專題3.13直線與拋物線的位置關系-重難點題型精講1．直線與拋物線的位置關系(1)直線與拋物線的三種位置關系：(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立，整理成關于x的方程.

①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；

當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；

當<0時，直線與拋物線相離，無交點.

②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2．弦長問題設直線與拋物線交于A,B兩點，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).3．拋物線的焦點弦問題拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：4．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).5．直線與拋物線中的最值問題求與拋物線有關的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，解與拋物線有關的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的轉化,數形結合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數式，借助目標函數最值的求法解決.6．拋物線有關的應用問題(1)解答與拋物線有關的應用問題時，除了要準確把握題意，了解一些實際問題的相關概念，同時還要注意拋物線的定義及性質、直線與拋物線的位置關系的靈活應用.

(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.【題型1判斷直線與拋物線的位置關系】【方法點撥】結合具體條件，根據直線與拋物線的三種位置關系，進行判斷，即可得解.【例1】（2023秋?寧德期末）直線y＝k（x﹣1）+2與拋物線x2＝4y的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【變式1-1】（2023秋?宣城期末）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A為準線上一點，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【變式1-2】（2023?河南模擬）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【變式1-3】（2020?松江區三模）若x02＞2py0（p＞0），則稱點（x0，y0）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外．已知點P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，則直線l：ax＝p（y+b）與拋物線C的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【題型2弦長問題】【方法點撥】①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結合根與系數的關系“設而不求”，可大大簡化運算過程.②涉及弦長問題，應聯立直線與拋物線的方程，并設法消去未知數y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，由韋達定理得到(或)，代入到弦長公式即可.【例2】（2023秋?欽南區校級期中）已知拋物線的方程為y2＝﹣8x，則直線2x+y+8＝0被該拋物線所截得的弦長為（）A．67 B．76 C．56 【變式2-1】（2023?安徽模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），若直線y＝2x，被拋物線所截弦長為45，則拋物線C的方程為（）A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y【變式2-2】（2023秋?河南月考）已知拋物線C：y2＝4x，斜率為k的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，與圓E：（x﹣5）2+y2＝9相切于點M，且M為線段AB的中點，則弦長|AB|＝（）A．2 B．4 C．37 D．46【變式2-3】（2023?陜西模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F（0，1），若拋物線C上的點A關于直線l：y＝2x+2對稱的點B恰好在射線y＝11（x≤3）上，則直線AF被C截得的弦長為（）A．919 B．1009 C．1189 【題型3拋物線的焦點弦問題】【方法點撥】根據拋物線的焦點弦公式，結合具體條件，進行求解即可.【例3】（2023?遼寧二模）過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，且x1+x2=43，則弦A．163 B．4 C．103 D【變式3-1】（2023?嘉定區三模）設拋物線y2＝8x的焦點為F，過點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點E到y軸的距離為3，則弦AB的長為（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．與l的斜率有關【變式3-2】（2020秋?懷仁市期末）已知直線ax+y+1＝0經過拋物線y2＝4x的焦點，則直線與拋物線相交弦弦長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式3-3】（2023春?平頂山期末）已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為x＝﹣1，過其焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若直線l的斜率為1，則弦AB的長為（）A．4 B．6 C．7 D．8【題型4拋物線中的面積問題】【方法點撥】拋物線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯立直線與拋物線方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.【例4】（2023秋?常州期中）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F與雙曲線x2?y23=1的右頂點重合，過點M（3，0）作?斜角為45°的直線（1）求拋物線方程；（2）若O為坐標原點，求△AOB的面積．【變式4-1】（2023秋?柳州月考）已知動點P到點F1（﹣1，0）的距離與到點F2（1，0）的距離之和為22，若點P形成的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過F1作直線l與曲線C分別交于兩點M，N，當F2M→?F【變式4-2】（2023秋?路南區校級期中）已知拋物線T：y2＝2px（p∈N+）和橢圓C：x25+y2=1，過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交橢圓（Ⅰ）若F恰是橢圓C的焦點，求p的值；（Ⅱ）若MN恰好被AB平分，求△OAB面積的最大值．【變式4-3】（2023?閔行區校級開學）如圖，直線l：y＝kx+b與拋物線x2＝4y相交于不同的兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝h（h為定值），線段AB的中點為D，與直線l平行的拋物線x2＝4y的切線的切點為C．（1）用k、b表示出點C、點D的坐標，并證明CD垂直于x軸；（2）求△ABC的面積（只與h有關，與k、b無關）；【題型5拋物線中的定點、定值問題】【例5】（2023秋?廬陽區校級期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點P（x0，2）到焦點F的距離|PF|＝2x0．（1）求C的方程；（2）點M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．【變式5-1】（2023秋?徐州期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F到雙曲線x23?（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C上一點P到F的距離是4，求P的坐標；（3）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且OA⊥OB，求證：直線l過定點．【變式5-2】（2023秋?浙江期中）已知點P是曲線C上任意一點，點P到點F（1，0）的距離與到y軸的距離之差為1．（1）求曲線C的方程；（2）設直線l1，l2為曲線C的兩條互相垂直切線，切點為A，B，交點為點M．（ⅰ）求點M的軌跡方程；（ⅱ）求證：直線AB過定點，并求出定點坐標．【變式5-3】（2023秋?溫州月考）如圖，曲線C2與拋物線C1：y＝x2關于x軸對稱．P是C2上一動點，過點P作C2的切線與C1自下而上依次交于兩點A，B，過點P作C1的切線與C1切于點C（P，C在y軸同側），直線BC與y軸交于點Q．（Ⅰ）若直線AB經過C1的焦點，求|AB|；（Ⅱ）記△QAB和△PAC的面積分別為S1和S2，判斷S1【題型6拋物線有關的應用問題】【方法點撥】利用拋物線解決實際問題的基本步驟：

