用待定系數法求二次函數的解析式導入新課復習引入1.一次函數y=kx+b(k≠0)有幾個待定系數？通常需要已知幾個點的坐標求出它的表達式？2.求一次函數表達式的方法是什么？它的一般步驟是什么？2個2個待定系數法(1)設：（表達式）(2)代：（坐標代入）(3)解：方程（組）(4)還原：（寫表達式）一般式法二次函數的表達式一探究歸納問題1

（1）二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)中有幾個待定系數？需要幾個拋物線上的點的坐標才能求出來？3個3個（2）下面是我們用描點法畫二次函數的圖象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15講授新課解：設這個二次函數的表達式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①選取（-3，0），（-1，0），（0，-3），試求出這個二次函數的表達式.

9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函數的表達式是y=-x2-4x-3.待定系數法步驟：1.設：（表達式）2.代：（坐標代入）3.解：方程（組）4.還原：（寫解析式）這種已知三點求二次函數表達式的方法叫做一般式法.其步驟是：①設函數表達式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數用數字換掉，寫出函數表達式.歸納總結一般式法求二次函數表達式的方法例1

一個二次函數的圖象經過(0,1)、(2,4)、(3,10)三點，求這個二次函數的表達式.解：設這個二次函數的表達式是y=ax2+bx+c,由于這個函數經過點(0,1)，可得c=1.又由于其圖象經過(2,4)、(3,10)兩點，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解這個方程組，得∴所求的二次函數的表達式是頂點法求二次函數的表達式二

選取頂點（-2，1）和點（1，-8），試求出這個二次函數的表達式.解：設這個二次函數的表達式是y=a(x-h)2+k,把頂點（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得

y=a(x+2)2+1，再把點（1，-8）代入上式得

a(1+2)2+1=-8，

解得a=-1.∴所求的二次函數的表達式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.歸納總結頂點法求二次函數的方法這種知道拋物線的頂點坐標，求表達式的方法叫做頂點法.其步驟是：①設函數表達式是y=a(x-h)2+k；②先代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；③將另一點的坐標代入原方程求出a值；④a用數值換掉，寫出函數表達式.例2

一個二次函數的圖象經點(0,1)，它的頂點坐標為(8,9)，求這個二次函數的表達式.解：因為這個二次函數的圖象的頂點坐標為(8,9)，因此，可以設函數表達式為

y=a(x-8)2+9.又由于它的圖象經過點(0,1)，可得

0=a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函數的解析式是

解：∵（-3，0）（-1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點.所以可設這個二次函數的表達式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2為交點的橫坐標.因此得

y=a(x+3)(x+1).再把點（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函數的表達式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.選取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試出這個二次函數的表達式.

交點法求二次函數的表達式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512歸納總結交點法求二次函數表達式的方法

這種知道拋物線與x軸的交點，求表達式的方法叫做交點法.其步驟是：①設函數表達式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把兩交點的橫坐標x1,x2代入到表達式中，得到關于a的一元一次方程；③將方程的解代入原方程求出a值；④a用數值換掉，寫出函數表達式.想一想確定二次函數的這三點應滿足什么條件？任意三點不在同一直線上（其中兩點的連線可平行于x軸，但不可以平行于y軸.特殊條件的二次函數的表達式四例3.已知二次函數y＝ax2＋c的圖象經過點(2,3)和(－1,－3)，求這個二次函數的表達式．

解:∵該圖象經過點（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數表達式為

y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{關于y軸對稱已知二次函數y＝ax2＋bx的圖象經過點(－2，8)和(－1，5)，求這個二次函數的表達式．

解:∵該圖象經過點（-2,8）和（-1,5），做一做圖象經過原點8=4a-2b，5=a-b，∴{

解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.當堂練習1.如圖，平面直角坐標系中，函數圖象的表達式應是

.

