第五章平面向量和復數專題5.3平面向量的數量積1.理解平面向量數量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數量積與投影的關系.3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題．考點一平面向量數量積的定義考點二平面向量數量積的運算考點三數量積的坐標表示考點四投影向量知識梳理給定兩個非零向量a，b，在平面內任選一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則稱[0，π]內的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉.一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a||b|·cos〈a，b〉為向量a與b的數量積(也稱內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(1)設非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A′，B′(如圖)，則稱向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))為向量a在直線l上的投影向量或投影.(2)給定平面上的一個非零向量b，設b所在的直線為l，則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影，如圖，向量a在向量b上的投影為eq\o(A′B′,\s\up6(→)).一個向量在一個非零向量上的投影，一定與這個非零向量共線，它們的方向既有可能相同，也有可能相反.(3)一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|·cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數量，投影的數量與投影的長度有關，投影的數量既可能是非負數，也可能是負數.a·b等于a在b上的投影的數量與b的模的乘積，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特別地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e為單位向量.4．向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))第一部分核心典例題型一平面向量數量積的定義1．已知向量與的夾角為60°，其中，，則（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】C【詳解】.故選：C2．已知點是邊長為2的正的內部（不包括邊界）的一個點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖所示：因為點是邊長為2的正的內部（不包括邊界）的一個點，由圖象知：，所以，故選；C3．若均為非零向量，則是與共線的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】一方面：由，可得，此時與共線;另一方面：由與共線，可得或，此時有或，即此時不一定成立.結合以上兩方面有是與共線的充分不必要條件.故選：A.4．在中，，若，則下列結論正確的為（

）A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形【答案】D【詳解】因為，所以，所以，所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，故可為任意三角形.故選：D5．設是不共線的兩個向量，若命題p：，命題q：夾角是銳角，則命題p是命題q成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因為向量和是不共線的兩個向量，由，可得，則和的夾角為銳角，反之，若和的夾角為銳角，可得，則，所以命題是命題成立的充要條件．故選：C．題型二平面向量數量積的運算6．已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，且，所以，即，所以，設與的夾角為，則，因為，所以，即與的夾角為.故選：D7．已知單位向量是平面內的一組基底，且，若向量與垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】為單位向量且，所以，，，向量與垂直，所以，即，即，解得.故選:A8．已知向量與向量的夾角為120°，，則（

）A．3 B． C． D．1【答案】B【詳解】，故選：B9．已知MN是邊長為的等邊外接圓的一條動弦，，P為邊上的動點，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由題意，如圖，設外接圓的圓心為O，可求得圓O的半徑．設線段MN的中點為H，連接OH，PM，PN，PH，則．∵，，∴，，當的某一條邊過點H時，的最小值為0，當的某一個內角的角平分線過點H時，的最大值為，∴．故選：BC．10．若向量，滿足，且，，則（

）．A．2 B． C．1 D．【答案】D【詳解】設，由已知可得，，所以.又，所以，解得（舍去負值），所以，.故選：D.題型三數量積的坐標表示11．已知平面向量，滿足，，且，則實數的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【詳解】，，因為，所以，解得.故選：D.12．已知邊長為2的菱形中，，點E是BC上一點，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設，則，因為，所以，解得，故，則.故選：B13．已知向量，，，則（

）A．14 B． C．50 D．【答案】C【詳解】因為向量，，，所以，解得：，.故選：C.14．已知中，，，點為的中點，點為邊上一動點，則的最小值為（

）A．27 B．0 C． D．【答案】D【詳解】解：以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，由題意可知，，，，設，其中，則，，故，所以當時，有最小值.故選：D.15．已知向量，，且（

）A．5 B． C．11 D．【答案】A【詳解】∵，∴.故選：A題型四投影向量16．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】向量，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A17．已知向量與的夾角為，且滿足，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】向量在上的投影為，向量在上的投影向量為.故選：D.18．已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知，向量，的夾角為，得，又已知為單位向量，則在上的投影向量是.故選：D.19．已知，為單位向量，若向量與的夾角的正弦值為，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，∴投影向量為．故選：B20．已知△ABC外接圓的半徑為1，其圓心O滿足，，則在上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【詳解】如圖，因為△ABC外接圓的圓心O滿足，所以點O為BC的中點，所以BC是△ABC外接圓的直徑，故，∠BAC＝90°．因為，所以△OAC是等邊三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°．在Rt△ABC中，，所以在上的投影向量的模長為．故選：C．第二部分課堂達標一、單選題1．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】，，，.故選：D.2．已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，則，，，所以，所以在上的投影向量為.故選：C.3．已知平面向量，且，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，解可得,,則.故選:B.4．已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（）A．1 B． C．3 D．【答案】C【詳解】，故選：C5．已知向量，，，則向量與的夾角大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，而，故，故選：B.6．已知向量，若，則（

）A．10 B． C．8 D．【答案】A【詳解】由題意可知：，因為，故.所以.故選：A7．已知為單位向量，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，所以向量在向量上的投影向量為:.故選:B.8．已知是單位向量，向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設的夾角為，由及單位向量，得，顯然，且，于是，而，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：C二、多選題9．已知直角中，，，則實數可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】在直角中，，，則，若為直角，則，解得；若為直角，則，解得；若為直角，則，解得.故選：BCD.10．已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且，P是AB邊上的動點，則的值可能為（

）．A．﹣12 B．﹣8 C．﹣2 D．0【答案】BCD【詳解】因為，所以由正弦定理得，，又，故，又，，故⊥，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設，，則，則，因為，所以，A錯誤，BCD正確.故選：BCD三、填空題11．因為，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．【答案】【詳解】因為，且與的夾角為鈍角，所以，解得，又當，即時，此時與的夾角為，所以，綜上可得且，即的取值范圍是.故答案為：12．平面向量，則向量在上的投影向量坐標為．【答案】【詳解】由向量，可得，則，，則向量在上的投影向量坐標為.故答案為：.四、解答題13．已知向量與滿足，，與的夾角為．(1)求；(2)求．【詳解】（1）設與的夾角為，則；（2）.14．已知向量，．(1)若，求實數的值(2)求與的夾角；【詳解】（1）當時，，∴，則，∴．（2）