2022-2023學年廣東省深圳市福田區福景外國語學校八年級（下）期

中考數學試卷

一、選擇題（共10小題）

1.垃圾分類人人有責.下列垃圾分類標識是中心對稱圖形的是（

△X

2.若則下列式子錯誤的是（

A.x-3>y-3B.-3x>-3yC.x+3>y+3D.a

33

3.下列運算結果正確的是（）

A.〃2+〃4=〃6B.(〃+Z?)2=a1+b1

C.-a6-7-a2=-D.(-2a2b)3=-8a6b3

X

若分式一一有意義，則的取值范圍是（

4.x)

3—x

A.x<3B.x<3c.xv3且xwOD.xw3

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=120°，BC=6cm,A5的垂直平分線交5c于點交A5于點

E,AC的垂直平分線交5。于點N,交AC于點尸，則MN的長為（

C.2cmD.1cm

f3x+l>0

6.觀察下列圖象，可以得出不等式組《45X+1〉。的解集是（）

11

--<x<0C.0<x<2D.--<x<2

333

7.一次數學課上，老師出了下面一道因式分解的題目：/-1，請問正確的結果為（

A.(x2-l)(x2+1)B,(x2+l)(x2-l)

C.(x+l)(x-l)(x2+l)D.(x-l)(x+l)3

3x

8.若把分式一中，x、y都擴大到原來3倍，則分式的值()

x+y

A.不變B.擴大3倍C.擴大9倍D,不確定

9.“五一”前夕，某校社團進行愛心義賣活動，先用800元購進第一批康乃馨，包裝后售完，接著又用

400元購進第二批康乃馨，已知第二批所購數量是第一批所購數量的工，且康乃馨的單價比第一批的單價

3

多1元，設第一批康乃馨的單價是x元，則下列方程正確的是（）

,8004008004001800400

A.-----+1-------B.——二----C.-X-------------D.800x=3X400(x+1)

xxxx+13xx+1

10.如圖，在.A5C中，NACB=90。，AC=BC=4,。為BC的中點，DEJ.AB,垂足為E過點B

作陟//AC交。E的延長線于點R連接CRAE現有如下結論:

①AD平分/C4B；②BF=2；?AD±CF；④AF=2小;⑤NCAF=NCFB.其中正確的結

論有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

二、填空題（共5小題）

11.分解因式：2--2/=.

12.若一個等腰三角形頂角等于70°,則它的底角等于_____度，

13.關于尤的分式方程上;+三8J=2±無解，則，"=.

x-22x-xx

14.如圖，P是等邊AABC內一點，PA=4,PB=2&，PC=2,則—ABC的邊長為

A

15.如圖，在RtABC中，ZBAC=90°,/B=60°,AB=1，點尸為BC上任意一點，連接P4,以

PA，PC為鄰邊作YPAQC,連接PQ,則PQ的最小值為.

三、解答題(共7小題)

16分解因式：

(1)a(x—y)+16(y—x)；

(2)Ny—9y；

(3)—x2+4xy-4y2.

17.解不等式(組)：

(1)4x+5>6x—3；

⑵11+2%

>x—1

ab2+lab

18.(1)計算:-----+--------

a+ba+b

3〃之—zl/j—I—zl

(2)先化簡，再求值：(〃一1—-—竺工請在一1,0,2中選擇一個合適的數代入求值.

?+1a+1

19.如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC的三個頂點的坐標分別為A(-4,3),B(-3,1),C(-

1,3).

(1)請按下列要求畫圖：

①平移AABC,使點A的對應點Ai的坐標為(-4,-3),請畫出平移后的△AiBiCi；

②AAzB2c2與4ABC關于原點O中心對稱，畫出AAzB2c2.

(2)若將△A1B1C1繞點M旋轉可得到aAzB2c2,請直接寫出旋轉中心M點的坐標

20.已知：如圖，在△ADC中，AD=CD,5.AB//DC,CB±AB^B,CE_LAD交A。的延長線于E,連

接8￡.

(2)若NC4E=30°,CE=2,求BE的長度.

21.某工廠現有甲種原料360kg,乙種原料290kg,計劃利用這兩種原料生產A,B兩種產品共50件.已知

生產1件A種產品，需要甲種原料9kg,乙種原料3kg,可獲利潤700元;生產1件B種產品，需要甲種原料

4kg,乙種原料10kg,可獲利潤1200元.

(1)按要求安排A,B兩種產品的生產件數,有哪幾種方案?請設計出來.