注

y=ax2與y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一樣都是頂點式，只不過前三者是頂點式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-13452.過點（2，4），且當x=1時，y有最值為6，則其表達式是

.頂點坐標是（1，6）y=-2(x-1)2+63.已知二次函數的圖象經過點(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求這個二次函數的表達式．解：設這個二次函數的表達式為y＝ax2＋bx＋c．依題意得∴這個二次函數的表達式為y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，4.已知拋物線與x軸相交于點A(－1，0)，B(1，0)，且過點M(0，1)，求此函數的表達式．解：因為點A(－1，0)，B(1，0)是圖象與x軸的交點，所以設二次函數的表達式為y＝a(x＋1)(x－1)．又因為拋物線過點M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求拋物線的表達式為y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.5.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(－4，－3)，與y軸交于點B，對稱軸是x＝－3，請解答下列問題：(1)求拋物線的表達式；解：(1)把點A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵對稱軸是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的表達式是y＝x2＋6x＋5；(2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD＝8，求△BCD的面積．(2)∵CD∥x軸，∴點C與點D關于x＝－3對稱．∵點C在對稱軸左側，且CD＝8，∴點C的橫坐標為－7，∴點C的縱坐標為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵點B的坐標為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝×8×7＝28.課堂小結①已知三點坐標②已知頂點坐標或對稱軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個交點已知條件所選方法用一般式法：y=ax2+bx+c用頂點法：y=a(x-h)2+k用交點法：y=a(x-x1)(x-x2)

(x1,x2為交點的橫坐標）待定系數法求二次函數解析式解：設所求二次函數為

由已知，函數圖象經過（-1，10），（1，4），（2，7）三點，

例1如果一個二次函數的圖象經過（-1，10），（1，4），（2，7）三點，試求出這個二次函數的解析式.得關于a，b，c的三元一次方程組解這個方程組，得所求二次函數為

例1如果一個二次函數的圖象經過（-1，10），（1，4），（2，7）三點，試求出這個二次函數的解析式.

例2已知二次函數圖象的頂點為（3，-4），與y軸的交點為（0，2），求這個二次函數的解析式.解：設所求二次函數為

y=ax2+bx+c.由已知，與y軸的交點為（0，2），由已知，頂點為（3，-4），得c=2.得解這個方程組，得把c=2代入方程組所求二次函數為

例2已知二次函數圖象的頂點為（3，-4），與y軸的交點為（0，2），求這個二次函數的解析式.解：設所求二次函數為由已知，頂點為（3，-4），則二次函數為方法二

例2已知二次函數圖象的頂點為（3，-4），與y軸的交點為（0，2），求這個二次函數的解析式.二次函數為由已知，與

y軸的交點為（0，2），解得所求二次函數為

得

例2已知二次函數圖象的頂點為（3，-4），與y軸的交點為（0，2），求這個二次函數的解析式.

例3已知二次函數

y＝ax2＋bx＋c中自變量

x與函數值

y的部分對應值如下表，求二次函數的解析式.解：設所求二次函數為

y＝ax2＋bx＋c.解：設所求二次函數為

y＝ax2＋bx＋c.

方法二由已知，過點（0，-2），解：設所求二次函數為

y＝ax2＋bx＋c.

c=-2.則二次函數為

y＝ax2＋bx-2.

得所求二次函數為由于過點（-1，-2），（1，0），解得得對稱軸為直線頂點為解：設所求二次函數為由于頂點為則二次函數為方法三由已知，過點（1，0），解得所求二次函數為得對稱軸為直線

例4已知二次函數的最小值為-4，它的圖象經過點（-2，0）與（6，0），求這個二次函數的解析式.則拋物線的對稱軸為直線.解：由已知，由已知，最小值為

-4

，得到拋物線的頂點為（2，-4

）.（-2，0）與（6，0）是一對對稱點，

例4已知二次函數的最小值為-4，它的圖象經過點（-2，0）與（6，0），求這個二次函數的解析式.設所求二次函數為由于過點（6，0），得所求二次函數為解得頂點（

2，-4

）

例4已知二次函數的最小值為-4，它的圖象經過點（-2，0）與（6，0），求這個二次函數的解析式.由已知，當自變量x=-4時，函數值y=-2，

由已知，當x=-5與x=1時，所對應的函數值相等，解：得得

例5已知二次函數

y＝x2＋bx＋c中，當自變量

x=-4時，函數值

y=-2，當

x=-5與

x=1時，所對應的函數值相等.求這個二次函數的解析式.解得所求二次函數為

例5已知二次函數

y＝x2＋bx＋c中，當自變量

x=-4時，函數值

y=-2，當

x=-5與

x=1時，所對應的函數值相等.求這個二次函數的解析式.

例6已知一條拋物線的對稱軸是

x=1，且經過（4，5）與（-1，0）兩點，求這條拋物線的解析式.解：設所求二次函數為由已知，得關于a，b，c的三元一