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文檔簡介

.1等式性質與不等式性質第1課時不等關系與不等式學習目標核心素養1.會用不等式(組)表示實際問題中的不等關系.(難點)2.會用比較法比較兩實數的大小.(重點)1.借助實際問題表示不等式,提升數學建模素養.2.通過大小比較,培養邏輯推理素養.1.不等關系不等關系常用不等式來表示.2.實數a,b的比較大小文字語言數學語言等價條件a-b是正數a-b>0a>ba-b等于零a-b=0a=ba-b是負數a-b<0a<b3.重要不等式一般地,?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.1.大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌,是指示司機要安全通過該橋,應使車貨總重量T不超過40噸,用不等式表示為()A.T<40B.T>40C.T≤40D.T≥402.某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120km/h,同一車道上的車間距d不得小于10m,用不等式表示為()A.v≤120km/h且d≥10mB.v≤120km/h或d≥10mC.v≤120km/hD.d≥10m3.雷電的溫度大約是28000℃,比太陽表面溫度的4.5倍還要高.設太陽表面溫度為t℃,那么t應滿足的關系式是________.4.設M=a2,N=-a-1,則M、N的大小關系為________.用不等式(組)表示不等關系【例1】京滬線上,復興號列車跑出了350km/h的速度,這個速度的2倍再加上100km/h,不超過民航飛機的最低時速,可這個速度已經超過了普通客車的3倍,請你用不等式表示三種交通工具的速度關系.在用不等式組表示不等關系時,要進行比較的各量必須具有相同性質,沒有可比性的兩個或幾個量之間不可用不等式組來表示.另外,在用不等式組表示實際問題時,一定要注意單位的統一.1.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,要求菜園的面積不小于216m2,靠墻的一邊長為xm.試用不等式表示其中的不等關系.比較兩數(式)的大小【例2】已知x≤1,比較3x3與3x2-x+1的大小.把本例中“x≤1”改為“x∈R”,再比較3x3與3x2-x+1的大小.作差法比較兩個實數大小的基本步驟:2.比較2x2+5x+3與x2+4x+2的大小.不等關系的實際應用【例3】某單位組織職工去某地參觀學習需包車前往.甲車隊說:“如領隊買全票一張,其余人可享受7.5折優惠”.乙車隊說:“你們屬團體票,按原價的8折優惠”.這兩車隊的原價、車型都是一樣的,試根據單位去的人數,比較兩車隊的收費哪家更優惠.解決決策優化型應用題,首先要確定制約著決策優化的關鍵量是哪一個,然后再用作差法比較它們的大小即可.3.甲、乙兩家旅行社對家庭旅游提出優惠方案.甲旅行社提出:如果戶主買全票一張,其余人可享受五五折優惠;乙旅行社提出:家庭旅游算集體票,按七五折優惠.如果這兩家旅行社的原價相同,那么哪家旅行社價格更優惠?1.比較兩個實數的大小,只要求出它們的差就可以了.a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.2.作差法比較大小的一般步驟第一步:作差;第二步:變形,常采用配方、因式分解等恒等變形手段,將“差”化成“和”或“積”;第三步:定號,就是確定是大于0,等于0,還是小于0(不確定的要分情況討論);最后得結論.概括為“三步一結論”,這里的“定號”是目的,“變形”是關鍵.1.思考辨析(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2.()(2)若a<b或a=b之中有一個正確,則a≤b正確.()(3)若a>b,則ac>bc一定成立.()2.下面表示“a與b的差是非負數”的不等關系的是()A.a-b>0 B.a-b<0C.a-b≥0 D.a-b≤03.若實數a>b,則a2-ab________ba-b2.(填“>”或“<”).4.完成一項裝修工程,請木工共需付工資每人500元,請瓦工共需付工資每人400元,現有工人工資預算20000元,設木工x人,瓦工y人,試用不等式表示上述關系.第2課時等式性質與不等式性質學習目標核心素養1.掌握不等式的性質.(重點)2.能利用不等式的性質進行數或式的大小比較或不等式的證明.(難點)3.通過類比等式與不等式的性質,探索兩者之間的共性與差異.1.通過不等式性質的判斷與證明,培養邏輯推理能力.2.借助不等式性質求范圍問題,提升數學運算素養.1.等式的性質(1)性質1如果a=b,那么b=a;(2)性質2如果a=b,b=c,那么a=c;(3)性質3如果a=b,那么a±c=b±c;(4)性質4如果a=b,那么ac=bc;(5)性質5如果a=b,c≠0,那么eq\f(a,c)=eq\f(b,c).2.不等式的基本性質(1)對稱性:a>b?b<a.(2)傳遞性:a>b,b>c?a>c.(3)可加性:a>b?a+c>b+c.(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc.(5)加法法則:a>b,c>d?a+c>b+d.(6)乘法法則:a>b>0,c>d>0?ac>bd.(7)乘方法則:a>b>0?an>bn>0(n∈N,n≥2).1.若a>b,c>d,則下列不等關系中不一定成立的是()A.a-b>d-c B.a+d>b+cC.a-c>b-c D.a-c<a-d2.與a>b等價的不等式是()A.|a|>|b|B.a2>b2C.eq\f(a,b)>1D.a3>b33.設x<a<0,則下列不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax利用不等式性質判斷命題真假【例1】對于實數a,b,c下列命題中的真命題是()A.若a>b,則ac2>bc2B.若a>b>0,則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C.若a<b<0,則eq\f(b,a)>eq\f(a,b)D.