(2)設生產A,B兩種產品所獲總利潤為y(元)，其中一種產品的生產件數為x,試寫出y關于x的函數解析

式,并利用函數的性質說明(1)中哪種生產方案所獲總利潤最大,最大利潤是多少.

22.配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、

證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它.下面我們就求函數的極值，介紹一下配方

法.

例：已知代數式/+6“+2，當。=時，它有最小值，是

解：a2+6a+2-a2+6a+9-9+2=(^a+3^2-9+2=(^a+3^2-7

因為(a+3)2?0,所以(a+3)2-72-7.

所以當a=-3時，它有最小值，是-7.

參考例題，試求：

(1)填空：當。=時，代數式(a-3)2+5有最小值，是

(2)已知代數式/+8。+2，當。為何值時，它有最小值，是多少？

2022-2023學年廣東省深圳市福田區福景外國語學校八年級

（下）期中考數學試卷

一、選擇題（共10小題）

1.垃圾分類人人有責.下列垃圾分類標識是中心對稱圖形的是（）

△X△

【答案】B

【解析】

【分析】根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖

形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，

進行逐一判斷即可.

【詳解】A.不是中心對稱圖形，不符合題意；

B.是中心對稱圖形，符合題意；

C.不是中心對稱圖形，不符合題意；

D.不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選B

【點睛】本題考查了中心對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形的定義是解題的關鍵.

2.若x>?則下列式子錯誤的是（）

xy

A.尤-3>y-3B.-3%>-3yC.x+3>y+3D.—>—

【答案】B

【解析】

【分析】根據不等式的性質在不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不

變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）

同一個負數，不等號的方向改變即可得出答案.

【詳解】解：A、不等式兩邊都減3,不等號的方向不變，正確，故本選項不符合題意；

B、乘以一個負數，不等號的方向改變，錯誤，故本選項符合題意；

C、不等式兩邊都加3,不等號的方向不變，正確，故本選項不符合題意；

D、不等式兩邊都除以一個正數，不等號的方向不變，正確故本選項不符合題意.

故選：B.

3.下列運算結果正確的是（）

A.a2+a4=a6B,（a+b）2=a2+b2

C.-a64-tz2=-cfiD.（-2a2匕）3=-8a6^3

【答案】D

【解析】

【分析】利用合并同類項法則、完全平方公式、同底數幕的除法法則、積的乘方法則分別

計算，即可得出正確答案.

【詳解】解：/與/指數不同，不是同類項，不能合并，故A選項錯誤；

（?+Z?）2=a2+2ab+b2,故B選項錯誤；

-a6=一d-2=一小,故c選項錯誤；

（一24沖3=（—2）3?（/）3.=_Sa6b3,故D選項正確；

故選D.

【點睛】本題考查合并同類項、完全平方公式、同底數幕的除法運算和積的乘方運算，熟

練掌握各運算法則并正確計算是解題的關鍵.

4.若分式一一有意義，則x的取值范圍是（）

3-x

Ax<3B.x<3C.x<3JELX^OD.X/3

【答案】D

【解析】

【分析】根據分式有意義的條件可得3-存0,再解即可.

【詳解】解：由題意得：3-#0,

解得：/3,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義，分母不為零.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=120°,8C=6cm,AB的垂直平分線交8C于點

M,交A2于點E,AC的垂直平分線交BC于點N,交AC于點P,則的長為（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

【答案】c

【解析】

【分析】此類題要通過作輔助線來溝通各角之間的關系，首先求出ABMA與ACN4是等腰

三角形，再證明AMAN為等邊三角形即可.

的垂直平分線交BC于交AB于E,AC的垂直平分線交BC于N,交AC于尸，

：.BM=AM,CN=AN,

：.ZMAB=ZB,ZCAN=ZC,

,：ZBAC=nO°,AB=AC,

：.ZB=ZC=30°,

：.ZBAM+ZCAN=60°,ZAMN=/ANM=60°,

.?.△AMN是等邊三角形，

：.AM=AN=MN,

：.BM=MN=NC,

'：BC=6,

：.MN=2.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點為線段的垂直平分線性質以及等腰三角形的性質；正確作出輔

助線是解答本題的關鍵.

f3x+l>0

6.觀察下列圖象，可以得出不等式組<cu的解集是（）

-0.5%+1>0

333

x<2

【答案】D

【解析】

【詳解】根據圖象得到，3x+l>0的解集是：x>-1，

3

第二個不等式的解集是x<2,

不等式組的解集是--<x<2.

