第二十章數據的分析—八年級下學期人教版期末復習知識大盤點第一步：學習目標整合1.數據的集中趨勢（1）理解平均數、中位數、眾數的意義（2）會計算一組數據的加權平均數、中位數、眾數、能選擇適當的統計量表示數據的集中趨勢（3）會用樣本平均數估計總體平均數2.數據的波動程度（1）理解方差的統計意義，會計算簡單數據的方差（2）會用樣本方差估計總體方差，體會用樣本估計總體的思想第二步：思維導圖回顧知識第三步：重難知識易混易錯全面調查與抽樣調查全面調查抽樣調查定義考查全體對象的調查叫做全面調查只抽取一部分對象進行調查，然后根據調查數據推斷全體對象的情況，這種方法稱為抽樣調查方法問卷調查、訪問調查、電話調查等（1）簡單隨機抽樣；（2）分層抽樣適用范圍當調查范圍小、調查不具有破壞性、數據要求準確全面時，一般采用全面調查當調查對象涉及面大、范圍廣，受條件限制或具有破壞性時，一般采用抽樣調查優點（1）結果準確；（2）能全面了解數據（1）調查范圍小；（2）節省時間、人力、物力；（3）受限制少缺點（1）調查范圍廣，工作量大；（2）受客觀條件限制（1）結果不如全面調查準確；（2）不能全面了解數據算術平均數算術平均數：一般地，如果有個數，那么我們把叫做這個數的算術平均數，簡稱平均數，記作，則.【注意】（1）一組給定的數據的平均數是唯一的；（2）平均數的大小與所給數據里的每個數據都有關，其中任何一個數據的變動都會引起平均數的變動.（3）平均數的單位與原數據的單位一致.【重點】平均數的性質若一組數據的平均數為，則（1）數據的平均數為；（2）數據的平均數為；（3）數據的平均數為.加權平均數（1）一般地，若個數的權分別是，則叫做這個數的加權平均數.（2）在求個數的平均數時，如果出現次，出現次，···，出現次（這里），那么這個數的平均數也叫做這個數的加權平均數，其中分別叫做的權.【注意】（1）加權平均數的單位與原數據的單位一致；（2）當一組數據中某些數據重復出現時，一般選用加權平均數公式來求平均數；（3）在加權平均數公式中，分子是各數據與其權乘積的和，分母為權的和.用樣本平均數估計總體平均數1.組中值：數據分組后，一個小組的兩個端點的數的平均數叫做這個小組的組中值.2.用樣本的平均數估計總體的平均數：當所要考查的對象很多，或者對考查對象帶有破壞性時，統計中常常通過用樣本估計總體的方法來獲得對總體的認識.例如，實際生活中經常用樣本的平均數來估計總體的平均數.中位數將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則稱處于中間位置的數為這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則稱中間兩個數據的平均數為這組數據的中位數.【注意】（1）確定中位數時，一定要按照大小排序；（2）一組數據的中位數時唯一的，它可能是這組數據中的某個數，也可能不是這組數據中的數；（3）中位數的單位與原數據的單位一致.眾數一組數據中出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數.【注意】（1）眾數是一組數據中出現次數最多的數據，而不是數據出現的次數.（2）眾數的單位與原數據的單位一致.（3）眾數可能是一個或多個.在一組數據中，當出現次數最多的數據只有一個時，這組數據的眾數只有一個；當出現次數最多的數據不止一個時，這組數據的眾數就有多個；當每個數據出現的次數相同時，這組數據就沒有研究眾數的必要了.方差1.方差的概念：設有個數據，各數據與它們的平均數的差的平方分別是，我們用這些值的平均數來衡量這組數據波動性的大小，并把它叫做這組數據的方差，記作.2.方差的計算公式：若個數據的平均數為，則方差.3.求方差的一般步驟：①求原始數據的平均數；②求原始數據中各數據與平均數的差；③將所得的差分別平方；④求③中所得數據的平均數.4.方差的意義：方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小.【重點】（1）方差是用來描述一組數據中的每一個數據與這組數據的平均數的偏離程度的量.經常用方差的大小來判斷數據的穩定性.（2）當兩組數據的個數相等、平均數相等或比較接近時，通過比較兩組數據的方差來說明數據的穩定性.（3）方差的單位是原始數據單位的平方，只是一個單位，并無實際意義.極差、平均差、標準差1.極差：一組數據中最大值與最小值的差稱為這組數據的極差.2.平均差：一組數據中各個數據與其平均數的差的絕對值的平均數叫做這組數據的平均差，即平均差.3.標準差：標準差是方差的算術平方根，即.題型1平均數的計算與應用解題通法：求一組數據的平均數的兩種方法（1）定義法：表示這組數據的平均數，其中n表示數據的總個數，表示各個數據.（2）新數據法：當所給數據都在某個常數附近波動時，通常取接近這組數據的平均數的較“整”的數a，計算各數據與a的差，分別得到，則有.1.