第二章有理數及其運算壓軸題考點訓練評卷人得分一、單選題1．﹣2的平方等于（）A．±4 B．2 C．﹣4 D．4【答案】D【分析】根據有理數的乘方的定義解答．【詳解】﹣2的平方是：4，故選：D．【點睛】本題考查了有理數的乘方，主要考查學生的計算能力和辨析能力．2．規定a※b=，則（-2）※=（

）A．12 B．12 C． D．【答案】C【分析】運用新定義運算法則進行計算．【詳解】解：（-2）※=，故C正確．故選：C．【點睛】本題屬于新定義運算，主要考查了有理數的混合運算，注意明確有理數混合運算順序（先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算）是解題關鍵．3．已知某種型號的紙100張的厚度約為1cm，那么這種型號的紙13億張的厚度約為（

）A．1.3×105km B．1.3×104km C．1.3×103km D．1.3×102km【答案】D【詳解】試題解析：根據題意得：13×108÷100÷105=1.3×102（km），故選D.4．若m與3互為相反數，則|m﹣3|的值為（

）A．0 B．6 C． D．【答案】B【分析】利用互為相反數兩數之和為0列出方程，求出方程的解即可得到m的值，再代入即可．【詳解】解：根據題意得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，把m＝﹣3代入|m﹣3|＝6，故選：B．【點睛】此題考查相反數及絕對值的問題，關鍵是互為相反數兩數之和為0．5．已知|a|＝5，|b|＝2，|a－b|＝b－a，則a＋b的值是（

）．A．－7 B．－3 C．－7或－3 D．以上都不對【答案】C【詳解】由絕對值的定義可知，正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0，本題中，|a|＝5，所以a=±5，|b|＝2，所以b=±2，又因為|a－b|＝b－a，所以a-b≤0，所以a≤b，a的取值只能為-5，當b=2時，a+b=-5+2=-3，當b=-2時，a+b=-5-2=-7．所以a＋b的值是－7或－3．故本題選C．6．下列說法正確的是（

）A．0是最小的整數B．若，則C．互為相反數的兩數之和為零D．數軸上兩個有理數，較大的數離原點較遠【答案】C【分析】根據各個選項中的說法可以判斷其是否正確，從而可以解答本題.【詳解】解：0不是最小的整數，故選項A錯誤，若，則，故選項B錯誤，互為相反數的兩個數的和為零，故選項C正確，數軸上兩個有理數，絕對值較大的數離原點較遠，故選項D錯誤，故選C.【點睛】本題考查了數軸、有理數，解題的關鍵是明確題意，可以判斷題目中的各種說法是否正確.7．如果，，是非零有理數，那么的所有可能的值為（

）．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，4【答案】D【分析】分類討論：①a、b、c均是正數，②a、b、c均是負數，③a、b、c中有一個正數，兩個負數，④a、b、c有兩個正數，一個負數，化簡原式即可去求解．【詳解】①a、b、c均是正數，原式==；②a、b、c均是負數，原式==；③a、b、c中有一個正數，兩個負數，原式==；④a、b、c中有兩個正數，一個負數，原式==；故選D．【點睛】本題考查了絕對值的化簡，關鍵是分情況討論，然后逐一求解．8．有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，且|a|＜|b|，下列各式中正確的個數是（）①a+b＜0；②b﹣a＞0；③；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點表示的數．原點左邊的數為負數，原點右邊的數為正數．從圖中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根據有理數的運算法則判斷即可．【詳解】根據數軸上a，b兩點的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，①根據有理數的加法法則，可知a+b＜0，故正確；②∵b＜a，∴b-a＜0，故錯誤；③∵|a|＜|b|，∴∵<0,，，根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小∴，故正確；④3a﹣b=3a+（-b）∵3a>0,-b>0∴3a﹣b>0，故正確；⑤∵﹣a>b∴-a﹣b>0.故①③④⑤正確，選C.【點睛】本題考查根據點在數軸的位置判斷式子的正負，本部分的題主要根據，數軸上左邊的點表示的數總比右邊的點表示的數要小，及有理數的運算規律來判斷式子的大小.評卷人得分二、填空題9．某種計算機完成一次基本運算的時間約為0.00000001s，把0.00000001s用科學記數法表示為．【答案】1×10-8.【詳解】試題解析：0.00000001=1×10-8.考點：科學記數法—表示較小的數．10．把下列各數﹣1.5，0，，2.5，﹣（﹣1），﹣|﹣4|按從小到大的順序用“”連接起來．【答案】【分析】根據有理數的大小比較，先計算便可比較了【詳解】解：