①建立適當的直角坐標系；

②求出拋物線的標準方程；

③根據拋物線的方程及定義、直線與拋物線的位置關系來解決實際應用問題.【例6】如圖，一拋物線型石拱橋在如圖所示的直角坐標系中，橋的最大高度為16m，跨度為40m．（1）求拋物線的關系式；（2）求距離y軸5m的石拱橋的高度．【變式6-1】（2020秋?溫州期末）如圖，河道上有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面為8m，拱圈內水面寬16m，為保證安全，要求通過的船頂部（設為平頂）與拱橋頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m．（1）一條船船頂部寬4m，要使這艘船安全通過，則船在水面以上部分高不能超過多少米？（2）近日因受臺風影響水位暴漲2.7m，為此必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞．試問：一艘頂部寬42m，在水面以上部分高為4m【變式6-2】某河上有座拋物線形拱橋，當拱橋高出水面5m時，橋洞水面寬為8m，每年汛期，船工都要考慮拱橋的通行問題．一只寬4m，高2m的裝有防汛器材的船，露出水面部分的高為34m【變式6-3】有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為8米，貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形CDEF，如圖建立平面直角坐標系．（1）求此拋物線的解析式；（2）如果限定矩形的長CD為9米，那么矩形的高DE不能超過多少米，才能使船通過拱橋．（3）若設EF＝a，請將矩形CDEF的面積S用含a的代數式表示，并指出a的取值范圍．專題3.13直線與拋物線的位置關系-重難點題型精講1．直線與拋物線的位置關系(1)直線與拋物線的三種位置關系：(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立，整理成關于x的方程.

①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；

當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；

當<0時，直線與拋物線相離，無交點.

②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2．弦長問題設直線與拋物線交于A,B兩點，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).3．拋物線的焦點弦問題拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：4．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).5．直線與拋物線中的最值問題求與拋物線有關的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，解與拋物線有關的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的轉化,數形結合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數式，借助目標函數最值的求法解決.6．拋物線有關的應用問題(1)解答與拋物線有關的應用問題時，除了要準確把握題意，了解一些實際問題的相關概念，同時還要注意拋物線的定義及性質、直線與拋物線的位置關系的靈活應用.

