§1.1空間向量及其運算1．1.1空間向量及其線性運算第1課時空間向量及其線性運算學習目標1.理解空間向量的有關概念.2.類比平面向量，會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3.理解向量運算的交換律、結合律和分配律．知識點一空間向量的概念1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．2．長度或模：向量的大小．3．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量思考空間中的兩個向量是不是共面向量？答案是，空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量．知識點二空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.思考1怎樣作圖表示三個向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關？答案可以利用三角形法則和平行四邊形法則作出三個向量的和．加法運算是對有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．思考2由數乘λa＝0，可否得出λ＝0?答案不能．λa＝0?λ＝0或a＝0.1．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量．(×)2．在空間中，任意一個向量都可以進行平移．(√)3．空間兩非零向量相加時，一定可以用平行四邊形法則運算．(×)4．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上．(√)一、向量概念的應用例1(1)下列關于空間向量的說法中正確的是()A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＞|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同答案D解析A中，方向相反，長度相等的兩個向量是相反向量；B中，單位向量模都相等而方向不確定；C中，向量作為矢量不能比較大小，故選D.(2)(多選)下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的加法滿足結合律D．任一向量與它的相反向量不相等答案BC解析|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定；對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；空間向量的加法滿足結合律，C正確；零向量的相反向量仍是零向量．故選BC.反思感悟空間向量的概念問題在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．跟蹤訓練1下列關于空間向量的命題中，正確的命題的序號是________．①長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；②平行且模相等的兩個向量是相等向量；③若a≠b，則|a|≠|b|；④兩個向量相等，則它們的起點與終點相同．答案①解析根據向量的定義，知長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量，①正確；平行且模相等的兩個向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正確；當a＝－b時，也有|a|＝|b|，③不正確；只要模相等、方向相同，兩個向量就是相等向量，與向量的起點和終點無關，④不正確．綜上可知只有①正確．二、空間向量的加減運算例2如圖，已知長方體ABCD－A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))如圖所示．延伸探究試把本例中的體對角線所對應向量eq\o(AC′,\s\up6(→))用向量eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示．解在平行四邊形ACC′A′中，由平行四邊形法則可得eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，在平行四邊形ABCD中，由平行四邊形法則可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).故eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).反思感悟空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．跟蹤訓練2(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運算結果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))答案AB解析A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選AB.三、空間向量的線性運算例3在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F，H分別為邊CD，AD和BC的中點，化簡下列各表達式．(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解(1)因為G是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up6(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→))，又因為eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，所以由向量的加法法則，可知eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).從而eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)如圖所示，分別取AB，AC的中點P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).反思感悟利用數乘運算進行向量表示的注意點(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙利用線段的中點進行解題．跟蹤訓練3在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點．若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案A解析eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.1．“兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案B2．向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結論正確的是()A．a＝b B．a＋b為實數0C．a與b方向相同 D．|a|＝3答案D解析向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反，故選D.3．設A，B，C是空間任意三點，下列結論錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))答案B4．設有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形答案A解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．5．化簡：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.答案3a－2b1．知識清單：(1)向量的概念．(2)向量的線性運算(加法、減法和數乘)．(3)向量的線性運算的運算律．2．方法歸納：三角形法則、平行四邊形法則、數形結合思想．3．常見誤區：對空間向量的理解應抓住向量的“大小”和“方向”兩個要素，并注意它是一個“量”，而不是一個數．1．(多選)下列說法中，正確的是()A．模為0是一個向量方向不確定的充要條件B．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))C．若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合答案AC解析A正確，模不為0的向量方向是確定的．B錯誤，向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小．C正確，由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量．D錯誤，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))同向．但A與C，B與D不一定重合．2．化簡eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的結果是()A.eq\o(PM,\s\up6(→)) B.eq\o(NP,\s\up6(→))C．0 D.eq\o(MN,\s\up6(→))答案C解析eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0，故選C.3．在空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OA,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))答案C4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列選項中化簡后為零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(C1A1,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB1,\s\up6(→))答案A解析在A選項中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.5．如果向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向 D.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向答案D6．設A，B，C，D為空間任意四點，則eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.答案eq\o(AD,\s\up6(→))解析eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，化簡eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))的結果是________．答案2eq\o(AC,\s\up6(→))解析eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→)).8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，則|a＋b＋c|＝________.答案29.如圖所示的是平行六面體ABCD－A1B1C1D1，化簡下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).(2)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).10．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并標出化簡結果的向量．解eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).因為E，F，G分別為BC，CD，DB的中點，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).故所求向量為eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，如圖所示．11．已知空間中任意四個點A，B，C，D，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(BA,\s\up6(→))答案D解析方法一eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).方法二eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).12．在三棱錐A－BCD中，E是棱CD的中點，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析因為E是棱CD的中點，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).13．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up6(→))＝________.答案－c－a＋b解析如圖，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))－eq\o(B1A1,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(CC1,\s\up6(→))－(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.14．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．(1)化簡eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________.答案(1)eq\o(A1A,\s\up6(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).(2)因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).15．在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，若eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(z,3)eq\o(CC′,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝________.