．【點睛】本題考查有理數的比較大小，負數小于0，0小于正數，掌握這個是關鍵．11．已知4個有理數：，在這4個有理數之間用“”連接進行四則運算，每個數只用一次，使其結果等于24，你的算法是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據“24點”游戲規則列出算式即可．【詳解】解：故答案為：（答案不唯一）【點睛】此題考查了有理數的混合運算，弄清“24點”游戲規則是解題的關鍵12．如圖1，在一條可以折疊的數軸上有A，B，C三點，其中點A，點B表示的數分別為－8和＋5，現以點C為折點，將數軸向右對折，點A對應的點落在B的右邊；如圖2，再以點B為折點，將數軸向左折疊，點對應的點落在B的左邊．若，B兩點之間的距離為1，設B，C兩點之間的距離為x，則x＝．【答案】6【分析】由折疊得，，根據，B兩點之間的距離為1，得出，再根據BC=求解即可．【詳解】解：由折疊得：，∵，B兩點之間的距離為1，∴，∵A表示-8，B表示+5，∴AB=5-(-8)=5+8=13，∴，∴，∴BC=，∴x=6故答案為：6．【點睛】本題考查了數軸表示數的意義，掌握數軸上兩點之間的距離公式是解決問題的關鍵．13．絕對值不大于4且絕對值大于1.5的所有整數和為..【答案】0【詳解】分析：根據絕對值的幾何意義進行分析解答即可.詳解：∵絕對值不大于4且絕對值大于1.5的所有整數是數軸上表示1.5的點到表示4的點（包括4）之間的所有整數，和數軸上表示-1.5的點到表示-4的點（包括-4）之間的所有整數，∴符合條件的整數有：2，3，4和-2，-3，-4共6個，∵-2+(-3)+(-4)+2+3+4=0.∴符合條件的所有整數的和為0.故答案為0.點睛：能根據：“一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離”找到所有符合條件的整數是正確解答本題的關鍵.14．已知，A、B、C三點在數軸上的位置如圖所示，將點A向右移動1個單位得到點B，將點B向右移動2個單位得到點C，點A、B、C所表示的有理數分別是a、b、c，且abc＞0，若這三個數的和與其中的一個數相等，則a的值為．【答案】﹣2或﹣【詳解】試題解析：設a的值為x，則b的值為x+1，c的值為x+3，當x+x+1+x+3=x時，x=﹣2，a=﹣2，b=﹣1，c=1，abc＞0，符合題意；當x+x+1+x+3=x+1時，x=﹣，a=﹣，b=﹣，c=，abc＞0，符合題意；當x+x+1+x+3=x+3時，x=﹣，a=﹣，b=，c=，abc＜0，不合題意，故答案為﹣2或﹣．15．已知有理數a、b表示的點在數軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】b+1【分析】根據圖示，可知有理數a，b的取值范圍b＞a，a＜-1，然后根據它們的取值范圍去絕對值并求|b-a|-|a+1|的值．【詳解】解：根據圖示知：b＞a，a＜-1，∴|b-a|-|a+1|=b-a-（-a-1）=b-a+a+1=b+1．故答案為：b+1．【點睛】本題主要考查了關于數軸的知識以及有理數大小的比較，絕對值的知識，正確把握相關知識是解題的關鍵．評卷人得分三、解答題16．暴雨天氣，交通事故頻發，一輛警車從位于一條南北走向的主干道上的某交警大隊出發，一整天都王這條主干道上執勤和處理事故，如果規定向北行駛為正，那么這輛警車這天處理交通事故行車的里程（單位：千米）如下：，，，，，，，，，．請問：(1)第幾個交通事故剛好發生在該交警大隊門口？(2)當交警處理完最后一個事故時，該警車在哪個位置？(3)如果警車的耗油量為每千米0.1升，那么這一天該警車從出發值勤到回到交警大隊共耗油多少？【答案】(1)第5個交通事故剛好發生在某交警大隊門口(2)當交警車輛處理完最后一個事故時，該車輛在交警大隊南邊6千米的位置(3)這一天該警車從出發值勤到回到交警大隊共耗油4.2升【分析】（1）處理交通事故行車的里程和為0時，表示交通事故剛好發生在某交警大隊門口；（2）求出處理交通事故行車的里程之和，即可得到答案；（3）求出警車從出發執勤到回到交警大隊所行駛的路程，再乘耗油量即可得到答案．【詳解】（1）∵，∴第個交通事故剛好發生在某交警大隊門口；（2）∵，∴當交警車輛處理完最后一個事故時，該車輛在交警大隊南邊千米的位置；（3）（升），答：這一天該警車從出發值勤到回到交警大隊共耗油升．【點睛】本題考查有理數的加法、有理數的乘法應用，解題的關鍵是掌握加法法則及理解正負數的意義．17．計算題．（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）5；（5）1【分析】（1）利用加法交換律和結合律進行簡便運算即可；（2）先算乘方，然后再按四則混合運算法則計算即可；（3）將寫成100-，然后再按乘法分配律解答即可；（4）直接運用法分配律解答即可；（5）先算乘方，然后再按四則混合運算法則計算即可．【詳解】解：（1）原式=；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數的四則混合運算和有理數的簡便運算，掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．18．已知：是最小的正整數，且滿足，請回答問題：（1）請直接寫出的值，_________，__________，_________．（2）所對應的點分別為，點在數軸上運動，點到點的距離是______，點到點的距離是__________，點到點的距離之和的最小值是_____．

