【學生版】微專題：反正弦反余弦反正切的表示與應用【滬教版2020】必修第二冊在《6.3.2解三角形》中，為了表示例８中的角C，我們引入如下記號：一般的，我們用表示滿足的角；用表示滿足的角；用表示滿足的角；【說明】符號、、在計算器上一般分別用、、表示；所以，【滬教版2020】引入反正弦、反余弦、反正切是為日后解三角形與表示平面幾何、平面向量、解析幾何、立體幾何中涉及的非特殊角的需要；因此，為了便于學生“反三角函數”并熟練、靈活使用，在此，不妨例析表示與應用；【典例】例1、解方程：。【提示】【解析】解法1、解法2、【說明】例2、如圖，一智能掃地機器人在處發現位于它正西方向的處和北偏東方向上的處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應測量發現機器人到的距離比到的距離少米，于是選擇沿路線清掃，已知智能掃地機器人的直線行走速度為米/秒，秒鐘完成了清掃任務（忽略機器人吸入垃圾及在處旋轉所用時間）（1）、兩處垃圾的距離是多少？（2）求智能掃地機器人此次清掃過程中旋轉角的最小值？請指出旋轉方向.【說明】本小題主要考查余弦定理解三角形，反余弦為表示實際問題中的非特殊角提供了方便；例3、已知直線的方程為，其傾斜角為；（1）寫出關于的函數解析式；（2）若，求：的取值范圍.【背景】在平面解析幾何中1、直線的傾斜角：(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0；(2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)；2、直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是eq\f(π,2)的直線沒有斜率；(2)過兩點的直線的斜率公式經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；【說明】通過本題求解說明，在利用“解析幾何”知識求得“傾斜角的正切”后，主要是：利用反正切表示角，結合傾斜角的范圍與誘導公式求傾斜角；例4、在四邊形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))；若四邊形ABCD是平行四邊形，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6，求：eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))夾角的大小。【背景】在平面向量中1．兩向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量與的夾角；（2）特例：①當θ＝0時，向量與同向；②當θ＝eq\f(π,2)時，向量與垂直，記作⊥；③當θ＝π時，向量與反向；【特別注意】按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角；作eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，則∠BAD才是向量eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角；【說明】本題的求解說明：利用“向量的數量積”求得角的余弦，然后用反余弦表示角；例5、已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，與、都成角，則異面直線與所成角的大小為【背景】在立體向量中兩條異面直線所成的角（1）定義：設是兩條異面直線，過空間任一點作直線，，則與所夾的銳角或直角叫做所成的角；（2）范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是；（3）向量求法：設直線的方向向量分別為，，其夾角為，則有；例6、在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，求直線BE與平面ABB1A1所成的角的大小。【背景】在立體向量中直線與平面所成的角（1）定義：如圖，一條直線PA和一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角；（2）規定：一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，稱它們所成的角是0°.（3）范圍：直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°；【說明】本題的求解說明：利用立體幾何中“找角--求角”方法，通過解三角形求得角的三角比，然后用反三角表示角；例7、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．（1）證明：點C1在平面AEF內；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求平面AEF與平面EFA1夾角的大小；【背景】在立體向量中從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；二面角的平面角的定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的平面角θ的取值范圍為；【特別提醒】求二面角的方法總結（1）定義法：分別在兩個半平面內向棱作垂線，垂足為同一點，求兩線的夾角；（2）垂面法：作垂直于棱的一個垂面，這個平面與兩個半平面分別有一個交線，這兩個交線所成的角；（3）三垂線法：過一個半平面內的一點作另一個半平面的一條垂線，過垂足作棱的垂線，記垂足為，連接，則即為二面角的平面角；（4）向量法：求兩個半平面法向量夾角的即為二面角的平面角或二面角平面角的補角；【說明】本題的求解說明：利用立體幾何中“向量法”方法，求得二面角的三角比，然后用反三角表示角；【歸納】1、反正弦、反余弦、反正切的相關表示滿足的角，可以表示為：或；滿足的角，可以表示為：；滿足的角，可以表示為：；滿足的角，可以表示為：；滿足的角，可以表示為：；2、三角方程的解集（1）方程的解集為：；（2）方程的解集為：；（3）方程的解集為：；特別提醒：①、當時，（1）表示一個角（弧度制）；（2）；（3）是在內的正弦值為所對應的角，即；②、當時，（1）表示一個角（弧度制）；（2）；（3）是在內的余弦值為所對應的角，即；③、當時，（1）表示一個角（弧度制）；（2）；（3）是在內的正切值為所對應的角，即；3、常見角的范圍（1）平面幾何中，直線傾斜角為[0,180°)（或），兩直線平行或重合（或），兩直線相交（或）；（2）向量中，兩個向量成角為（或）；（3）立體幾何中，空間異面直線成角（0°,90°]（或）；直線與平面成角，平行或在面內為0°（或），相交為（0°,90°]（或）；平面與平面成角[0°,90°]（或）；二面角取值范圍是[0°,180°]（或）；【即時練習】1、解方程：；2、若直線過兩點，，則此直線的傾斜角大小是3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的大小為4、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是對角線BD1上的點，且BE∶ED1＝1∶3，則AE與平面BCC1B1所成的角的大小是_____________．