高級中學名校試卷PAGEPAGE2黑龍江省九校聯盟2023-2024學年高一下學期4月期中聯合考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小顆給出的加個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題中正確的是（）A.零向量沒有方向 B.共線向量一定相等向量C.若向量，同向，且，則 D.單位向量的模都相等〖答案〗D〖解析〗對于A：模為的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A錯誤；對于B：相等向量要求方向相同且模長相等，共線向量不一定是相等向量，故B錯誤；對于C：向量不可以比較大小，故C錯誤；對于D：單位向量的模為，都相等，故D正確.故選：D.2化簡（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.4.在中，，則（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，由正弦定理得，解得.故選：C.5.將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的3倍得到的圖象，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗將函數的圖象向左平移個單位，可得的圖象；再將圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的3倍可得．故選：B．6.若，，則（）A.4 B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以即，因為，所以，所以，則，所以，所以.故選：D.7.已知函數的一段圖象過點，如圖所示，則函數（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖知，，則，由圖知，在取得最大值，且圖象經過，故，所以，故，又因為，所以，函數又經過，故，得，所以函數的表達式為．故選：D.8.數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱為三角形的歐拉線.已知點分別為的重心，垂心，外心，為的中點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為的外心，為的中點，所以，因為為的垂心，所以，所以，易得所以，所以，因為為的重心，所以，所以，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在邊長為1的正方形中，分別為的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10.在中，內角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.C.若，則是銳角三角形D.若，則的面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于，因為在中，，所以當時，，故為等腰三角形，故正確；對于，由正弦定理，得，所以，故正確；對于，由余弦定理得，又因為是中的一個內角，所以，所以是鈍角三角形，故錯誤；對于，，故正確.故選：.11.已知函數在區間上有且僅有3個零點，則（）A.在區間上有且僅有4條對稱軸 B.的最小正周期可能是C.的取值范圍是 D.在區間上單調遞增〖答案〗CD〖解析〗對C：由函數，令，，則，，函數在區間上有且僅有個零點，即有且僅有個整數符合，由，得，則，，，即，，故C正確；對于A：，，，當時，在區間上有且僅有3條對稱軸；當時，在區間上有且僅有4條對稱軸，故A錯誤；對于B：周期，由，則，，又，所以的最小正周期不可能是，故B錯誤；對于D：，，又，，所以在區間上單調遞增，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則____________.〖答案〗〖解析〗結合題意可得：，因為，，所以，所以.故〖答案〗為：.13.在邊長為2的菱形中，分別為的中點，，則__________.〖答案〗〖解析〗記與交于點O，，由題知，①，在中，由余弦定理有②，聯立①②解得，所以，因為，所以，所以，以O為原點，所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知，當時，，則______.〖答案〗〖解析〗由，可得，所以函數周期，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為坐標原點，，，.（1）若三點共線，求實數的值；（2）若點滿足，求的最小值.解：（1）因為，，，所以，，又三點共線，所以，所以，解得.（2）因為，，所以，，所以，所以，所以當時.16.已知向量與的夾角為.（1）求的值；（2）若，求在上的投影向量的坐標.解：（1）因為向量與的夾角為，所以，所以.（2）由投影向量公式可得：.17.已知向量的夾角為.（1）求；（2）若存在實數，使得與的夾角為銳角，求的取值范圍.解：（1），因為，所以.（2）設與的夾角為，則且，故，且與不同向共線，，，故，且，解得且，故的取值范圍是.18.如圖，在梯形中，，，，點分別為線段，上的三等分點，點是線段上的一點.（1）求的值；（2）求的值；（3）直線分別交線段于M，N兩點，若B，N，D三點在同一直線上，求的值.解：（1）設，，，，即．（2），．（3）連接三點共線，，為的中點，，設，則，設，在中，，，解得，．19.已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）在銳角中，角所對的邊分別為，，且，求面積的取值范圍.