（3）在（1）（2）的條件下，點開始在數軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，假設秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】（1）-1，1，5；（2）2，4，6；（3）不變，定值為2【分析】（1）根據b是最小的正整數，即可確定b的值，然后根據非負數的性質，幾個非負數的和是0，則每個數是0，即可求得a，c的值；（2）先根據數軸上兩點之間的距離可得點A到點B的距離以及點B到點C的距離，再根據絕對值的幾何意義回答即可；（3）先用t表示出BC和AB，從而得出BC-AB=2．【詳解】解：（1）∵是最小的正整數，∴b=1，∵，∴c-5=0，a+b=0，∴c=5，a=-1，故答案為：-1，1，5；（2）由題意可得：點A到點B的距離是1-（-1）=2，點B到點C的距離是5-1=4，當點P與點B重合時，點P到A、B、C三點的距離之和最小，且為：2+4+0=6，故答案為：2，4，6；（3）由題意可得：點B始終在點C左側，則t秒后，點A：-1-t，點B：1+2t，點C：5+5t，BC=5+5t-（1+2t）=3t+4，AB=1+2t-（-1-t）=3t+2，∴BC-AB=3t+4-（3t+2）=2，∴BC-AB的值不隨著時間的變化而改變，定值為2．【點睛】本題考查了絕對值與數軸，通過數軸把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注意培養數形結合的數學思想．19．已知：是最小的兩位正整數，且滿足，請回答問題：（1）請直接寫出的值：，=．（2）在數軸上所對應的點分別為A、B、C，點P為該數軸上的動點，其對應的數為，點P在點A與點C之間運動時（包含端點），則AP＝，PC＝．（3）在（1）（2）的條件下，若點M從A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點C移動，當點M運動到B點時，點N從A出發，以每秒3個單位長度向C點運動，N點到達C點后，再立即以同樣的速度返回點A，設點M移動時間為t秒，當點N開始運動后，請用含t的代數式表示M、N兩點間的距離．【答案】（1）a=-26，b=-10，c=1；（2）AP=m+26，PC=10-m；（3）分五種情況：①當16＜t≤24時，MN=-2t+48；②當24＜t≤28時，MN=2t-48；③當28＜t≤30時，MN=-4t+120；④當30＜t≤36時，MN=4t-120；⑤當36＜t≤40時，MN=3t-84.【分析】（1）根據題意可以求得a、b、c的值，從而可以解答本題；（2）根據數軸上兩點的距離公式：AB=xB-xA，可以表示AP和PC的長；（3）先計算t的取值，因為點M從A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點C移動，且AC=36，所以需要36秒完成，又因為當點M運動到B點時，即16秒后，點N從A出發，以每秒3個單位長度向C點運動，所以點N還需要運動24秒，所以一共需要40秒，再分別計算M、N兩次相遇的時間，分五種情況討論，根據圖形結合數軸上兩點的距離表示MN的長．【詳解】解：（1）∵c是最小的兩位正整數，a，b滿足（a+26）2+|b+c|=0，∴c=10，a+26=0，b+c=0，∴a=-26，b=-10，c=10，故答案為-26，-10，10；（2）∵點P為點A和C之間一點，其對應的數為x()，∴AP=m+26，PC=10-m；故答案為m+26，10-m；（3）點N運動的總時間為：2（36÷3）=12×2=24，此時，t=24+16=40，設t秒時，M、N第一次相遇，3（t-16）=t，t=24，分五種情況：①當16＜t≤24時，如圖1，M在N的右側，此時MN=t-3（t-16）=-2t+48，②當24＜t≤28時，如圖2，M在N的左側，此時MN=3（t-16）-t=2t-48，③M、N第二次相遇（點N從C點返回時）：t+3（t-16）=36×2，t=30，當28＜t≤30時，如圖3，點M在N的左側，此時MN=36×2-t-3（t-16）=-4t+120，④當30＜t≤36時，如圖4，點M在N的右側，此時MN=3（t-16）-36-（36-t）=4t-120，⑤當36＜t≤40時，如圖5，點M在點C處，此時MN=3（t-16）-36=3t-84，【點睛】本題考查非負數的性質、絕對值、數軸等知識，解題的關鍵是熟練掌握非負數的性質，絕對值的化簡，學會用參數表示線段的長，有難度，屬于中考常考題型．20．在數學活動中，小明為了求的值(結果用n表示)，設計如圖所示的幾何圖形．