2022北京西城高二（下）期末數學一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．若a，b，c成等差數列，則()A．2b=a+c2．函數B．2b=acC．b2=a+cD．bD．2=在x2處的瞬時變化率為（B．﹣4）A．﹣2C．3．將一枚均勻硬幣隨機投擲4次，恰好出現2次正面向上的概率為()1438125A．B．C．D．84．已知函數f(x)=sinx+x，f(x)為f(x)的導函數，則()A．f(x)f(x)2sinx+=B．f(x)+f(x)=2x?=?C．f(x)f(x)2sinxD．f(x)?f(x)=2x5．在等比數列a}中，a=4，a=1，則a=()n153A4B．4C．2D．26．若等差數列a}滿足a0，a+a0，則當a}的前n項和最大時，n=()n8710nA77．設函數f(x)=axB．8C．9D10的圖象過點(，3+bx2+4x的極小值為?8，其導函數yf(x)=如圖所示，則f(x)=()2A．?x3?x2+4xB．?x3?2x+x22+4x+4x3C．?x3+4xD．2x38．在等比數列a}中，a=8，a=?1．記T=aa1，2，，則數列n}(B．有最大項，無最小項D．無最大項，無最小項)n14n12A．有最大項，有最小項C．無最大項，有最小項9．數列a}的通項公式為a=n2?2n(n=．若an}為遞增數列，則的取值范圍是()nn33A．，+)B．(,+)C．(，D．(?,)2210．設P為曲線y=ex上一點，Q為曲線y=lnx上一點，則||的最小值為()2A．B．1C．2D22二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。lnx5分）設函數f(x)=，則f（1）=．x125分）已知隨機變量X的分布列如下：X012pP0.40.4則p=；D(X)=．135分）若曲線y=a?x+bx在x=2處的切線方程為y=(e?x+4，則a=；b=．145分）已知a}是公比為q的等比數列，其前n項和為S．若S=5S，則q=．nn42155分）已知正方形ABCD的邊長為1．取正方形ABCD各邊的中點A，B，C，D，作第2個正方形1111ABCD；然后再取正方形ABCD各邊的中點A，B，C，D，作第3個正方形ABCD；，依此方法一1111111122222222直繼續下去．給出下列四個結論：①從正方形ABCD開始，所有這些正方形的周長依次成等差數列；②從正方形ABCD開始，所有這些正方形的面積依次成等比數列；③從正方形ABCD開始，所有這些正方形周長之和趨近于8；④從正方形ABCD開始，所有這些正方形面積之和趨近于2．其中所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16分）已知函數f(x)=(x?e（Ⅰ）求f(x)的極值；x．（Ⅱf(x)在區間[?1，2]上的最大值和最小值．17分）在等差數列a}中，a=3，a=7．n24（Ⅰ）求an}的通項公式；（Ⅱ）若b?a}是公比為2的等比數列，b=3，求數列b}的前n項和S．nn1nn18分）某單位有A，B兩家餐廳提供早餐與午餐服務，甲、乙兩人每個工作日早餐和午餐都在單位用餐，近00個工作日選擇餐廳用餐情況統計如下（單位：天）:選擇餐廳（早餐，午餐）(,)(,B)(B,)(B,B)甲乙3020202540151040假設用頻率估計概率，且甲、乙選擇餐廳用餐相互獨立．（Ⅰ）估計一天中甲選擇2個餐廳用餐的概率；（ⅡX為一天中甲用餐選擇的餐廳的個數與乙用餐選擇的餐廳的個數之和，求X的分布列和數學期望E(X)；（Ⅲ）判斷甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，哪位更有可能在午餐選擇B餐廳用餐？說明理由．19分）設某商品的利潤只由生產成本和銷售收入決定．生產成本C（單位：萬元）與生產量x（單位：百件）間的函數關系是C(x)=10000+20x；銷售收入S（單位：萬元）與生產量x間的函數關系是1?x3+3x+290x,0x1202S(x)=30．x120（Ⅰ）把商品的利潤表示為生產量x的函數；（Ⅱ）為使商品的利潤最大化，應如何確定生產量？20分）已知函數f(x)=x?lnx．（Ⅰ）判斷f(x)在區間上的單調性，并加以證明；（Ⅱa0，若f(e?)x對x+)恒成立，求a的最小值．21分）已知a}是公差不為0的無窮等差數列．若對于a}中任意兩項a，a，在a}中都存在一項a，使nnmnni得a=aa，則稱數列a}具有性質P．imnn（Ⅰ）已知a=3n，b=n+2(n=1，，，判斷數列a}，b}是否具有性質P；nnnn（Ⅱ）若數列a}具有性質P，證明：a}的各項均為整數；nn（Ⅲa=20，求具有性質P的數列a}的個數．1n參考答案一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1a，b，c成等差數列，得b?a=c?b，由此能求出結果．【解答】解：a，b，c成等差數列，b?a=c?b，整理得2b=a+c．故選：A．【點評】本題考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．【分析】利用導數的定義求解．【解答】解：（x）＝﹣，由導數的定義可知函數在＝2處的瞬時變化率為2）＝﹣，故選：D．【點評】本題主要考查了導數的定義，屬于基礎題．34次，利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率計算公式能求出恰好出現2次正面向上的概率．【解答】解：將一枚均勻硬幣隨機投擲4次，恰好出現2次正面向上的概率為：1138p=C42()2?)2=．