2023-2024學年云南省昆明市嵩明一中高一數學第二學期期末聯考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若集合A=x∈Nx-1≤1A．3 B．4 C．7 D．82．某種彩票中獎的概率為，這是指A．買10000張彩票一定能中獎B．買10000張彩票只能中獎1次C．若買9999張彩票未中獎，則第10000張必中獎D．買一張彩票中獎的可能性是3．已知向量，，若向量與的夾角為，則實數（）A． B． C． D．4．從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．5．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．若為圓的弦的中點，則直線的方程是（）A． B．C． D．7．將函數的圖象上各點沿軸向右平移個單位長度，所得函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．8．角的終邊經過點且，則的值為()A．-3 B．3 C．±3 D．59．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B． C． D．10．如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在點測得公路北側山頂的仰角為30°，汽車行駛后到達點測得山頂在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數那么的值為．12．已知直線和，若，則a等于________.13．在△中，三個內角、、的對邊分別為、、，若，，，則________14．已知函數，則函數的最小值是___．15．設，，則______．16．不等式的解集為_________________；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數.（1）已知圖象的相鄰兩條對稱軸的距離為，求正數的值；（2）已知函數在區間上是增函數，求正數的最大值.18．某校為了了解學生每天平均課外閱讀的時間（單位：分鐘)，從本校隨機抽取了100名學生進行調查，根據收集的數據，得到學生每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時間不超過30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據頻率分布直方圖，估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表).19．在平面直角坐標系中，直線截以坐標原點為圓心的圓所得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于點，，當時，求直線的方程；（3）設，是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點為，若直線，分別交軸于點和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.20．已知非零數列滿足，.（1）求證：數列是等比數列；（2）若關于的不等式有解，求整數的最小值；（3）在數列中，是否存在首項、第項、第項()，使得這三項依次構成等差數列？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由.21．已知函數f（x）＝asin（x）（a＞0）在同一半周期內的圖象過點O，P，Q，其中O為坐標原點，P為函數f（x）的最高點，Q為函數f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點，△OPQ為等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉角α（0＜α），得到△OP′Q′，若點P′恰好落在曲線y（x＞0）上（如圖所示），試判斷點Q′是否也落在曲線y（x＞0），并說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先求出A∩B的交集，再依據求真子集個數公式求出，也可列舉求出。【詳解】A=x∈Nx-1≤1A∩B=0,1，所以A∩B的真子集的個數為2【點睛】有限集合a1,a2,?2、D【解析】

彩票中獎的概率為，只是指中獎的可能性為【詳解】彩票中獎的概率為，只是指中獎的可能性為，不是買10000張彩票一定能中獎，概率是指試驗次數越來越大時，頻率越接近概率．所以選D.【點睛】概率是反映事件發生機會的大小的概念，只是表示發生的機會的大小，是否中獎是隨機事件．3、B【解析】

根據坐標運算可求得與，從而得到與；利用向量夾角計算公式可構造方程求得結果.【詳解】由題意得：，，，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用向量數量積、模長和夾角求解參數值的問題，關鍵是能夠通過坐標運算表示出向量和模長，進而利用向量夾角公式構造方程.4、C【解析】分析：用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動的事件數，從而可求甲被選中的概率.詳解：從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選C.點睛：本題考查用列舉法求基本事件的概率，解題的關鍵是確定基本事件，屬于基礎題.5、D【解析】

根據正弦定理得到，計算得到答案.【詳解】，則，即.故或，即.故選：.【點睛】本題考查了根據正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學生的應用能力.6、D【解析】

圓的圓心為O，求出圓心坐標，利用垂徑定理，可以得到，求出直線的斜率，利用兩直線垂直斜率關系可以求出直線的斜率，利用點斜式寫出直線方程，最后化為一般式方程.【詳解】設圓的圓心為O，坐標為（1，0），根據圓的垂徑定理可知：，因為，所以，因此直線的方程為，故本題選D.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、兩直線垂直斜率的關系，考查了斜率公式.7、A【解析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據正弦函數對稱中心，求出正確選項.【詳解】向右平移的單位長度，得到，由解得，當時，對稱中心為，故選A.【點睛】本小題主要考查三角函數圖象變換，考查三角函數對稱中心的求法，屬于基礎題.8、B【解析】

根據三角函數的定義建立方程關系即可．【詳解】因為角的終邊經過點且，所以則解得【點睛】本題主要考查三角函數的定義的應用，應注意求出的b為正值．9、B【解析】

先由角的終邊過點，求出，再由二倍角公式，即可得出結果.【詳解】因為角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經過點，所以，因此.故選B【點睛】本題主要考查三角函數的定義，以及二倍角公式，熟記三角函數的定義與二倍角公式即可，屬于常考題型.10、D【解析】