請你利用這個幾何圖形求的值．【答案】【分析】把一個面積為1的正方形分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形分成兩個面積為的正方形，再把面積為的正方形分成兩個面積為的三角形，…，由圖形揭示的規律進行解答即可得.【詳解】由圖可知，，，…，所以.【點睛】本題考查了規律題——圖形的變化類，認真觀察，通過計算從中發現規律是解題的關鍵.21．點在數軸上分別表示有理數兩點之間的距離表示為，在數軸上A、B兩點之間的距離．利用數形結合思想回答下列問題：(1)數軸上表示2和6兩點之間的距離是_______；數軸上表示1和的兩點之間的距離是_______．(2)若x表示一個有理數，則的最小值________．(3)若x表示一個有理數，且，則滿足條件的所有整數x的和為________．(4)若x表示一個有理數，當x為______，式子有最小值為________．【答案】(1)(2)(3)或0或1或2或3(4)3，6【分析】（1）數軸上兩點間的距離等于兩個數的差的絕對值；（2）根據絕對值幾何意義即可得出結論；（3）根據絕對值幾何意義即可得出結論；（4）式子可看作是數軸上表示的點到、3、4三點的距離之和，據此即可求解．【詳解】（1）解：數軸上表示2和6兩點之間的距離是，數軸上表示1和的兩點之間的距離是．故答案為：4，5；（2）解：根據絕對值的定義有：可表示為點到1與兩點距離之和，根據幾何意義分析可知：當在與1之間時，的最小值為5．故答案為：5；（3）解：當時，，解得：，此時不符合，舍去；當時，，此時或，，，；當時，，解得：，此時不符合，舍去．故答案為：或0或1或2或3；（4）解：式子可看作是數軸上表示的點到、3、4三點的距離之和，當為3時，有最小值，的最小值．故答案為：3，6．【點睛】考查了列代數式，絕對值，兩點間的距離公式，（4）中明確的幾何意義是解題的關鍵．22．如圖，已知數軸上點A表示的數為8，B是數軸上位于點A左側一點，且AB=22，動點P從A點出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數；點P表示的數（用含t的代數式表示）（2）若M為AP的中點，N為BP的中點，在點P運動的過程中，線段MN的長度是．（3）動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，若點P、Q同時出發，問多少秒時P、Q之間的距離恰好等于2？（4）動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發，問點P運動多少秒時追上點Q？【答案】(1)﹣14，8﹣5t；(2)11；(3)若點P、Q同時出發，2.5或3秒時P、Q之間的距離恰好等于2；(4)點P運動11秒時追上點Q．【分析】（1）根據已知可得B點表示的數為8-22；點P表示的數為8-5t；（2）分①當點P在點A、B兩點之間運動時，②當點P運動到點B的左側時兩種情況求MN的長即可；（3）點P、Q同時出發，設t秒時P、Q之間的距離恰好等于2，分①點P、Q相遇之前和②點P、Q相遇之后兩種情況列方程求解即可；（4）點P運動x秒時，在點C處追上點Q，則AC=5x，BC=3x，根據AC-BC=AB，列出方程求解即可．【詳解】(1)∵點A表示的數為8，B在A點左邊，AB=22，∴點B表示的數是8﹣22=﹣14，∵動點P從點A出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒，∴點P表示的數是8﹣5t．(2)①當點P在點A、B兩點之間運動時：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=×22=11，②當點P運動到點B的左側時：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=11，∴線段MN的長度不發生變化，其值為11．(3)若點P、Q同時出發，設t秒時P、Q之間的距離恰好等于2．分兩種情況：①點P、Q相遇之前，由題意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；②點P、Q相遇之后，由題意得3t﹣2+5t=22，解得t=3．答：若點P、Q同時出發，2.5或3秒時P、Q之間的距離恰好等于2；(4)設點P運動x秒時，在點C處追上點Q，則AC=5x，BC=3x，∵AC﹣BC=AB，∴5x﹣3x=22，解得：x=11，∴點P運動11秒時追上點Q．【點睛】本題考查了數軸與一元一次方程的應用，根據題意