安徽省馬鞍山市2023-2024學年高二上學期期中調研考試數學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.直線3x+y-2=0的方向向量為（）

A.（-l,3）B.（l,3）C.（-3,l）D.（3,l）

2.等差數列｛4｝中，若2%+佝=18,則%+3%的值為（）

A.36B.24C.18D.9

3.與直線3x-4y+5=0關于y軸對稱的直線方程是（）

A.3x+4y+5=0B.3x+4y-5=0C.3%-4y+5=0D.3x-4y-5=0

4.經過原點和點（3,-1）且圓心在直線3x+y-5=0上的圓的方程為（）

A.（x-5）2+（y+10）2=125B.（X+1）2+（^-2）2=5

C.（x-l）2+（y-2）2=5+'2=m

5.設｛4｝是公差不為0的無窮等差數列，貝廣｛4｝為遞減數列”是“存在正整數N。，當

〃>N0時，。“<0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知點P（4,3）,點。在f+丁2=4的圓周上運動，點〃滿足則點〃

的運動軌跡圍成圖形的面積為（）

A.nB.2TIC.3KD.4K

7.等比^｛列｛%｝中，6+2+生+/+%=3,a；+a&+ag+a：+a；=15,則

—%+—+〃5=()

A.—5B.-l

8.過點F（2,0）作圓/+丁2-4=1的兩條切線，設切點分別為A,B,則的面

積為（）

□岳C^

A咨D.----------D.V15

828

二、多項選擇題

9.已知直線/:%+陽+〃z=0,若直線/與連接A（-3,2）,8（2,1）兩點的線段總有公共

點，則直線/的傾斜角可以是（）

A.—B.-C.-D.-

3246

10.設S“，分別是等差數列｛4｝和等比數列｛2｝的前〃（〃eN*）項和，下列說法正確

的是（）

A.若+。16?15+?17<0,則使5“>0的最大正整數〃的值為15

B.若7；=50+c（c為常數），則必有c=-1

c.s5,sw-s5,幾-4必為等差數列

D.4,T10-T5,工5-工0必為等比數列

11.已知等比數列｛凡｝公比為q,前M“eN*）項和為%前〃（aeN*）項積為T“，若

%=上，￡=￡，則（）

32

A.q=2B.當且僅當〃=6時，取得最小值

C.Tn=「_"D.S“>7；的正整數〃的最大值為11

12.已知圓C:爐+J=4,圓M:爐十J一8九一6）+加=o（）

A.若加=8,則圓C與圓M相交且交線長為更

5

B.若加=9,則圓C與圓M有兩條公切線且它們的交點為（-3,T）

C.若圓C與圓”恰有4條公切線，則加>16

D.若圓Af恰好平分圓C的周長，則機=T

三、填空題

13.若｛」“｝是公差不為0的等差數列，的，%，%成等比數列，q=l，S“為｛4｝的

前〃（〃eN*）項和，貝1],+'++上的值為_________.

S]S2S]。

14.平面直角坐標系x0y中，過直線1:7x—3y+l=0與.x+dy-3=0的交點，且在y

軸上截距為1的直線/的方程為.（寫成一般式）

15.如圖，第一個正六邊形44￡。14片的面積是1,取正六邊形4月。]。耳￡各邊的

中點4，B2,G，D2,E2,F2,作第二個正六邊形432c234e，然后取正六邊形

432c23石28各邊的中點A，為，。3，2，石3，工，作第三個正六邊形，依此方法

一直繼續下去，則前〃個正六邊形的面積之和為.

16.已知實數a,b,c成等差數列，在平面直角坐標系中，點A（4,l）,。是坐標

原點，直線/:公+2與+3c=0.若直線垂直于直線I,垂足為M,則線段的最

小值為.

四、解答題

17.已知直線4:2x-（a-l）y-2=0,Z2:（a+2）x+（2a+l）y+3=0（aGR）.

（1）若4,小求實數a的值；

（2）若a①，求乙，4之間的距離.

18.已知等差數列｛a“｝,前"eN*）項和為S“，又生=4,S9=90.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）設包=|9—⑷，求數列｛0｝的前〃項和7；.

19.已知數列｛%｝的首項q=|,且滿足a.M=言.

（1）求證：數列工-1等比數列；

UJ

（2）設2=g）_,求數列也｝的前2〃項和立.

20.如圖，等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD=S,AB,間的距離為4,

以線段AB的中點為坐標原點。，建立如圖所示的平面直角坐標系，記經過A,B,

C,。四點的圓為圓M

(1)求圓”的標準方程；

(2)若點E是線段A0的中點，P是圓〃上一動點，滿足求動點尸橫

坐標的取值范圍.