5、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝eq\f(\r(,2),2)AB.（1）證明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角DA1CE的大小．【教師版】微專題：反正弦反余弦反正切的表示與應用【滬教版2020】必修第二冊在《6.3.2解三角形》中，為了表示例８中的角C，我們引入如下記號：一般的，我們用表示滿足的角；用表示滿足的角；用表示滿足的角；【說明】符號、、在計算器上一般分別用、、表示；所以，【滬教版2020】引入反正弦、反余弦、反正切是為日后解三角形與表示平面幾何、平面向量、解析幾何、立體幾何中涉及的非特殊角的需要；因此，為了便于學生“反三角函數”并熟練、靈活使用，在此，不妨例析表示與應用；【典例】例1、解方程：。【提示】注意轉化為只含的三角方程；【解析】解法1、同除以得得或，則或，；解法2、，則，則或，得或，則則或，；【說明】通過本題說明反正弦、反余弦、反正切的引入，為解三角方程時涉及的非特殊角的表示提供了保障；例2、如圖，一智能掃地機器人在處發現位于它正西方向的處和北偏東方向上的處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應測量發現機器人到的距離比到的距離少米，于是選擇沿路線清掃，已知智能掃地機器人的直線行走速度為米/秒，秒鐘完成了清掃任務（忽略機器人吸入垃圾及在處旋轉所用時間）（1）、兩處垃圾的距離是多少？（2）求智能掃地機器人此次清掃過程中旋轉角的最小值？請指出旋轉方向.【提示】（1）利用余弦定理，結合列方程組，解方程組求得；（2）利用余弦定理求得的值，由此求得旋轉角的最小值，并判斷出旋轉方向；【答案】（1）（2）；【解析】（1）依題意可知，設的對邊分別為，則，將代入化簡得，即，由于，所以解得，且，（2）由余弦定理得，由于，所以為銳角，所以旋轉角的最小值為，方向沿順時針方向旋轉；【說明】本小題主要考查余弦定理解三角形，反余弦為表示實際問題中的非特殊角提供了方便；例3、已知直線的方程為，其傾斜角為；（1）寫出關于的函數解析式；（2）若，求：的取值范圍.【背景】在平面解析幾何中1、直線的傾斜角：(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0；(2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)；2、直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是eq\f(π,2)的直線沒有斜率；(2)過兩點的直線的斜率公式經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；【提示】利用【背景】先求得傾斜角的正切，再根據傾斜角的取值范圍，利用反正切解之；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）直線的方程為，其傾斜角為，當時，；當時，則斜率，則，所以，；當時，則斜率，則，所以，；所以；（2）當時，結合單位圓與三角函數線，得，當時，，當時，結合單位圓與三角函數線，得，綜上所述：；【說明】通過本題求解說明，在利用“解析幾何”知識求得“傾斜角的正切”后，主要是：利用反正切表示角，結合傾斜角的范圍與誘導公式求傾斜角；例4、在四邊形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))；若四邊形ABCD是平行四邊形，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6，求：eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))夾角的大小。【背景】在平面向量中1．兩向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量與的夾角；（2）特例：①當θ＝0時，向量與同向；②當θ＝eq\f(π,2)時，向量與垂直，記作⊥；③當θ＝π時，向量與反向；【特別注意】按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角；作eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，則∠BAD才是向量eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角；【提示】注意：以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))為基向量；【答案】；【解析】由題意，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\a\vs4\al(\o(AD,\s\up6(→)))2－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→)))2＝36－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－18＝18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6，所以18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝6，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36；設eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))的夾角為θ，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝eq\f(2,3)，則θ=，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))夾角的大小為：；【說明】本題的求解說明：利用“向量的數量積”求得角的余弦，然后用反余弦表示角；例5、已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，與、都成角，則異面直線與所成角的大小為【背景】在立體向量中兩條異面直線所成的角（1）定義：設是兩條異面直線，過空間任一點作直線，，則與所夾的銳角或直角叫做所成的角；（2）范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是；（3）向量求法：設直線的方向向量分別為，，其夾角為，則有；【提示】注意：結合題設中的邊長與角度，考慮利用“向量法”【答案】；【解析】設，，，則，，，從而，，，，不妨，設向量所成的角為，由，則；【說明】本題的求解說明：利用“空間向量的數量積”求得角的余弦，然后用反余弦表示角；例6、在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，求直線BE與平面ABB1A1所成的角的大小。