2024年高考第二次模擬考試

高三數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號

填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.設集件Aln（x—3）隔{x|x<-l},則AUGR^）=（）

A.{x|-l<x<3}B,-1}c.{x\x<-l^x>i}D.

2.已知復數齊a+bi（QER,bcR且〃工匕），且連為純虛數，貝！J工二（）

z

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知向量M=（—2,4）,B=（u）,若M與5共線，則向量4+5在向量7=（0,1）上的投影向量為（）

A.]B,-]C.2jD.-2j

4.“ab>l”是（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.有甲、乙等五人到三家企業去應聘，若每人至多被一家企業錄用，每家企業至少錄用其中一人且甲、

乙兩人不能被同一家企業錄用，則不同的錄用情況種數是（）

A.60B.114C.278D.336

6.已知口。：％2+y2—2ax—2a—1=0,點尸（―3,0）,若口。上總存在"，N兩點使得UPMN為等

邊三角形，則。的取值范圍是（）

A.-^.,-1|u（-l,+oo）B.-oo,--uL+8）

c.(-00,-2]uh,+00)D.2,—1)U(—1,+℃)

7.已知AA3C中，ZBAC=6Q°,AB=2,。是邊BC上的動點.若PA，平面ABC,出=々，且尸。

與面ABC所成角的正弦值的最大值為則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

3

A.4兀B.6兀C.8KD.9兀

8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家.如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互

相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四

邊均與橢圓二+二=1相切，則下列說法錯誤的是（）

64

A.橢圓加的離心率為3

B.橢圓加的蒙日圓方程為歲+a=10

3

C.若G為正方形，則G的邊長為26D.長方形G的面積的最大值為18

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知拋物線C:山=6x的焦點為尸，過點F的直線交C于兩個不同點，則下列結論正確的是（）

A.的最小值是6B.若點尸仁司，則慳耳+慳尸|的最小值是4

C.向+向=3D.若慳斗|N尸|=18,則直線MN的斜率為±1

10.已知雙曲線E：上一二=1（。〉0）的左、右焦點別為F過點々的直線/與雙曲線E的右支相

成2122

交于己。兩點，則（）

A.若E的兩條漸近線相互垂直，則

B.若E的離心率為百，則E的實軸長為1

C,若/吁勺=90。,則歸葉歸馬=4

D.當。變化時，口勺尸。周長的最小值為8/

11.在棱長為2的正方體ABC。-A產F4中，E,尸分別是棱BCC3的中點，則（）

A.8。與EF是異面直線

11

B.存在點p,使得秒=2而，且5c〃平面AP8

11

c.A尸與平面5班所成角的余弦值為這

113

.4

D.點R到平面4環的距離為,

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

（2丫

12.若二項式x+-j=的展開式中二項式系數之和為64,則二項展開式中系數最大的項為

13.若函數/（Dax+sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實數。是.

14.若過點（0,1）的直線/自左往右交拋物線y=；X2及圓X2+G-=；于四點，貝|

44

\AB\+3\CD\的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知數列%｝的前w項和為S,且對于任意的“cN*都有居2。+1.

nnnn

（1）求數列3｝的通項公式；

n

（2）記數列3｝的前〃項中的最大值為“，最小值為優，令b=%+叱,求數列名｝的前20項

nnnnOn

16.（15分）燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的

燈珠為易損配件，該燈珠的零售價為4元/只，但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠，

該燈帶銷售老板為了給某顧客節省裝飾及后期維護的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內更

換的燈珠數量的數據，數據如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數量的頻率代替1條

燈帶更換的燈珠數量發生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在

安全使用壽命內更換的燈珠數量，，表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數量.

更換燈珠數量/只

8''一

7!!

61!

II

5|一；一；—IIII一

O102030405060燈帶/條

(1)求X的分布列；

(2)若滿足P(X2〃)<0.6的〃的最小值為〃屋求〃°；

(3)在燈帶安全使用壽命期內，以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據，比較注今-1與哪

種方案更優.

17.(15分)如圖，在三棱柱ABC—Cqq中，直線平面ABC,平面平面

⑴求證:AC_LBB[；

(2)若4cBC%2,在棱qq上是否存在一點p,使二面角尸-BC-q的余弦值為獨g?若存

BP

在,求才才的值;若不存在,請說明理由.

11

18.(17分)已知函數/(x)=\nx-x+a.

(1)若直線產(e-與函數/(%)的圖象相切，求實數〃的值；

(2)若函數g(x)=獷(x)有兩個極值點x和x,且x<x,證明：x+x>l+ln(f).(e為自然對數的底數).

121221x

19.(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書

中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點M與兩定點Q,P的距離之比

罌^=九(九〉0,九H1),九是一個常數，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已

知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為基+/=4,定點分別為橢圓C：上+