答案6解析在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))，又eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(z,3)eq\o(CC′,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(y,2)＝1，,\f(z,3)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，,z＝3，))∴x＋y＋z＝6.16.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.第2課時共線向量與共面向量學習目標1.理解向量共線、向量共面的定義.2.掌握共線向量定理和共面向量定理，會證明空間三點共線、四點共面．知識點一共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．思考1對于空間向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?答案不能．若b＝0，則對任意向量a，c都有a∥b且b∥c.思考2怎樣利用向量共線證明A，B，C三點共線？答案只需證明向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))(不唯一)共線即可．知識點二共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.思考已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，存在有序實數對(x，y)，滿足關系eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則點P與點A，B，C是否共面？答案共面.由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AP,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面，故點P與點A，B，C共面．1．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上．(×)2．若向量a，b，c共面，則表示這三個向量的有向線段所在的直線共面．(×)3．空間中任意三個向量一定是共面向量．(×)4．若P，M，A，B共面，則存在唯一的有序實數對(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).(×)一、向量共線的判定及應用例1如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．證明∵E，H分別是AB，AD的中點，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，∴eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))且|eq\o(EH,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up6(→))|≠|eq\o(FG,\s\up6(→))|.又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形．反思感悟向量共線的判定及應用(1)本題利用向量的共線證明了線線平行，解題時應注意向量共線與兩直線平行的區別．(2)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實數λ，使a＝λb成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．(3)判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))；跟蹤訓練1(1)已知A，B，C三點共線，O為直線外空間任意一點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n＝________.答案1解析由于A，B，C三點共線，所以存在實數λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1.(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求證：E，F，B三點共線．證明設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，因為eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→))，所以E，F，B三點共線．二、向量共面的判定例2已知A，B，C三點不共線，平面ABC外一點M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)判斷M是否在平面ABC內．解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，而它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內．反思感悟解決向量共面的策略(1)若已知點P在平面ABC內，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數．(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．跟蹤訓練2(1)如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求證：向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．證明因為M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))不共線，根據向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．(2)已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：①E，F，G，H四點共面．②BD∥平面EFGH.證明如圖，連接EG，BG.①因為eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由向量共面的充要條件知向量eq\o(EG,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EH,\s\up6(→))共面，即E，F，G，H四點共面．②因為eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.空間共線向量定理的應用典例如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，且它們所在的平面不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：CE∥MN.證明∵M，N分別是AC，BF的中點，又四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→)).∵點C不在MN上，∴CE∥MN.[素養提升]證明空間圖形中的兩直線平行，可以轉化為證明兩直線的方向向量共線問題．這里關鍵是利用向量的線性運算，從而確定eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))中的λ的值．1．滿足下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點共線的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|答案C2．若空間中任意四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈直線ABB．P?直線ABC．點P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D．以上都不對答案A解析因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－n)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝n(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝neq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線．又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈直線AB.3．下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0答案C解析C選項中，eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴點M，A，B，C共面．4．已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則x的值為()A．1B．0C．3D.eq\f(1,3)答案D解析∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四點共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，∴x＝eq\f(1,3)，故選D.5．已知非零向量e1，e2不共線，則使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k的值是________．答案±1解析若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1.))所以k＝±1.1．知識清單：(1)空間向量共線的充要條件，直線的方向向量．(2)空間向量共面的充要條件．2．方法歸納：轉化化歸．3．常見誤區：混淆向量共線與線段共線、點共線．1．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D答案A解析因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))有公共點A，所以A，B，D三點共線．2．對于空間的任意三個向量a，b，2a－b，它們一定是()A．共面向量 B．共線向量C．不共面向量 D．既不共線也不共面的向量答案A3．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起點的向量 B．等長向量C．共面向量 D．不共面向量答案C解析因為eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，即eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→)).又eq\o(D1A,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))不共線，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))三個向量共面．4．已知P為空間中任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(DB,\s\up6(→))，則實數x的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案A解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(PD,\s\up6(→)).又∵P是空間任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，∴eq\f(3,2)－x－eq\f(1,6)＝1，解得x＝eq\f(1,3).5．(多選)下列命題中錯誤的是()A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件C．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDD．對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面答案BCD解析顯然A正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B錯誤；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故C錯誤；只有當x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點才共面，故D錯誤．6．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝________.答案eq\f(2,3)解析eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3).7．設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，則實數k＝________.答案1解析∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝7e1＋(k＋6)e2，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線，故eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，又∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－x＝0，,k＋6－kx＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,k＝1，))故k的值為1.8．已知O為空間任一點，A，B，C，D四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，則2x＋3y＋4z＝________.答案－1解析由題意知A，B，C，D共面的充要條件是：對空間任意一點O，存在實數x1，y1，z1，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝x1eq\o(OB,\s\up6(→))＋y1eq\o(OC,\s\up6(→))＋z1eq\o(OD,\s\up6(→))，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.9.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1D1，AB的中點，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，判斷eq\o(ME,\s\up6(→))與eq\o(NF,\s\up6(→))是否共線．解由題意，得eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\u