22故選：B．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率計算公式的合理運用．4【解答】解：f(x)=sinx+x，f(x)=x?sinx，f(x)+f(x)=2x，A錯誤，B正確；f(x)?f(x)=2sinx，C、D錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查導數的基本運算，比較基礎．5【解答】解：在等比數列a}中，a=4，a=1，n153=aa=4，且a，a，a同號，151352則3=2．故選：C．【點評】本題考查等比數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6an}8項為正數，從第9項開始為負數，由此能求出結果．【解答】解：等差數列a}滿足a+a0，n710a+a=a+a0，89710，a0，a?a=d0，998等差數列an}的前8項為正數，從第9項開始為負數，當n}的前n項和最大時n的值為8．故選：B．【點評】本題考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．=2+bx+4，根據所過的點可得b=3a+1，結合圖象求出極小值點并代入f(x)求參7f(x)ax數，即可得解析式，注意驗證所得參數是否符合題設．=2+bx+4，【解答】解：由題設，f(x)ax則f(2)12ab40，故b3a+1，?==?+==2+a+x+4=ax+2)(x+2)，所以f(x)ax2令f(x)0，可得x=?2或x=?=，a由圖知a0且x=?2處有極小值，所以?8a+4b?8=?8，即a=?1，b=?2，經驗證滿足題設，=?故f(x)故選：B．x3?2x+4x．2【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性與極值，考查了數形結合思想，屬基礎題．8a}的公比，即可得a}的通項公式，由此可得T的表達式，分n為偶數和奇nnn數兩種情況討論，分析可得答案．【解答】解：根據題意，設等比數列an}的公比為q，41112若a=8，a=?1，則q3==?，解可得q=?，14812則n1=qn1=8(?)n1=(n124?n，n(nn(7?n)故T=aa122，22nn(7?n)分析可得：當n為偶數時，n為正，當n=4時，2最大，此時n取得最大值，2n(7?n)當n為奇數時，n為負，當n=3時，2故選：A．最大，此時n取得最小值，2【點評】本題考查等比數列的性質，注意等比數列的通項公式，屬于基礎題．9n1?n=(n+?2(n+?n+2n=2n+1?20，變形分析可得答案．【解答】解：根據題意，數列n}的通項公式為n22=n2?2n(n=，則n1n(n?=+2?2(n+=+?0，+?n22n2n122n+1變形可得：，233又由n=1、2、3，必有，即的取值范圍為(?,)；22故選：D．【點評】本題考查數列的函數的特性，涉及數列的單調性，屬于基礎題．10y=x對稱，求||的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，再由點到直線的距離公式求解．【解答】解：曲線y=e與曲線y=lnx互為反函數，其圖象關于y=x對稱，x故可先求點P到直線yx的最近距離d，設曲線y=e上斜率為1的切線為y=x+b，，由e=1，得x=0，故切點坐標為，即b=1，=xx12d==，212+122|PQ|的最小值為2d=2故選：C．=2，2【點評】本題考查互為反函數的函數圖象的對稱性以及導數的幾何意義，考查曲線的切線方程的求法，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。f(x)，再求f（1．lnxx?lnx1?lnx1?1【解答】解：f(x)=故答案為：1=，f（）==1x2x21【點評】本題考查函數求導運算，屬于基礎題．12p，然后求解期望和方差即可．【解答】解：由題意可得：0.4+p+0.4=1，可得p=，所以E(X)=00.4+10.2+20.4=1，所以D(X)0.4(0=?2+0.2?2+0.4(2=0.8．?2故答案為：0.2；0.8．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列的性質以及方差的求法，是基礎題．13x=2處的導數值等于切線的斜率，且函數在x=2處的函數值相等，列方程組求解a與b的值．【解答】解：由y=a?x+bx，得y=ea?x?xea?x+b，曲線y=a?x+bx在x=2處的切線方程為，y=(e?x+42ea?2b2(e+4+=?，解得a=2，b=e．ea?2?ea?2+b=e?1故答案為：2；e．【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是中檔題．1?q1?q4)1?q)1?q214n項和公式可得=5，解可得答案．【解答】解：根據題意，等比數列a}中，若S=5S，其公比q1，n421?q1?q4)1?q)1?q2則有=5，解可得q=2，故答案為：2．【點評】本題考查等比數列的求和，涉及等比數列的性質，屬于基礎題．15n項和公式和極限思想判斷周長、面積之和的極限值．【解答】解：由題意，第1個正方形邊長為1，則周長為，面積為1；212第2個正方形邊長為，則周長為22，面積為；211第3個正方形邊長為，則周長為2，面積為；24221n12第n個正方形邊長為()n1，則周長為4()n1，面積為()，22周長、面積均依次成等比數列，①錯誤，②正確；24?(n)]22所有正方形周長之和為=4(2+?(n)]，故周長之和無限接近于4(2+2)，③錯誤；221?211?