21.平面直角坐標系中，直線/:3x+2y-13=0,圓

M:x2+y2-12x-8y+48=0,圓C與圓M關于直線/對稱，P是直線/上的動點.

(1)求圓C的標準方程；

(2)過點尸引圓C的兩條切線，切點分別為A,B,設線段A3的中點是。，是否存

在定點H,使得叫為定值，若存在，求出該定點H的坐標；若不存在，請說明理由.

22.記首項為1的遞增數列為“W-數列”.

(1)已知正項等比數列｛4｝,前〃(〃eN*)項和為S,，且滿足：a“+2=2S,+2.求證：

數列｛叫為“W-數列”；

(2)設數列也｝(〃eN*)為“W-數列”，前〃(〃eN*)項和為％且滿足

邙;=s；(〃eN*).(注：邙；=廳+叫++“)

Z=1?=1

①求數列｛bn｝的通項公式切；

②數列｛c,｝(〃eN*)滿足c“=*,數列｛c“｝是否存在最大項？若存在，請求出最大項

的值，若不存在，請說明理由.(參考數據：后引.41,%。1.44)

參考答案

1.答案：A

解析：由題意得直線3x+y-2=0的斜率為-3,

所以直線的一個方向向量為(1,-3),

又(1,-3)=-(-1,3),所以(-1,3)也是直線3x+y-2=0的一個方向向量.

故選：A.

2.答案：B

解析：令｛叫的公差為d,則2a3+佝=2(%+2d)+6+8d=3%+12d=18,即

+4d=%=6,

貝！J%+3a6=%+%+4+=2a3+%+。5=18+6=24.

故選：B.

3.答案：B

解析：令x=0,則y=j,可得直線3x-4y+5=0與y軸的交點為

令y=0,則x=-g,可得直線3x-4y+5=0與x軸的交點為:o],

此時關于y軸的對稱點為聯,0〉

所以與直線3x-4y+5=0關于y軸對稱的直線經過兩點||,01

其直線的方程為?看=1,化為3x+4y-5=0,故選B.

34

4.答案：D

解析：由題設，令圓心為(x,5-3x),又圓經過原點和點(3,-1),

所以產=必+(5—3x)2=(%—3)2+(6—3x)2,整理可得x=g,故圓心為聯刀],

所以半徑平方r2=—,則圓的方程為L--T+/=—.

9(3-9

故選：D.

5.答案：C

解析：令｛叫公差為1且1/0的無窮等差數列，且=。1+(〃-1)2=冊+(。1-4)，

若｛4｝為遞減數列，則d<0,結合一次函數性質，

不論對為何值，存在正整數No，當〃〉TV。時。“<0,充分性成立；

若存在正整數N。，當〃〉N。時4<0,由于dwO,即｛q｝不為常數列，

故4=△〃+(%-d)單調遞減，即d<0,所以｛%｝為遞減數列，必要性成立；

所以“｛%｝為遞減數列”是“存在正整數N。，當〃〉N。時，/<0”的充分必要條件

故選：C.

6.答案：A

解析：設析(x,y),Q(x0,y0),

x=2%-4

由得M是線段PQ中點，二0

,o=2y-3'

3

22

又。在圓爐+產=4上，(2x—4)2+(2y—3>=4,IP(x-2)+(y-1)=1,

點軌跡是半徑為1的圓，面積為S=7l,

故選：A.

7.答案：C

。1(1一夕5)_Q

——J

,1—，兩式相除得

解析：設公比為q,顯然q,±l,則由題意得

)=]5

、1一/

4(1+/)二§

\+q

grpi.._%[1-(-_qQ+q)_v

/TT以%-％+%―/+%=-----------------------=5,

l-(-q)\+q

故選：C.

8.答案：A

解析：由題設，圓的標準方程為必+⑶―2)2=5,圓心為C(0,2),半徑/=有,

所以|CP|=2應，如下圖示，切點分別為A,B,則|8口=|4口=斥？=百，

所以cosZBPC==-^=,又/BPA=2/BPC,

\CP\2A/2ICP|272

、后

所以sinZBPA=sin2ZBPC=2sinZBPCcosZBPC=-—

4

2248

解析：因為直線/:x+/ny+zw=O可化為x+(y+l)m=O,

所以直線/過定點。（0,-1）,

又4(—3,2),8(2,1),所以3c=/空=一1,心==^?=1，

—J—U，一U

故直線AC的傾斜角為把，直線的傾斜角為4,

4

結合圖象，可知直線/的傾斜角范圍為￡個,故ABC正確，D錯誤.

