§2.7指數與指數函數

【考試要求】1.理解有理數指數幕的含義，了解實數指數幕的意義，掌握指數幕的運算性質.

2.通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性、特

殊點等性質，并能簡單應用.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.根式

⑴一般地，如果那么工叫做。的〃次方根，其中w>l,且〃GN*.

(2)式子《后叫做根式,這里〃叫做根指數，。叫做被開方數.

(3)(班)"=2

當"為奇數時，海=2,

當w為偶數時，皆5=101=

a,a<0.

2.分數指數幕

n

正數的正分數指數塞：a=y[a^(a>Ofm,〃￡N*,n>l).

,”11

正數的負分數指數累：an=-----=(〃>0,m,N*,n>l).

J版

0的正分數指數累等于0,0的負分數指數幕沒有意義.

3.指數基的運算性質

(。丁=貯；(abY^arbr(a>Q,b>0,r,sGQ).

4.指數函數及其性質

(1)概念：一般地，函數〉=優(。>0,且。W1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域

是R.

(2)指數函數的圖象與性質

a>l0<a<l

yiy=a'y=ax\y

圖象(0,1)

二工1X

定義域R

值域(0,+8)

過定點(0,1),即x=0時，y=l

當x>0時，y>l；當x<0時，y>l；

性質

當x<0時,0<y<l當x>0時,0<y<l

在(一8,+8)上是增函數在(一8,十8)上是減函數

【常用結論】

1.指數函數圖象的關鍵點(0,1),(1,a),(一1,5).

2.如圖所示是指數函數(l)y=〃，(2)y=7(3)y=cS(4)y=(f的圖象，則c＞d＞l＞4乂＞0,即在

第一象限內，指數函數y=/(a＞0,且的圖象越高，底數越大.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)^/(-4)4=-4.(X)

(2)2"0=2叱(X)

(3)函數—1的值域是(0,+°°).(X)

(4)若〃"＜。"(。乂)，且aWl),貝|機＜加(X)

【教材改編題】

1.已知函數和＞=24)都是指數函數，則a+6等于()

A.不確定B.0C.1D.2

答案C

解析由函數是指數函數，得a=l,

由＞=2，+占是指數函數，得6=0,所以a+b=l.

_2_

2.計算：27一§+(71—1)°—卜.

答案1

解析原式=3+1—3-2=3-2+1—3-2=1.

3.若指數函數五尤)=優(。＞0,且aWl)在［—1,1］上的最大值為2,則。=.

答案2

解析若。>1,則/(X)max=y(l)=a=2；若0<〃<1,則7(X)max=/(—1)=41=2,得〃=2.

■探究核心題型

題型一指數幕的運算

例1計算：

(〃>0,Z?>0).

=1+?2(l)2-10+33

=1+1-10+27=19.

33

23.Q萬

X2X

420.13_3

a歹

14

=2X100X8=25-

思維升華(1)指數森的運算首先將根式、分數指數賽統一為分數指數霹，以便利用法則計算,

還應注意:

①必須同底數幕相乘，指數才能相加.

②運算的先后順序.

(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.

跟蹤訓練1計算:

(1)Qa。Ja31\Na"

(2)0.0013―用+16%+(&詢6.

解(1)因為或與有意義，所以〃>0,

n~Jrzz_IT

所以原式=<3。2.〃23-a3=▽TR?=a：a=l.

13/J_J_A6

(2)原式=(10一31一1+Q4尸+22-33=10-l+8+23-32=89.

I)

題型二指數函數的圖象及應用

例2(1)(多選)已知非零實數a,b滿足3。=2〃，則下列不等關系中正確的是()

A.a<b

B.若。<0,則b<a<0

C.\a\<\b\

D.若0<tz<log32,貝!jab<ba

答案BCD

解析如圖，

由指數函數的圖象可知，0<a<b或者6<a<0,所以A錯誤，B,C正確；

D選項中，0<a<log32=0<a<b<l,則有a2a“<〃，所以D正確.

(2)若函數兀0=|2，—2|-6有兩個零點，則實數b的取值范圍是.

答案(0,2)

解析在同一平面直角坐標系中畫出y=[2￡—2|與y=b的圖象，如圖所示.

，當0<b<2時，兩函數圖象有兩個交點，從而函數Kx)=|2*—2|—b有兩個零點.

：.b的取值范圍是(0,2).

思維升華對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過

平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數。與1的大小關系不確定時應注意分類討論.

跟蹤訓練2（多選）函數加）=能”的圖象如圖所示，其中mb為常數,則下列結論正確的是

)

A.a>l

B.0<a<l

C.b>0

D.b<Q

答案BD

解析由函數4尤）=art的圖象可知，函數在定義域上單調遞減,

.,.031,故B正確；

分析可知，

函數>0）=戶”的圖象是由y=〃的圖象向左平移所得，如圖，

—b>0,b<0,故D正確.