()n12所有正方形面積之和為故答案為：②④．=?()n]，故面積之和趨近于，④正確．121?2【點評】本題考查了等比數列前n項和公式和極限思想，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16Ⅰ）求出導函數f(x)，由導數與單調性的關系求出單調區間，從而可得極值；（Ⅱ）由（1f(x)在區間[1，2]上的單調性，計算極值與區間端點處的函數值，從而可得最值．?）f(x)=ex+(xe=?xx，當x0時，f(x)0，f(x)單調遞增，當x0時，f(x)0，f(x)單調遞減，所以f(x)的極小值為f(0)=?1，無極大值．（Ⅱ）由（1f(x)在[1，0)上單調遞減，在(0，?2]上單調遞增，2f(0)=?1，f(=?，f（2）=e2，e所以最大值為e2，最小值為1．【點評】本題主要考查利用導數研究函數的極值與最值，考查運算求解能力，屬于基礎題．1+d=317Ⅰ）直接利用等差數列的性質建立方程組，求出首項和公差，進一步求出數列的通項公1+d=7式；（Ⅱ）利用分組法的應用求出數列的和．）等差數列a}中，a=3，a=7，n24設首項為1，公差為d，a=a+d=3所以21，解得1=1d=2，a=a+d=741故n=1+2(n?=2n?1；（Ⅱ）由于b?a}是公比為2的等比數列，b=3，nn1故nn=32?n1，整理得n(2n+32=?n1，(2?n所以Sn+3+5+...2n3(2=+?+0+21+...+2n1)=n2+3=n2+32?．n321?【點評】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法，數列的求和，分組法的求和，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題．18Ⅰ）由統計圖表得出一天中甲選擇2個餐廳用餐的天數，然后計算概率；（Ⅱ）得出X的可能值是3，4，計算出概率得分布列，由期望公式計算期望．（Ⅲ）直接由統計圖表計算甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，午餐選擇B餐廳用餐的概率，比較即得．60）由統計圖表，一天中甲選擇2個餐廳用餐的天數為，概率為P==0.6；100（Ⅱ）易知X的可能值是3，4，4060P(X=2)=P(X==P(X=4)==0.24，10010040406060+=0.52，1001001001006040=0.24，100100X的分布列為XP2340.240.520.24E(X)=20.24+30.52+40.24=3．（Ⅲ）甲在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為1==0.4，254559乙在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為2=所以乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐．=0.4，【點評】本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，概率統計的實際應用等知識，屬于中等題．19(I)利用W(x)=S(x)?C(x)求出利潤函數即可；(II)利用導數求W(x)在0x120上的最大值，由一次函數單調性求x上的最大值，比較大小，即可確定利潤最大時的生產量．1?x3+3x+270x?10000,0x1202【解答】解：(I)由題意，利潤W(x)=S(x)?C(x)=30．15400?20x,x1(II)由（1當0x120時，W(x)=?x3+3x2+270x?10000，3011所以W(x)=?x2+6x+270=?(x?90)(x+30)，令W(x)=0，則x=90或x=?30（舍)，1010故x(0,90)，W(x)0，即W(x)遞增；x，W(x)0，即W(x)遞減；所以W(x)的極大值也是最大值為W=14300當x時，W(x)遞減，此時最大值為W=13000綜上，使商品的利潤最大，產量為百件．【點評】本題考查函數的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．20Ⅰf(x)求導，利用導數的正負判斷函數的單調性；1（Ⅱ）先判斷出0e?x1，0xa1，結合（Ⅰ）中f(x)的單調性，將f(e?x)對x+)恒成立，等價exx轉化為a對x+)恒成立，令g(x)=?，利用導數求出g(x)的最大值即可得解．lnx）f(x)在區間上單調遞減，證明如下：1x?1因為f(x)=1?=，且x，xx所以f(x)0，所以f(x)在區間上單調遞減．1（Ⅱ）因為x+)，所以0e?x1，e又因為當a0，x+)時，0xa1，由（Ⅰf(x)=x?lnx在區間上單調遞減，所以f(e?等價于e?x)對x+)恒成立，x對x+)恒成立，x等價于lne?令g(x)=?x對x+)恒成立，即alnx+1對恒成立，x+)nxx，x+)，則g(x)=，lnx2lnx令g(x)=0，得xe，=所以當xe)時，g(x)0，g(x)單調遞增，當x(,+)時，g(x)0，g(x)單調遞減，e所以g(x)max=g（e）=?=?e，lne所以e?，所以a的最小值為e．?【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．21Ⅰ）根據數列an}具有性質P的定義即可求解；（Ⅱ）設數列a}的公差為d，由題意，存在a使得a=aa，同理，存在a使得a=aa，兩式相減，根據等niinn1jjnn+2差數列的定義即可得證；（Ⅲ）由題意結合（）知a}的各