若a>b,eq\f(1,a)>eq\f(1,b),則a>0,b<0運用不等式的性質判斷時,要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能憑想當然隨意捏造性質.解有關不等式選擇題時,也可采用特殊值法進行排除,注意取值一定要遵循如下原則:一是滿足題設條件;二是取值要簡單,便于驗證計算.1.下列命題正確的是()A.若a2>b2,則a>bB.若eq\f(1,a)>eq\f(1,b),則a<bC.若ac>bc,則a>bD.若eq\r(a)<eq\r(b),則a<b利用不等式性質證明簡單不等式【例2】若a>b>0,c<d<0,e<0,求證:eq\f(e,a-c2)>eq\f(e,b-d2).本例條件不變的情況下,求證:eq\f(e,a-c)>eq\f(e,b-d).利用不等式的性質證明不等式注意事項1利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上,記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.2應用不等式的性質進行推導時,應注意緊扣不等式的性質成立的條件,且不可省略條件或跳步推導,更不能隨意構造性質與法則.2.已知a>b,e>f,c>0,求證:f-ac<e-bc.不等式性質的應用[探究問題]1.小明同學做題時進行如下變形:∵2<b<3,∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2),又∵-6<a<8,∴-2<eq\f(a,b)<4.你認為正確嗎?為什么?提示:不正確.因為不等式兩邊同乘以一個正數,不等號的方向不變,但同乘以一個負數,不等號方向改變,在本題中只知道-6<a<8.不明確a值的正負.故不能將eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)與-6<a<8兩邊分別相乘,只有兩邊都是正數的同向不等式才能分別相乘.2.由-6<a<8,-4<b<2,兩邊分別相減得-2<a-b<6,你認為正確嗎?提示:不正確.因為同向不等式具有可加性.但不能相減,解題時要充分利用條件,運用不等式的性質進行等價變形,而不可隨意“創造”性質.3.你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎?∵2<a-b<4,∴-4<b-a<-2.又∵-2<a+b<2,∴0<a<3,-3<b<0,∴-3<a+b<3.這怎么與-2<a+b<2矛盾了呢?提示:利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意:同向不等式兩邊可以相加(相乘),這種轉化不是等價變形.本題中將2<a-b<4與-2<a+b<2兩邊相加得0<a<3,又將-4<b-a<-2與-2<a+b<2兩邊相加得出-3<b<0,又將該式與0<a<3兩邊相加得出-3<a+b<3,多次使用了這種轉化,導致了a+b范圍的擴大.【例3】已知1<a<4,2<b<8,試求a-b與eq\f(a,b)的取值范圍.求含字母的數或式子的取值范圍時,一要注意題設中的條件,二要正確使用不等式的性質,尤其是兩個同方向的不等式可加不可減,可乘不可除.3.已知-eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2),求eq\f(α+β,2),eq\f(α-β,2)的取值范圍.1.在應用不等式性質時,一定要搞清它們成立的前提條件,不可強化或弱化成立的條件.2.要注意“箭頭”是單向的還是雙向的,也就是說每條性質是否具有可逆性.1.思考辨析(1)若a>b,則ac>bc一定成立.()(2)若a+c>b+d,則a>b,c>d.()2.如果a>b>0,c>d>0,則下列不等式中不正確的是()A.a-d>b-c B.-eq\f(a,d)<-eq\f(b,c)C.a+d>b+c D.ac>bd3.若-1<α<β<1,則下列各式中恒成立的是()A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<14.若bc-ad≥0,bd>0.求證:eq\f(a+b,b)≤eq\f(c+d,d).A級:“四基”鞏固訓練一、選擇題1.若a>b,則b2+1與3b-a的大小關系是()A.b2+1>3b-a B.b2+1≥3b-aC.b2+1<3b-a D.b2+1≤3b-a2.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0(a,b∈R),則下列不等式恒成立的是()A.a<b B.a+b>abC.|a|>|b| D.ab<b23.設a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,則下列結論中正確的是()A.ac2>bc2 B.a-d>b-cC.ad<bd D.a2>b24.若-1<α<β<1,則下列各式中恒成立的是()A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<15.有三個房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色,且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用(單位:元/m2)分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用(單位:元)是()A.ax+by+cz B.az+by+cxC.ay+bz+cx D.ay+bx+cz二、填空題6.有以下四個條件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.其中能使eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有________.7.已知60<x<84,28<y<33,則x-y的取值范圍為________,eq\f(x,y)的取值范圍為________.8.設x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,則實數a,

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