3

故選D.

【點睛】運用了一次函數與不等式（組）的關系及數形結合思想的應用.解決此類問題關

鍵是仔細觀察圖形.

7.一次數學課上，老師出了下面一道因式分解的題目：x4-b請問正確的結果為

()

A.(x2-l)(x2+1)B,(x2+l)(x2-l)

C.(x+l)(x-l)(x2+l)D.(x-l)(x+l)3

【答案】C

【解析】

【分析】根據平方差公式分解因式即可.

【詳解】解:/-1=(%2+1)(%2-1)=(^2+1)(%-1)(%+1),故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了分解因式，解題關鍵是熟練掌握平方差公式，注意分解因式要

分解到最后結果.

3x

8.若把分式而中，x、y都擴大到原來的3倍，則分式的值（）

A.不變B.擴大3倍C.擴大9倍D.不確定

【答案】A

【解析】

3x

【分析】按照題意把分式——中,尤、y都擴大到原來的3倍計算化簡即可得解.

x+y

3x3%9x3x

【詳解】解:,所以分式的值不變.

3x+3y3(x+y)x+y

故選：A.

【點睛】本題考查分式的性質，解決這類題目的關鍵是正確地代入，并根據分式的性質進

行分式的化簡.

9.“五一”前夕，某校社團進行愛心義賣活動，先用800元購進第一批康乃馨，包裝后售

完，接著又用400元購進第二批康乃馨，已知第二批所購數量是第一批所購數量的工，且

3

康乃馨的單價比第一批的單價多1元，設第一批康乃馨的單價是x元，則下列方程正確的

是（）

800400

A.——+1=——B.——=------C.-X------

xx+1XX+1

800x=3X400（x+1）

【答案】C

【解析】

【分析】設第一批康乃馨的單價是x元，則第二批康乃馨的單價是（x+1）元，根據第二批

所購數量是第一批所購數量的三分之一列出方程即可.

【詳解】解：設第一批康乃馨的單價是尤元，則第二批康乃馨的單價是（x+1）元，

故選C.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到合適的等量關系列方程是解決問題

的關鍵.

10.如圖，在ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC=4,。為的中點，DE±AB,垂

足為E過點B作跳V/AC交。E的延長線于點H連接C尸，AF現有如下結論：

①AD平分/G4B；②BF=2；（3）AD±CF；④AF=2下;

⑤NCAF=NCFB.其中正確的結論有（）

D.2個

【答案】B

【解析】

【分析】①由CD=DB,推出是“Cfi的中線，如果是角平分線，則AC=A5,

顯然與已知矛盾，故錯誤.

②易證DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2.

③由.ACDgVC即，推出由/3。尸+14。尸=90，推出

^CAD+^ACF=90，即ADLCF.

④在如ACD中，AD=VAC2+CD2=V42+22=2A/5-易證AR=AD=2^-

⑤由于?ACD0VC即，推出AD=CF=AE,推出？C4/1FCA,于

AC//BF,即可推出/。￡8=//。4=/。1口.

【詳解】解：①錯誤，

CD=DB,

.?.AD是八4。3的中線，如果是角平分線，則AC=A5,顯然與已知矛盾，故錯誤.

②正確?

BF//AC,ZACB=90°,

:.ZCBF=90°,

-.DE±AB,

DBF是等腰直角三角形，故8/=①）=2.

③正確.AC=BC,ZACD=ZCBF,CD=BF,

:二ACD烏YCBF,

:.NCAD=ZBCF,

ZBCF+/ACF=90。，

ZCAD+ZACF=90°,

AD±CF.

④正確?在ACD中，AD=JAN+CD2="2+2?=2后,

-.DE±AB，DB尸是等腰直角三角形，

AF=AD=275.

⑤正確.,一ACDgVCB尸，

：.AD=CF^AF,

:.ZCAF=ZFCA,

QAC//BF,

NCFB=NFCA=ZCAF.

故選B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質、等腰直角三角形的性質、角

平分線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

二、填空題（共5小題）

11.分解因式：2^2—2y2=.

【答案】2(x+y)(x-y)

【解析】

【分析】先提取公因式2,再根據平方差公式進行二次分解即可求得答案.

【詳解】2x2-2y2=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).

故答案為2(x+y)(x-y).

【點睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二

次分解，注意分解要徹底.

12.若一個等腰三角形的頂角等于70°,則它的底角等于______度，

【答案】55

【解析】

【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論.