故選：ABC.

10.答案：BCD

解析：令｛4｝的公差為d,=al+(n-V)d=dn+｛al-d),

”,/=2〃1+29d〉0i,29r

所以15161,故15d,且d<0,

陽+《7=2ax+30d<02

使S〃=nax+Dd=+(/—}n>0,貝0<孔<1-^-,

而29〈-也<30,即1-生e(30,31),故。<〃W30,

dd

所以使S〃>0的最大正整數〃的值為30,A錯；

令包的公比為q且鄉。0,則7；=」\［包—"=5〃+c(公比不能為1),

1-q1-q1-q

q=5

所以<l\,即c=—1,B對；

------——1

1-q

根據等差、等比數列片段和的性質知：55,S10-S5,九-九必為等差數列，T5,

T1O-T5,幾-幾必為等比數列，C、D對.

故選：BCD.

11.答案：AC

解析：對于A,因為4=及，所以4=4=1，因為q5="=32,解得q=2,故A正

T5

確；

對于B,注意至1」。6=1，故時，77>7,時，an>l,

所以當〃=5或〃=6時，J；取得最小值，故B錯誤；

n(?-l)n2-lln

a

對于C,Tn=qa2a3n=a；Z"2++z=)"-2k=2^(zieN*,zi<11),

(ll-n)(10-n)n2-lln

看_=的2=端一"嚴…°一"=(2-5)f.2-5—=2-(neN*,n<ll),

所以(=7；j("eN*”<ll),故C正確；

(一/)-Ti"

41T-12

對于D,S〃=』----=Tn=2,因為S"〉7；,

1-q25

r\n-in2-llnn2-lln+10

所以4F〉2.,BP2"-l>2~^,

25

所以2"—zY1I0〉i,即"""I"十】。,所以13-疝^<“<13+恒^正整數“

222

的最大值為12,故D錯誤，

故選：AC.

12.答案：AD

解析：A：相=8時圓M:(x—4)2+(y—3)2=17,則M(4,3),半徑r=&7,

而圓C:Y+y2=4中C(0,0),半徑/=2,所以|CM|=5,

故JI7—2<|CM|<JI7+2,即兩圓相交，止匕時相交弦方程為4x+3y—6=0,

所以C(0,0)到4x+3y-6=0的距離為4=^|,故相交弦長為2x^2?-(§?=個，對;

B：加=9時圓M:(x—4y+(y—3)2=16,則M(4,3),半徑r=4,

同A分析知：4-2<|CM|<4+2,故兩圓相交，錯；

C：若圓C與圓M恰有4條公切線，則兩圓相離，則|。0|>廠+/=2+廠，

而圓M:(x—4)2+(y—3)2=25—加，即r=J25-

f25-m>0

所以1,--------016<m<25,錯；

2+，25-根<5

D：若圓M恰好平分圓。的周長，則相交弦所在直線必過C(0,0),

兩圓方程相減得相交弦方程為8x+6y-〃z-4=0,將點代入可得/”=-4,對.

故選：AD.

13.答案：三

解析：設等差數列｛。"｝公差為d,a2,a4,%成等比數列，由a：=%為，

則(q+3J)2=(q+d)(q+7d),即(1+34)?=(l+d)(l+7d),

由d/0,得d=1,所以4=6+(〃—1)2=〃,

則有得―”)

所以J+(+

故答案為：—.

11

14.答案：9x+5y-5=0

解析：由題設，令直線/的方程為7x—3y+l+/l(x+4y—3)=0,且直線過(0,1),

所以0—3+1+2(0+4—3)=0=>4=2,故直線/的方程為9x+5y—5=0.

故答案為：9x+5y—5=0.

15.答案：41—1皆

解析：由題設知：后一個正六邊形與前一個正六邊形的邊長比值為正，故它們面積

2

比為3,

4

所以前〃個正六邊形的面積是首項為1,公比為士的等比數列，

4

3

i-(7r3

所以前〃個正六邊形的面積之和S=—3=4[l-(-f].

14

4

故答案為：4[1-(-)?].