解：因為，所以，即，令，解得，所以的單調遞增區間為.（2）結合（1）問，因為，所以，即，所以，即，因為在銳角中，，所以，因為，所以，在中，由正弦定理可得，即，在中易得，，因為為銳角三角形，且，且易得，所以，得，所以，易得，即，所以，故面積的取值范圍為.黑龍江省九校聯盟2023-2024學年高一下學期4月期中聯合考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小顆給出的加個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題中正確的是（）A.零向量沒有方向 B.共線向量一定相等向量C.若向量，同向，且，則 D.單位向量的模都相等〖答案〗D〖解析〗對于A：模為的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A錯誤；對于B：相等向量要求方向相同且模長相等，共線向量不一定是相等向量，故B錯誤；對于C：向量不可以比較大小，故C錯誤；對于D：單位向量的模為，都相等，故D正確.故選：D.2化簡（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.4.在中，，則（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，由正弦定理得，解得.故選：C.5.將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的3倍得到的圖象，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗將函數的圖象向左平移個單位，可得的圖象；再將圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的3倍可得．故選：B．6.若，，則（）A.4 B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以即，因為，所以，所以，則，所以，所以.故選：D.7.已知函數的一段圖象過點，如圖所示，則函數（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖知，，則，由圖知，在取得最大值，且圖象經過，故，所以，故，又因為，所以，函數又經過，故，得，所以函數的表達式為．故選：D.8.數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱為三角形的歐拉線.已知點分別為的重心，垂心，外心，為的中點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為的外心，為的中點，所以，因為為的垂心，所以，所以，易得所以，所以，因為為的重心，所以，所以，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在邊長為1的正方形中，分別為的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10.在中，內角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.C.若，則是銳角三角形D.若，則的面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于，因為在中，，所以當時，，故為等腰三角形，故正確；對于，由正弦定理，得，所以，故正確；對于，由余弦定理得，又因為是中的一個內角，所以，所以是鈍角三角形，故錯誤；對于，，故正確.故選：.11.已知函數在區間上有且僅有3個零點，則（）A.在區間上有且僅有4條對稱軸 B.的最小正周期可能是C.的取值范圍是 D.在區間上單調遞增〖答案〗CD〖解析〗對C：由函數，令，，則，，函數在區間上有且僅有個零點，即有且僅有個整數符合，由，得，則，，，即，，故C正確；對于A：，，，當時，在區間上有且僅有3條對稱軸；當時，在區間上有且僅有4條對稱軸，故A錯誤；對于B：周期，由，則，，又，所以的最小正周期不可能是，故B錯誤；對于D：，，又，，所以在區間上單調遞增，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則____________.〖答案〗〖解析〗結合題意可得：，因為，，所以，所以.故〖答案〗為：.13.在邊長為2的菱形中，分別為的中點，，則__________.〖答案〗〖解析〗記與交于點O，，由題知，①，在中，由余弦定理有②，聯立①②解得，所以，因為，所以，所以，以O為原點，所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知，當時，，則______.〖答案〗〖解析〗由，可得，所以函數周期，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為坐標原點，，，.（1）若三點共線，求實數的值；（2）若點滿足，求的最小值.解：（1）因為，，，所以，，又三點共線，所以，所以，解得.（2）因為，，所以，，所以，所以，所以當時.16.已知向量與的夾角為.（1）求的值；（2）若，求在上的投影向量的坐標.解：（1）因為向量與的夾角為，所以，所以.（2）由投影向量公式可得：.17.已知向量的夾角為.（1）求；（2）若存在實數，使得與的夾角為銳角，求的取值范圍.解：（1），因為，所以.（2）設與的夾角為，則且，故，且與不同向共線，，，故，且，解得且，故的取值范圍是.18.如圖，在梯形中，，，，點分別為線段，上的三等分點，點是線段上的一點.（1）求的值；（2）求的值；（3）直線分別交線段于M，N兩點，若