【詳解】解：一個等腰三角形的頂角等于70。，

，它的底角=；(180°—70°)=55°,

故答案為55.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

13.關于x的分式方程1+衿F=2無解，則根=.

x—22x—xx

【答案】m=2或加=4.

【解析】

【分析】先根據分式方程的解法去掉分母，再代入增根x=2或x=0,分別求出m的值.

【詳解】去分母得mx-8=2(x-2)

得mx=2x+4,

方程無解，，m=2,

方程有增根x=0,或x=2,代入解出m=4,

m=2或加=4

【點睛】此題主要考查分式方程的解，解題的關鍵是熟知分式方程有增根的解法.

14.如圖，P是等邊AABC內一點，PA=4,PB=2后,PC=2,貝『ABC的邊長為

A

BC

【答案】277

【解析】

【分析】作BHLPC于H,如圖，把4ABP繞點B順時針旋轉60。得到ACBD,連接PD,

可判斷4PBD為等邊三角形，利用勾股定理的逆定理可證明4PCD為直角三角形，

ZCPD=90°,易得NBPC=150。，利用平角等于有/BPH=30。，在RL^PBH中，根據含30

度的直角三角形三邊的關系可計算出BH和PH的長，在Rt^BCH中，根據勾股定理即可

求解.

【詳解】解：作BHLPC于H,如圖，

:△ABC為等邊三角形，

/.BA=BC,ZABC=60°,

...把4ABP繞點B順時針旋轉60。得到aCBD,連接PD,如圖,

；.CD=AP=4,BD=BP=26，NPBD=60。，

/.△PBD等邊三角形，

；.PD=PB=25ZBPD=60°,

在△PDC中，VPC=2,PD=2A/3,CD=4,

.-.PC2+PD2=CD2,

.二△PCD為直角三角形，ZCPD=90°,

ZBPC=ZBPD+ZCPD=150°,

.?.ZBPH=30°,

在RtZiPBH中，VZBPH=30°,PB=2百，

.*.BH=[PB=BPH=73BH=3,

；.CH=PC+PH=2+3=5,

在RtABCH中,BC2=BH2+CH2=（幣）2+52=28,

；.BC=2近,

，.ABC的邊長為2J7.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連

線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的性質與勾股定理

的逆定理.

15.如圖，在RtABC中，/B4C=90°,/B=60°,AB=1,點P為上任意一

點，連接K4,以必、PC為鄰邊作YPAQC,連接PQ,則PQ的最小值為.

【解析】

【分析】以出，PC為鄰邊作平行四邊形外QC,由平行四邊形的性質可知。是AC中點,

P0最短也就是尸。最短，所以應該過。作2C的垂線P。，根據垂線段最短即可解決問

題.

【詳解】解：VZBAC=90°,ZB=60°,AB=1,

：.BC=2AB=2,AC=6

???四邊形APC。是平行四邊形，

：.PO=QO,CO=AO=",

一2

PQ最短也就是P0最短，

.?.過。作8C的垂線OF,

當尸與P'重合時，OP的值才是最小，

貝IPQ的最小值為20P=2xgoc=B,

22

故答案為：

2

c

2

二

【點睛】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質以及

垂線段最短的性質，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最值問題.

三、解答題(共7小題)

16.分解因式：

(1)a(x—y)+16(j—x)；

(2)尤2y—9y；

(3)—N+4孫一年.

【答案】(1)(x-y)(G-16)

(2)y(x+3)(x—3)

(3)—(x—2y)2

【解析】

【分析】(1)原式變形后，提取公因式即可；

(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

(3)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【小問1詳解】

a(x—y)-\~16(y—x)

=a(x—y)~16(x—y)

=(x-y)(a-16)；

【小問2詳解】

x2y~9y

-y(x2-9)

=y(x+3)(x-3)；

【小問3詳解】

—x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)

=-(x-2y)2.

【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題

的關鍵.

17.解不等式（組）:

(1)4.r+5>6x—3；

x-3(%-2)<4

(2)<1+2%

>x—1

3

【答案】（1）爛4（2）l<r<4

【解析】

【分析】（1）通過移項，合并同類項，系數化為1進行求解即可;

（2）分別解兩個一元一次不等式，再寫出不等式組的解集即可.

【小問1詳解】

移項，得：4x—6x>—3—5

合并同類項，得：一2彳之一8,

系數化為1,得：后4；

【小問2詳解】

解不等式x—3(%—2)<4,得：%>1,

1—I—

解不等式工^>龍一1,得：x<4,

3

則不等式組的解集為l<x<4.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式和一元一次不等式組，熟練掌握解不等式的步驟是

解題的關鍵.