通過題意可知：，設山的高度，分別在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【詳解】由題意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本題選D.【點睛】本題考查了余弦定理的應用，弄清題目中各個角的含義是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：因為函數所以==．考點：本題主要考查分段函數的概念，計算三角函數值．點評：基礎題，理解分段函數的概念，代入計算．12、【解析】

根據兩直線互相垂直的性質可得，從而可求出的值.【詳解】直線和垂直，.解得.故答案為：【點睛】本題考查了直線的一般式，根據兩直線的位置關系求參數的值，熟記兩直線垂直系數滿足：是關鍵，屬于基礎題.13、【解析】

利用正弦定理求解角,再利用面積公式求解即可.【詳解】由,因為,故,.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了解三角形的運用,根據題中所給的邊角關系選擇正弦定理與面積公式等.屬于基礎題型.14、5【解析】因為，所以，函數，當且僅當，即時等號成立．點睛：本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．在用基本不等式時，注意＂一正二定三相等＂這三個條件，關鍵是找定值，在本題中，將拆成，湊成定值，再用基本不等式求出最小值．15、【解析】

由，根據兩角差的正切公式可解得．【詳解】，故答案為【點睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應用，屬于基礎知識的考查．16、【解析】

根據絕對值定義去掉絕對值符號后再解不等式．【詳解】時，原不等式可化為，，∴；時，原不等式可化為，，∴．綜上原不等式的解為．故答案為．【點睛】本題考查解絕對值不等式，解絕對值不等式的常用方法是根據絕對值定義去掉絕對值符號，然后求解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）.【解析】

（1）由二倍角公式可化函數為，結合正弦函數的性質可得；（2）先求得的增區間，其中，此區間應包含，這樣可得之間的不等關系，利用＞0，得的范圍，從而得，最終可得的最大值．【詳解】解法1：（1）因為圖象的相鄰兩條對稱軸的距離為，所以的最小正周期為，所以正數.（2）因為，所以由得單調遞增區間為，其中.由題設，于是，得因為，所以，，因為，所以，所以，正數的最大值為.解法2：（1）同解法1.（2）當時，因為在單調遞增，因為，所以于是，解得，故正數的最大值為.【點睛】本題考查二倍角公式，考查三角函數的性質．解題關鍵是化函數為一個角的一個三角函數形式，即形式，然后結合正弦函數的性質求解．18、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【解析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值．【詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為，則解得：.該校學生每天課外閱讀時間的平均數估計值為：.答：該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【點睛】本題考查頻率、中位數、平均數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．19、（1）；（2）；（3）見解析【解析】

（1）利用點到直線距離公式，可以求出弦心距，根據垂徑定理結合勾股定理，可以求出圓的半徑，進而可以求出圓的方程；（2）設出直線的截距式方程，利用圓的切線性質，得到一個方程，結合已知，又得到一個方程，兩個方程聯立，解方程組，即可求出直線直線的方程；（3）設，，則，，，分別求出直線與軸交點坐標、直線與軸交點坐標，求出的表達式，通過計算可得.【詳解】（1）因為點到直線的距離為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.（2）設直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，①.②由①②解得，此時直線的方程為.（3）設，，則，，，直線與軸交點坐標為，，直線與軸交點坐標為，，，為定值2.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、圓的切線性質、勾股定理，考查了求直線方程，考查了數學運算能力.20、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.【解析】

（1）由條件可得，即，再由等比數列的定義即可得證；

（2）由等比數列的通項公式求得，，再由數列的單調性的判斷，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；

（3）假設存在首項、第項、第項()，使得這三項依次構成等差數列，由等差數列的中項的性質和恒等式的性質，可得，的方程，解方程可得所求值.【詳解】解：（1）證明：由，

得，即，

所以數列是首項為2，公比為2的等比數列；

（2）由（1）可得，，則

故，

設，

則，

所以單調遞增，

則，于是，即，

故整數的最小值為；

（3）由上面得，，

設，

要使得成等差數列，即，

即，

得，

，

，

故為偶數，為奇數，

或.【點睛】本題考查等比數列的定義和通項公式的運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用函數的單調性求得最值，考查存在性問題的解法，注意運用恒等式的性質，是一道難度較大的題目.21、（1）2；（2）見解析.【解析】

（1）由已知利用周期公式可求最小正周期T＝8，由題意可求Q坐標為（1，0）．P坐標為（2，a），結合△OPQ為等腰直角三角形，即可得解a的值．（2）由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，可求點P′，Q′的坐標，由點P′在曲線y（x＞0）上，利用倍角公式，誘導公式可求cos2，又結合0＜α，可求sin2α的值，由于1cosα?1sinα＝8sin2α＝23，即可證明點Q′不落在曲線y（x＞0）上．【詳解】（Ⅰ）因為函數f（x）＝asin（x）（a＞0）的最小正周期T8，所以函數f（x）的半周期為1，所以