為了解同學們在家里的勞動情況，老師調查了全班學生在一周內的參與家庭勞動次數，調查結果如下表，那么一周內該班學生的平均勞動次數為()參與次數45678人數7612105A.4 B.5 C.6 D.72.在2023年貴州某大學數學與統計學院的研究生入學考試中，三名考生甲、乙、丙在筆試、面試中的成績（百分制）如下表所示，你覺得被錄取的考生是()考生筆試（40%）面試（60%）甲8090乙9080丙8585A.甲 B.乙 C.丙 D.無法判斷題型2中位數、眾數的確定與應用3.小明所在班級部分同學身高情況統計如下：身高/cm160161162163164165人數4661141則這組統計數據的中位數、眾數分別為()A.163，163 B.163，162 C.162，162.5 D.162.5，1634.某健步走運動愛好者用手機軟件記錄了某個月（30天）每天健步走的步數（單位：萬步），將記錄結果繪制成了如圖所示的統計圖.在每天所走的步數這組數據中，眾數和中位數分別是()A.1.2，1.3 B.1.3，1.3 C.1.4，1.35 D.1.4，1.35.一組數據6，8，10，x的中位數與平均數相等，則x的值不可能是()A.4 B.6 C.8 D.12題型3方差的應用6.價格、配置皆相同的甲、乙兩種品牌電腦，各抽取五臺同時開機進行質量測試，測試結果量化分值如下：，，，，若顧客要從甲、乙兩種品牌電腦中選購一臺，你應該推薦的品牌是()A.甲品牌 B.乙品牌C.甲、乙品牌都一樣 D.無法確定7.某籃球隊5名場上隊員的身高（單位：）分別是183、187、190、200、195，現用一名身高為的隊員換下場上身高為的隊員，與換人前相比，場上隊員身高的()A.平均數變大，方差變小 B.平均數變小，方差變大C.平均數變大，方差變大 D.平均數變小，方差變小題型4平均數、中位數和眾數、方差與統計圖的綜合運用8.為了培養學生的愛國情感，某校在每周一或特定活動日舉行莊嚴的升國旗儀式.該校的國旗護衛隊共有18名學生，測量并獲取了所有學生的身高（單位：cm），數據整理如下：a.18名學生的身高：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186b.18名學生的身高的平均數、中位數、眾數：平均數中位數眾數178mn（1）寫出表中m，n的值；（2）該校的國旗護衛隊由升旗手、護旗手、執旗手組成，其中12名執旗手分為兩組：甲組學生的身高175177177178178181乙組學生的身高170174174176177179對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則認為該組的執旗效果越好.據此推斷：在以上兩組學生中，執旗效果更好的是______（填“甲組”或“乙組”）；（3）該校運動會開幕式的升國旗環節需要6名執旗手，因甲組部分學生另有任務，已確定四名執旗手的身高分別為175，177，178，178.在乙組選另外兩名執旗手時，要求所選的兩名學生與已確定的四名學生所組成的六名執旗手的身高的方差最小，則選出的另外兩名學生的身高分別為______和______.題型5用樣本估計總體在實際生活中的應用9.某中學開展課外經典閱讀活動，為了解全校2000名學生一周的課外經典閱讀時間.從本校學生中隨機抽取100名學生進行調查，將調查的一周課外經典閱讀的平均時間分為5組：①；②；③；④；⑤，并將調查結果用如圖所示的統計圖進行描述，根據以上信息，回答下列問題：(1)本次調查中，一周課外經典閱讀的平均時間的中位數落在第組(填序號)，估計全校一周課外經典閱讀的平均時間大于等于4小時的學生有人；(2)若把各組閱讀時間的下限與上限的中間值近似看作該組的平均閱讀時間，估計這100名學生一周課外經典閱讀的平均時間是多少；(3)若把一周課外經典閱讀的平均時間大于等于4小時的人數百分比超過，作為衡量此次開展活動成功的標準，請你評價此次活動，并提出合理化的建議.第四步：核心素養對接中考1．【2023·遼寧丹東】某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對4名跳高運動員進行了多次選拔比賽，他們比賽成績的平均數和方差如下表：甲乙丙丁平均數169168169168方差6.017.35.019.5根據表中數據，要從中選擇一名平均成績好，且發揮穩定的運動員參加比賽，最合適的人選是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．【2023·浙江衢州】某公司5名員工在一次義務募捐中的捐款額為（單位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的員工又多捐了20元，則分析這5名員工捐款額的數據時，不受影響的統計量是（