題型三指數函數的性質及應用

命題點1比較指數式大小

例3設a=3°，7,6=2F4,C=9°-4,貝I]（）

A.b<c<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

答案D

解析匕=2一°4<2°=1,cugguBO、。?—與』1,

所以b<a<c.

命題點2解簡單的指數方程或不等式

例4（2023?青島模擬）已知y=4x—32t+3的值域為[1,7],則x的取值范圍是（）

A.[2,4]B.（—8,0）

C.（0,1）U[2,4]D.（—8,0]U[l,2]

答案D

解析：y=4x—3-2工+3的值域為口,7],

.?.lW4*—32'+3W7.

...一02弋1或2W2*W4.

.?.xWO或1WXW2.

命題點3指數函數性質的綜合應用

OX-LzyOX

例5已知函數7U)=。4工3為常數,且。力0,aGR),且於)是奇函數.

(1)求a的值；

(2)若Vxe[l,2],都有式2x)—成立，求實數相的取值范圍.

解⑴西)=卜2，+千，

因為火X)是奇函數，

所以八一x)=-/i>)，

所以《馬+2，=-七乂2葉劣，

所以七+1)(2葉3=0，

即5+1=0,解得。=—1.

⑵因為於)=q—2工,xe[i,2],

所以表一2噲〃佳一2)

所以〃后/+2”,%e[l,2],

令t=2，,02,4],

由于〉=f+:在[2,4]上單調遞增，

117

所以機24+耳=不.

思維升華(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，

比較大小還可以借助中間量.

(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最

值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷.

3X—1

跟蹤訓練3(1)(多選X2023?杭州模擬)已知函數次尤)=喬[下列說法正確的有()

A.式龍)的圖象關于原點對稱

B.八x)的圖象關于y軸對稱

C.段)的值域為(T,l)

危1)一危2)<0

D.▼元1，且X\W%2,

X\-X2

答案AC

3-x—13X—1

解析對于A中，由八-%)=3'+]=—3]+]=—八')‘可得函數八X)為奇函數，函數7(%)的

圖象關于原點對稱，故選項A正確，選項B錯誤；

對于C中，設'=￡1，可得3￡=罟，所以罟>0,即詈<0,解得一1勺<1，即函數次0

的值域為(一1,1),所以C正確；

>1)>2)

對于D中，對Vxi,X2GR,且X1W&,2<0,可得函數人尤)為減函數，

X\一X2

3X—12

而八X)=藜百=1一手令為增函數，所以D錯誤?

2

z1xax—4JH-3

(2)已知函數火x)=,若大x)有最大值3,則a的值為.

答案1

解析令8任)=加-4x+3,則式尤)=(；>⑺，

??V(x)有最大值3,；.g(x)有最小值一1,

a>09

則《3〃一4解得〃=1.

、a=f

課時精練

應基礎保分練

1.若m=q(7i-3)5,兀-4)、則機+〃的值為()

A.-7B.-1C.1D.7

答案C

解析根+〃=兀-3+|兀一4|=兀-3+4—7t=1.

2.已知指數函數加)=(2次一5〃+3)他在(0,+8)上單調遞增，則實數a的值為()

A.；B.1C.1D.2

答案D

解析由題意得2/—5〃+3=1,二.2〃-5〃+2=0,或〃=；.

當〃=2時，/)=2%在(0,+8)上單調遞增，符合題意;

當a=T時，兀0=&｝在（0,+8）上單調遞減，不符合題意.

.?.Q=2.

3.函數y=〃一1（4>0,且〃W1）的圖象可能是（）

答案D

解析當4>1時，0<5<1，函數丁="的圖象為過點（0,1）的上升的曲線，函數>=爐一（的圖象

由函數y=〃的圖象向下平移5個單位長度可得，故A,B錯誤;

當0<〃<1時，函數）=〃的圖象為過點（0,1）的下降的曲線，函數）="一（的圖象由函數

y=戶的圖象向下平移1個單位長度可得，故D正確，C錯誤.

11/+1

4.已知R+x2=5,則三?的值為（）

A.5B.23C.25D.27

答案B

(1j_A2

解析因為2=5,所以%2+%2=52,即x+冗一1+2=25,所以x+無r=23,

7

11

所以-x-=%+推=%+—1=23.

5.（多選X2023?泰安模擬）已知函數危）=|2%—1|,實數m滿足式。）=/3）（。〈份，貝!1（）

A.2a+2b>2

B.3a,6GR,使得0<a+6<l

C.2a+2b=2

D.a-\-b<Q

答案CD

解析畫出函數式x）=|2*-l|的圖象，如圖所示.

