【詳解】解：（1）∵p為最大的“長久數”，千位數字與百位數字之和為9，∴x=81，∴F(p)=81+2y∴2y是9的倍數，且y為最大的2位數，∴y=99，∴F(p)=9+2×99故答案為：31；（2）∵M是“長久數”，∴M的百位數字為9?a，∴x=10a+9?a=9a+9，y=10b+c，F(M)=9a+9+2(10b+c)∴b+c是9的倍數，∵b和c是不超過9的正整數，∴b+c=9，∴c=9?b，∴GM當G(M)為整數時，182b+3a∵a，b均是不超過8的正整數，∴2b+3a可取18或9或6，滿足條件的a，b的取值有：a=2，b=6，此時c=3，M=2763；a=4，b=3，此時c=6，M=4536；a=1，b=3，此時c=6，M=1836；綜上所述，滿足條件的M的值有：2763，4536，1836．故答案為：1836．2．如果一個三位自然數各個數位上的數字均不為0，且百位數字等于十位數字與個位數字的和，則稱這個數為“百合數”．如：853，∵8=5+3，∴853是“百合數”．又如：432，∵4≠3+2，∴432不是“百合數”．已知M是一個“百合數”，在M的末位數字后添加數字1得到一個四位數A，在M的首位數字前添加M的十位數字得到一個四位數B，且A?B能被11整除．則“百合數”M的最小值是；“百合數”M所有的值的和為．【答案】4312963【分析】本題考查數的整除和分類討論的思想，關鍵是理解題意，讀懂題意．設百合數M為a+bab，A=a+bab1，B=aa+bab，A?B=82×11b+7b+a?11a+1,解得a=3,b=1，【詳解】解：設百合數M為a+bab，A=a+bab1A?B=1000a+1000b+100a+10b+1?1000a?100a?100b?10a?b=909b?10a+1=82×11b+7b+a?11a+1，∵A?B能被11整除，∴7b+a+1能被11整除，解得a=3,b=1，M=431；a=7,b=2，M=972；故“百合數”M的最小值是431；“百合數”M所有的值的和為=431+972+844+716=2963．故答案為：431，2963．3．如果一個三位自然數的百位數字與1的和等于十位數字與個位數字的和，則稱這個數為“差一數”．例如：726，∵7+1=2+6，726是“差一數”．又如：632，∵6+1≠3+2，∴632不是“差一數”，則最小的“差一數”是：若一個“差一數”P為abc，且P可以被5整除，又GP=2a+2b+142b+c，且GP【答案】102560【分析】本題考查了新定義下的實數運算，①根據“差一數”的定義即可求出最小的“差一數”，②由題意得出c=0，再根據P可以被5整除，GP=2a+2b+142b+c，且【詳解】解：①設abc為最小的“差一數”，則a=1，1+1=0+c，∴c=2，∴最小的“差一數”是102；②∵“差一數”P為abc，P可以被5整除，∴c=0或c=5，在GP=2a+2b+142b+c，又∵2b+c≠1，GP∴c=0，根據“差一數”的定義可知，a+1=b+0，∴b=a+1，當a=8時，b=9，“差一數”為890，GP當a=7時，b=8，“差一數”為780，GP當a=6時，b=7，“差一數”為670，GP當a=5時，b=6，“差一數”為560，GP∴“差一數”P的最大值為560．4．一個四位正整數abcd若滿足各個數位上的數字均不為0，且它的前兩位數字組成的兩位數ab與它的后兩位數組成的兩位數cd的乘積能被35整除，則稱這個四位正整數為“三五數”．例如：四位數1225，∵12×25=300，300不能被35整除．∴1225不是“三五數”；又如：四位數1425，∵14×25=350，350能被35整除．∴1425是“三五數”．若m是最小的“三五數”，則m=；若四位正整數abcd是“三五數”，且滿足a+b=c+d，則滿足條件的最大的“三五數”與最小的“三五數”之和為．【答案】113510697【分析】本題主要考查了新定義下的實數運算，設m=efg?，根據35=5×7得到當ef、g?中都不等于35時，那么ef能被7整除的時候，g?一定能被5整除或ef能被5整除的時候，g?一定能被7整除，兩位數中能