18.(1)計算：g+"+2"

a+ba+b

一3〃之一4〃+4

（2）先化簡，再求值：（〃一1.......-）4--―獨;，請在一1,0,2中選擇一個合適的數

a+1。+1

代入求值.

【答案】⑴""⑵”，/

【解析】

【詳解】（1）直接把分母相加，再化簡，即可求解；

（2）先算括號內的，再計算除法，然后根據分式有意義的條件選用。=0代入，即可求

解.

解：（1）原式=（"+'）

a~\~b

(tz+l)(6Z-l)3.3-2)2

(2)原式=

a~\~lQ+1a~\~l

_(a+2)(g-2)a+1

—tz+1(a-2)2

a~\~2

~a-2'

:分母不能為0，

a工—1且aw2,

0+2

當a=0時，原式—=-l.

0-2

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵.

19.如圖，在平面直角坐標系中，已知aABC的三個頂點的坐標分別為A(-4,3),B

(-3,1),C(-1,3).

(1)請按下列要求畫圖：

①平移AABC,使點A的對應點Ai的坐標為(-4,-3),請畫出平移后的△AiBiCi；

②AAzB2c2與AABC關于原點O中心對稱，畫出AAzB2c2.

(2)若將△A1B1C1繞點M旋轉可得到aAzB2c2,請直接寫出旋轉中心M點的坐

【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)(0,-3)

【解析】

【分析】(1)①根據網格結構找出點A、B、C平移后的對應點Ai、Bi、Ci的位置，然后

順次連接即可；

②根據網格結構找出A、B、C關于原點O的中心對稱點A2、B2、C2的位置，然后順次連

接即可；

(2)連接B1B2,CC2,交點就是旋轉中心M.

【詳解】(1)①如圖所示，AAIBICI即所求；

②如圖所示，AAzB2c2即為所求;

%

(2)如圖，連接C1C2,B1B2,交于點M,則AAiBiCi繞點M旋轉180。可得到AA2B2c2,

...旋轉中心M點的坐標為(0,-3),

故答案為(0,-3).

【點睛】本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握旋轉及平移的性質

及網格結構，準確找出對應點的位置是解題的關鍵.

20.已知：如圖，在△AQC中，AD=CD,S.AB//DC,CB_LA8于B,CE_LA￡)交的

延長線于E,連接8E.

(2)若NCAE=30°,CE=2,求BE的長度.

【答案】(1)見解析；⑵BE=20

【解析】

【分析】(1)利用等腰三角形的性質和平行線的性質得到AC是△EAB的角平分線，根據

角平分線的性質即可得到CE=CB；

(2)通過倒角證明△AEB是等邊三角形，所以氏在放△A8C中，根據30°所對的直

角邊是斜邊的一半求得AC,再根據勾股定理求出A8,即得出BE的長.

【詳解】(1)證明：：AO=CD,

：.ZDAC^ZDCA,

'：AB//CD,

：.ZDCA=ZCAB,

：.ZDAC=ZCAB,

???AC是NEA3的角平分線，

又CBLAB,

：.CE=CB,

(2)〈AC是NE43的角平分線，

???ZEAB=2ZCAE=60°f

9：ZDCA=ZDAC=30°,

：.ZEDC=ZDCA+ZDAC=60°,

9

：CE±ADf

：.ZCED=90°,

：.ZECD=30°,

'：CB±AB,

：.ZCBA=90°f

'：AB/7CD,

AZCBA+ZDCB=180°,

???NOCB=90。，

???ZECB=ZECD+ZDCB=120°,

*：CE=CB=2,

：.ZCBE=ZCEB=^(180°-ZECB)=30°,

：.ZEBA=60°f

：.ZAEB=NEAB=ZABE=60°,

???△AEB是等邊三角形，

：.BE=AB；

在放△ABC中，

,CBCLAB,ZCAB=30°,

：.AC=2BC=4,

???A5=7AC2-BC2=A/42-22=2石，

:?BE=25

【點睛】本題考查了角平分線的性質，含30。角的直角三角形，勾股定理，等邊三角形的

判定與性質，其中，判定△AM是等邊三角形是解題的關鍵.

21.某工廠現有甲種原料360kg,乙種原料290kg,計劃利用這兩種原料生產A,B兩種產

品共5