由圖知1-2。=2A-1,則2。+2）=2,故A錯，C對.

由基本不等式可得2=2。+2。>2#列=2聲赤，所以2。+々1,貝|〃+/?<0,故B錯，D對.

6.(2023?棗莊模擬)對任意實數〃>1,函數y=(〃-1)廠1+1的圖象必過定點A(m,〃)，/(x)=

(J｝的定義域為[0,2],g(x)=A2x)+/(x),則g(x)的值域為()

A.(0,6]B.(0,20]

C.[2,6]D.[2,20]

答案C

解析令X—1=0得％=1,y=2,即函數圖象必過定點(1,2),

所以m=l,n=2,

於)=0'=2*，由0WxW2,

.0W2xW2,

解得xd[0,l],

g(x)=/(2尤)+危)=2"+2工，令t=2*,

則>=?+/,￡[1,2],

所以8(力的值域為[2,6].

7.計算化簡：

￡_5

答案(1)0.09(2)*廣

0.09+|■一可=0.09.

2j_2_1_

_x1x_

a，京

2+l_l_21_1_2_1

^3233.^2333

1_5

=a^b彳

8.己知函數兀r)=3x+i—4x—5,則不等式兀r)<0的解集是.

答案(-1,1)

解析因為函數/(x)=3x+i—4x—5,

所以不等式八x)<0即為3#i<4x+5,

在同一平面直角坐標系中作出y=3"i,y=4x+5的圖象，如圖所示,

因為y=3刎,y=4x+5的圖象都經過A(l,9),

所以黃x)<0,即y=3#i的圖象在y=4x+5圖象的下方，

所以由圖象知，不等式五%)<0的解集是(一1,1).

9.已知定義域為R的函數應x)=〃一(左一1)晨％0>0,且是奇函數.

(1)求實數上的值；

(2)若五1)<0,判斷函數人尤)的單調性，若汽病—2)+向〃)>0,求實數機的取值范圍.

解(1)：八尤)是定義域為R的奇函數，

=/一(%—1)。°=1一(左一1)=。，

:.k=2,

經檢驗左=2符合題意，，攵=2.

(2)/(%)="一。一%3>0,且aWl),

??加)<0,

.,.<2—~<0,又〃>0,且aWl,

/.0<a<l,

從而丁="在R上單調遞減，在R上單調遞增，

故由單調性的性質可判斷人x)=爐一展”在R上單調遞減，

不等式大病―2)+犬根)>0

可化為危層―2)次一出)，

m2—2<—m,即m2+m—2<0,

解得一2〈根<1,

?,?實數m的取值范圍是(一2,1).

10.(2023?武漢模擬)函數危)=++爐+1(〃>0,且〃W1)在［—1,1］上的最大值為13,求實數Q

的值.

解由?X)=〃2%+優+1,

令戶=/,則介0,

則y=F+r+l=Q+￡）2+*

其對稱軸為?=—

該二次函數在［―今十8）上單調遞增.

①若由xG［—1.1］,得/=優｛5，a,

故當t=a,即x=l時，

ymax=〃2+〃+l=13,解得〃=3或Q=—4（舍去）.

②若0*<1,由

可得/=爐6［。，-J,

故當t=af即x=—1時，

ymax=（￡k!+l=13.

解得a=g或a=—/舍去）.

綜上可得，。=3或;.

會合提升練

11.（多選）（2022?哈爾濱模擬）已知函數本）=。@>1+6的圖象經過原點，且無限接近直線y

=2,但又不與該直線相交，則下列說法正確的是（）

A.a+b=0

B.若/（x）=/U）,且xWy,則x+y=0

C.若x<y<0,貝勺U）

D.八工）的值域為［0,2）

答案ABD

解析..?函數八為=。自兇+b的圖象過原點，

.,.a+b=0,即b=-a,於）=0（9"一°,

且式x）的圖象無限接近直線y=2,但又不與該直線相交，

:.b=2,。=一2,凡行=一2-&|禺+2,故A正確；

由于犬尤）為偶函數，故若/（x）=/i>）,且尤Wy,

則％=—y,即x+y=O,故B正確；

由于在(一8,0)上，八x)=2—2?2”單調遞減，

故若x<y<0,則八x)/y),故C錯誤；

噌吐(。/]，

/.?=-2-^+2e[0,2),故D正確.

12.(2022?長沙模擬)若e，-eN=e,無，ydR,則2x—y的最小值為

答案1+21n2

解析依題意，e%=e〉+e,e'O,

P2x2+/P2/~3

則匕及一，=丁=———=ey+~+2e2A/ey-77+2e=4e,

e7e7xj

當且僅當e>=9,即y=l時取“=”，

此時，(2元一y)min=l+21n2,

所以當x=l+