）A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差3．【2023·四川攀枝花】每次監測考試完后，老師要對每道試題難度作分析．已知：題目難度系數該題參考人數得分的平均分該題的滿分．上期全市八年級期末質量監測，有11623名學生參考．數學選擇題共設置了12道單選題，每題5分．最后一道單選題的難度系數約為，學生答題情況統計如表：選項留空多選人數11224209393420571390占參考人數比（%）根據數據分析，可以判斷本次監測數學最后一道單選題的正確答案應為（

）A． B． C． D．4．【2023·廣東廣州】學校舉行“書香校園”讀書活動，某小組的五位同學在這次活動中讀書的本數分別為10，11，9，10，12，下列關于這組數據描述正確的是（

）A．眾數為10 B．平均數為10 C．方差為2 D．中位數為95．【2023·遼寧盤錦】為了解全市中學生的視力情況，隨機抽取某校50名學生的視力情況作為其中一個樣本，整理樣本數據如圖，則這50名學生視力情況的中位數和眾數分別是（

）

A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.86．【2023·黑龍江大慶】某中學積極推進學生綜合素質評價改革，該中學學生小明本學期德、智、體、美、勞五項的評價得分如圖所示，則小明同學五項評價得分的眾數、中位數、平均數分別為（

）

A．9，9，8.4 B．9，9，8.6 C．8，8，8.6 D．9，8，8.47．【2023·四川雅安】某位運動員在一次射擊訓練中，次射擊的成績如圖，則這10次成績的平均數和中位數分別是（

）

A．， B．， C．， D．，8．【2023·黑龍江牡丹江】一組數據1，x，5，7有唯一眾數，且中位數是6，則平均數是（

）A．6 B．5 C．4 D．39．【2023·內蒙古呼和浩特】某乳業公司要出口一批規格為500克/罐的奶粉，現有甲、乙兩個廠家提供貨源，它們的價格相同，品質也相近．質檢員從兩廠的產品中各隨機抽取15罐進行檢測，測得它們的平均質量均為500克，質量的折線統計圖如圖所示．觀察圖形，甲、乙兩個廠家分別提供的15罐奶粉質量的方差．（填“”或“”或“”）

10．【2023·四川德陽】在一次數學測試中，張老師發現第一小組6位學生的成績（單位：分）分別為：85，78，90，72，●，75，其中有一位同學的成績被墨水污染，但知道該小組的平均分為80分，則該小組成績的中位數是．11．【2023·山東青島】今年4月日是我國第八個“全民國家安全教育日”．為增強學生國家安全意識，夯實國家安全教育基礎、某市舉行國家安全知識競賽．競賽結束后，發現所有參賽學生的成績（滿分分）均不低于分．小明將自己所在班級學生的成績（用x表示）分為四組：A組（），B組（），C組（），D組（），繪制了如圖不完整的頻數分布直方圖和扇形統計圖．

根據以上信息，解答下列問題：(1)補全頻數分布直方圖；(2)扇形統計圖中A組所對應的圓心角的度數為______；(3)把每組中各個同學的成績用這組數據的中間值（如A組：的中間值為）來代替，試估計小明班級的平均成績；(4)小明根據本班成績，估計全市參加競賽的所有名學生中會有名學生成績低于分，實際只有名學生的成績低于分．請你分析小明估計不準確的原因．12．【2023·山東濰坊】某中學積極推進校園文學創作，倡導每名學生每學期向校報編輯部至少投1篇稿件．學期末，學校對七、八年級的學生投稿情況進行調查．【數據的收集與整理】分別從兩個年級隨機抽取相同數量的學生，統計每人在本學期投稿的篇數，制作了頻數分布表．投稿篇數（篇）12345七年級頻數（人）71015126八年級頻數（人）21013214【數據的描述與分析】（1）求扇形統計圖中圓心角的度數，并補全頻數直方圖．

（2）根據頻數分布表分別計算有關統計量：統計量中位數眾數平均數方差七年級331.48八年級mn3.31.01直接寫出表格中m、n的值，并求出．【數據的應用與評價】（3）從中位數、眾數、平均數、方差中，任選兩個統計量，對七、八年級學生的投稿情況進行比較，并做出評價．