【背景】在立體向量中直線與平面所成的角（1）定義：如圖，一條直線PA和一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角；（2）規定：一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，稱它們所成的角是0°.（3）范圍：直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°；【提示】結合正方體的幾何性質，不妨考慮“找角---求角”；【答案】;【解析】取AA1的中點M，連接EM，BM.因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD.又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1內的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角；設正方體的棱長為2，則EM＝AD＝2，BE＝eq\r(22＋22＋12)＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為eq\f(2,3)，則直線BE與平面ABB1A1所成的角的大小為：;【說明】本題的求解說明：利用立體幾何中“找角--求角”方法，通過解三角形求得角的三角比，然后用反三角表示角；例7、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．（1）證明：點C1在平面AEF內；（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求平面AEF與平面EFA1夾角的大小；【背景】在立體向量中從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；二面角的平面角的定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的平面角θ的取值范圍為；【特別提醒】求二面角的方法總結（1）定義法：分別在兩個半平面內向棱作垂線，垂足為同一點，求兩線的夾角；（2）垂面法：作垂直于棱的一個垂面，這個平面與兩個半平面分別有一個交線，這兩個交線所成的角；（3）三垂線法：過一個半平面內的一點作另一個半平面的一條垂線，過垂足作棱的垂線，記垂足為，連接，則即為二面角的平面角；（4）向量法：求兩個半平面法向量夾角的即為二面角的平面角或二面角平面角的補角；【提示】注意：題設中“長方體”的幾何性質，考慮利用“向量法”；【答案】（2020·全國Ⅲ改編）（2）arcsineq\f(\r(42),7)；【解析】（1）設AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如圖，以C1為坐標原點，eq\o(C1D1,\s\up6(→))，eq\o(C1B1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系C1xyz．連接C1F，則C1(0，0，0)，A(a，b，c)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(2,3)c))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(C1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(C1F,\s\up6(→))，所以EA∥C1F，即A，E，F，C1四點共面，所以點C1在平面AEF內；（2）由已知得A(2，1，3)，E(2，0，2)，F(0，1，1)，A1(2，1，0)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0，－1，2)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－2，0，1)；設＝(x1，y1，z1)為平面AEF的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y1－z1＝0，,－2x1－2z1＝0，))可取＝(－1，－1，1)．設＝(x2，y2，z2)為平面A1EF的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(A1E,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(A1F,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＋2z2＝0，,－2x2＋z2＝0，))同理可取＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，1))，因為cos<n1，n2>＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝－eq\f(\r(7),7)，所以，平面AEF與平面EFA1夾角的正弦值為eq\f(\r(42),7)，則平面AEF與平面EFA1夾角的大小為：arcsineq\f(\r(42),7)；【說明】本題的求解說明：利用立體幾何中“向量法”方法，求得二面角的三角比，然后用反三角表示角；【歸納】1、反正弦、反余弦、反正切的相關表示滿足的角，可以表示為：或；滿足的角，可以表示為：；滿足的角，可以表示為：；滿足的角，可以表示為：；滿足的角，可以表示為：；2、三角方程的解集（1）方程的解集為：；（2）方程的解集為：；（3）方程的解集為：；特別提醒：①、當時，（1）表示一個角（弧度制）；（2）；（3）是在內的正弦值為所對應的角，即；②、當時，（1）表示一個角（弧度制）；（2）；（3）是在內的余弦值為所對應的角，即；③、當時，（1）表示一個角（弧度制）；（2）；（3）是在內的正切值為所對應的角，即；3、常見角的范圍（1）平面幾何中，直線傾斜角為[0,180°)（或），兩直線平行或重合（或），兩直線相交（或）；（2）向量中，兩個向量成角為（或）；（3）立體幾何中，空間異面直線成角（0°,90°]（或）；直線與平面成角，平行或在面內為0°（或），相交為（0°,90°]（或）；平面與平面成角[0°,90°]（或）；二面角取值范圍是[0°,180°]（或）；【即時練習】1、解方程：；【答案】由，則解集為2、若直線過兩點，，則此直線的傾斜角大小是【答案】【解析】因為，直線過點，，所以，直線的斜率，又，即直線的傾斜角；3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的大小為【答案】arccoseq\f(\r(30),10)；【解析】：以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設BC＝CA＝CC1＝2，則可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(1，－1，2)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(－1，0，2)．所以，cos〈eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BM，\s\up6(→))·\o(AN,\s\up6(→)),|\o(BM,\s\