4

16.答案：0

解析：由題設2b—a+c,則/:ox+(Q+c)y+3c=0,即/:a{x+y)+c(y+3)=0,

令(x+y=0=p=3,即直線/恒過定點5(3,_3),又OM工1,

。+3=0[y=-3

所以〃在以|O3|為直徑的圓上，且圓心C(|,-,)，半徑為半，

要求的最小值，即求4(4,1)到該圓上點距離的最小值，而

|C4|=J(4.|)2+(1+|)2=平,

所以=當一當=日

17.答案：(1)a=—1或2

2

(2)亞

解析：(1)由/i，4，則2(a+2)—(a—1)(2。+1)=0,即2a2—3a—5=0,

所以(2a-5)(a+l)=0,可得a=-1或

2

(2)由〃〃2，貝|J史2=犯口，可得"2+54=0,故a=0或—5,

21—a

當a=0,則［:2x+y-2=0,/2:2x+y+3=0,止匕時滿足平行，且/一乙之間的距離為

3+2)=/.

VF7F，

當a=—5,則\:x+3y—1=0,/2:x+3y-l=0,此時兩線重合，舍；

綜上，時/-6之間的距離為百.

18.答案：(1)a“=2n

8〃-a?,1v〃<4,eN*)

(2)7；,=\\

n2-8n+32,〃25,eN*)

解析：(1)設等差數列的公差為d,首項為4,

因為品=90,所以Sg=9"%)=9%=90,

所以。5=1。，由%—a2=3d=10—4=6,解得d=2,

又%=4,所以a及=%+(〃-2)1=4+(〃-2)x2=2〃.

(2)優=|9-%|=|9-2叩

設g=9—2〃，｛%｝的前幾項和為5小得=7+（9=—

Q

cn—9-2n>0,得〃<5,

當時，c?>0,即優=c"，所以1W/W4,(=S"=8〃—I,

當〃》5時，得c0<o,所以d=-。“，

則(二(。1+。2++c4)-(c5+c6++c?)

22

=S4-(S?-S4)=2S4-S?=32-(8?-n)=n-8n+32,

8〃-/J,1V〃V4,(〃eN*)

綜上所述：Tn=<

n2-8n+32,〃25,eN")

19.答案：（1）證明見解析

解析：（1）因為4+1=%一，%=M所以q產0,

4+13

所以」_=&tl=J_+J.,所以」—

*2a?2an2氏+1

即(11

2--1=-----1,

an+l2\anJ

-------1

711

因為。1=—,]=_w0,4+i一1

1?一于

3%2-----1

an

所以，1-1是以工為首項,J為公比的等比數列.

2

/c、-c111111

(2)法—：S2n=----------1-----------FH-------------

%%的14。2n

"z、］

易知（-1）"+1。-1是以工為首項，」為公比的等比數歹U,

.\an22

4"-1

3x4"

法二：由⑴，所以?mt]'

所以

⑵口半

解析：（1）如圖，因為AB=2CD=8,AB,CD間的距離為4,

所以A（-4,0）,8（4,0）,C（2,4）,D（-2,4）,經過A,B,C,。四點的圓即經過A,

B,C三點的圓，

法一：AB中垂線方程即x=0,6c中點為（3,2）,凝c=￥|=-2,

所以的中垂線方程為y-2=g（x-3）,即丁=3工+（

%=0

聯立11,得圓心坐標

y=—x+—

22

網創=J(4—oy+[o—￡|=半

所以圓M的標準方程為d65

T

法二：設圓〃的一般方程為爐+'2+m+硝+歹=0（。2+石2—477>0）,

-4D+F+16=0D=Q

代入A(-4,0),8(4,0),C(2,4),4D+F+16=0解得<E=-l

2D+4E+R+20=0F=-16

所以圓M的標準方程為一+|^-=?；

法三：以AB為直徑的圓方程為(x+4)(x-4)+_/=0,

直線AB:y=0,

設圓”的方程為(x+4)(x—4)+y+；ly=o,

代入C(2,4),解得;l=—1,

所以圓M的標準方程為x2+h-1

(2)E(-2,0),設圓M上一點F(羽y),

PO=(-x,-y),PE=(-2-x,-y),

因為PE224,所以—x(—2—x)+(—同(—y)>24,

即x2+y2+2x-24>0,

由/+/+2%一2420對應方程為圓了2+/+2%—24=0=(1+1)2+/=25,

所以P點在圓(％+以+/=25上及其外部，

x2+y2-y-16=0

%2+y2+2%-24=0

解得xl-2,x2=4,

所以兩圓交點恰為8(4,0),C(2,4),

結合圖形，當圓〃上一點縱坐標為;時，橫坐標為馬=孚〉4,

所以點尸橫坐標的取值范圍是2,

21.答案:(1)/+/=4

64

（2）存在;H

13，13

解析：（1）圓時化成標準方程為（％-6）2+（y-盯=4,圓心M（6,4）,半徑為2,

設圓心C（%o，%），圓C與圓”關于直線/對稱,

3

直線/:3%+2、-13=0的斜率為-5,

--4=2

所以