答案以及解析重難知識易混易錯1.答案：C解析：一周內該班學生的平均勞動次數為：，故選：C.2.答案：A解析：甲的成績為：（分），乙的成績為（分），丙的成績為（分），被錄取的考生是甲；故選：A.3.答案：D解析：根據表格，共有320個數據，各數據從小到大排列后，處于中間的數據為第16、17個，分別為162和163，中位數為：，出現次數最多的數為163，故眾數為163，故選：D.4.答案：D解析：∵這組數據中1.4出現的次數最多，∴在每天所走的步數這組數據中，眾數是1.4；每天所走的步數的中位數是：（1.3+1.3）÷2=1.3，∴在每天所走的步數這組數據中，眾數和中位數分別是1.4、1.3.故選：D.5.答案：B解析：（1）將這組數據從大到小的順序排列為10，8，x，6，處于中間位置的數是8，x，那么由中位數的定義可知，這組數據的中位數是，平均數為，數據10，8，x，6，的中位數與平均數相等，，解得，大小位置與8對調，不影響結果，符合題意；（2）將這組數據從大到小的順序排列后10，8，6，x，中位數是，此時平均數是，解得，符合排列順序；（3）將這組數據從大到小的順序排列后x，10，8，6，中位數是，平均數，解得，符合排列順序.x的值為4、8或12，不可能是6.故選：B.6.答案：A解析：由于兩種品牌電腦量化分值的平均分相等，且甲品牌電腦的方差小于乙的方差，所以應該推薦的是甲品牌.故選：A.7.答案：C解析：原數據的平均數為×（183+187+190+200+195）=191（cm），方差為×[（183-191）2+（187-191）2+（190-191）2+（200-191）2+（195-191）2]=35.6（cm2），新數據的平均數為×（183+187+190+200+210）=194（cm），方差為×[（183-194）2+（187-194）2+（190-194）2+（200-194）2+（210-194）2]=95.6（cm2），∴平均數變大，方差變大，故選：C.8.答案：（1）m的值為178，n的值為179（2）甲組（3）；解析：（1）將18名學生的身高從小到大排列為：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186，從中可以看出第9個數據和第10個數據分別是178，178，所以這組數據的中位數為，故；其中，179出現的次數最多，所以這組數據的眾數為179，故；故答案為：178，179.（2）甲組學生的身高分布于，乙組學生的身高分布于，據此可以看出甲組學生的身高波動比乙組學生的小，穩定性較大，所以執旗效果更好的是甲組，故答案為：甲.（3）根據題意，為保證方差最小，另外兩名學生的身高應該在175厘米~178厘米，從乙組的數據可以知道，在175厘米~178厘米的身高有2個，分別是176、177，故答案為：176；177.9.答案：(1)③，560(2)小時(3)不成功，理由見解析；建議答案不唯一見解析解析：（1）∵抽取100名進行調查，第50名、51名學生均在第③組，∴一周課外經典閱讀的平均時間的中位數落在第③組；由題意得：，∴一周課外經典閱讀的平均時間大于等于4小時的學生人數占被調查人數的百分比為，（人），即估計全校一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的學生有560人；（2）由題意可知，每組的平均閱讀時間分別為小時，小時，小時，小時，小時，(小時)∴這100名學生一周課外經典閱讀的平均時間為小時；（3）一周課外經典閱讀的平均時間大于等于4小時的學生的人數的百分比為，∵，∴此次開展活動不成功，建議：①學校多舉辦經典閱讀活動；②開設經典閱讀知識競賽，提高學生閱讀興趣（答案不唯一）.核心素養對接中考1．答案：C解析：由平均數可知，,甲與丙二選一,又由方差可知，,選擇丙.故選：C2．答案：B解析：根據題意，可得，即捐款額為：50，50，50，60，60，此時中位數不變，平均數，眾數，方差都會受到影響，故選：B．3．答案：B解析：題目難度系數該題參考人數得分的平均分該題的滿分，最后一道單選題參考人數得分的平均分題目難度系數該題的滿分，如果正確答案應為，則參考人數得分的平均分為：，如果正確答案應為，則參考人數得分的平均分為：，如果正確答案應為，則參考人數得分的平均分為：，如果正確答案應為，則參考人數得分的平均分為：，故選：B．4．答案：A解析：A、10出現2次，出現次數最多，故眾數是10，該項正確；B、，故該項錯誤；C、方差為，故該項錯誤；D、中位數為10，故該項錯誤；故選：A．5．答案：A解析：由圖可知，視力為4.8的學生人數最多，因此眾數是4.8，將50名學生視力情