(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.【題型1判斷直線與拋物線的位置關系】【方法點撥】結合具體條件，根據直線與拋物線的三種位置關系，進行判斷，即可得解.【例1】（2023秋?寧德期末）直線y＝k（x﹣1）+2與拋物線x2＝4y的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【解題思路】直線y＝k（x﹣1）+2過定點（1，2），在拋物線x2＝4y內部，即可得出結論．【解答過程】解：直線y＝k（x﹣1）+2過定點（1，2），∵12＜4×2，∴（1，2）在拋物線x2＝4y內部，∴直線y＝k（x﹣1）+2與拋物線x2＝4y相交，故選：A．【變式1-1】（2023秋?宣城期末）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A為準線上一點，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【解題思路】求出直線AF的中垂線方程，代入y2＝2px，可得y2﹣2ay+p2＝0，即可得出結論．【解答過程】解：設A（?p2，a），則直線AF的中垂線方程為y=pa即2px＝2ay﹣p2，代入y2＝2px，可得y2﹣2ay+p2＝0，∴Δ＝0，∵線段FA的中垂線與拋物線相切．故選：B．【變式1-2】（2023?河南模擬）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【解題思路】先求出拋物線C1的方程，再利用平移變換得出拋物線C3，注意到直線l：x+16y﹣1＝0過點A（0，116），且A在拋物線C3【解答過程】解：圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標為（﹣2，1），代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4．∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3：y＝4x2，注意到直線l：x+16y﹣1＝0過點A（0，116且A在拋物線C3的內部，故直線l與拋物線C3相交，故選：A．【變式1-3】（2020?松江區三模）若x02＞2py0（p＞0），則稱點（x0，y0）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外．已知點P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，則直線l：ax＝p（y+b）與拋物線C的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【解題思路】利用點P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，可得a2＞2pb，直線l：ax＝p（y+b）與拋物線聯立，根據根的判別式即可得出結論．【解答過程】解：∵點P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，∴a2＞2pb，直線l：ax＝p（y+b）與拋物線聯立可得x2﹣2ax+2pb＝0，∴Δ＝4a2﹣8pb＞0，∴直線l：ax＝p（y+b）與拋物線C相交．故選：A．【題型2弦長問題】【方法點撥】①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結合根與系數的關系“設而不求”，可大大簡化運算過程.②涉及弦長問題，應聯立直線與拋物線的方程，并設法消去未知數y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，由韋達定理得到(或)，代入到弦長公式即可.【例2】（2023秋?欽南區校級期中）已知拋物線的方程為y2＝﹣8x，則直線2x+y+8＝0被該拋物線所截得的弦長為（）A．67 B．76 C．56 【解題思路】設直線2x+y+8＝0與拋物線的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線與拋物線方程求出A，B兩點的坐標，再結合兩點之間的距離公式，即可求解．【解答過程】解：設直線2x+y+8＝0與拋物線的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程組y2=?8x2x+y+8=0，解得x故|AB|=(?2+8故選：D．【變式2-1】（2023?安徽模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），若直線y＝2x，被拋物線所截弦長為45，則拋物線C的方程為（）A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y【解題思路】將直線方程代入拋物線方程，求得交點坐標，利用兩點之間的距離公式，即可求得p的值，求得拋物線方程．【解答過程】解：由x2=2pyy=2x，解得：x=0y=0或x=4py=8p，則交點坐標為（0，0），（4則(4p)2+(8p解得：p＝±1，由p＞0，則p＝1，則拋物線C的方程x2＝2y，故選：C．【變式2-2】（2023秋?河南月考）已知拋物線C：y2＝4x，斜率為k的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，與圓E：（x﹣5）2+y2＝9相切于點M，且M為線段AB的中點，則弦長|AB|＝（）A．2 B．4 C．37 D．46【解題思路】先確定M的軌跡是直線x＝3，求得M坐標AB的斜率，利用弦長公式即可求解．．【解答過程】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在時，設斜率為k，則y12＝4x1，y22＝4x2，相減得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），當l的斜率存在時，利用點差法可得ky0＝2，因為直線與圓相切，所以y0x0?5=?1即M的軌跡是直線x＝3．故M（3，5）由y0x0?5=?由此直線方程為：y=25(x?3)+5．聯立拋物線方程可得：4x2﹣24|AB|=1+k2故選：C．【變式2-3】（2023?陜西模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F（0，1），若拋物線C上的點A關于直線l：y＝2x+2對稱的點B恰好在射線y＝11（x≤3）上，則直線AF被C截得的弦長為（）A．919 B．1009 C．1189 【解題思路】先根據拋物線的定義求出p的值，再設A點的坐標為（m，14m2），B點的坐標為（n，11），n≤3，根據點的對稱，求出點A，B的坐標，可得直線AF【解答過程】解：拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F（0，1），則p2=1，即p＝設A點的坐標為（m，14m2B點的坐標為（n，11），n≤3，∴11?1解得m=6n=2，或m=∴A（6，9）∴直線AF的方程為y=43x設直線AF與拋物線的另一個交點為D，由y=43x+1x2∴D（?23，∴|AD|=(6+故直線AF被C截得的弦長為1009故選：B．【題型3拋物線的焦點弦問題】【方法點撥】根據拋物線的焦點弦公式，結合具體條件，進行求解即可.【例3】（2023?遼寧二模）過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，且x1+x2=43，則弦A．163 B．4 C．103 D【解題思路】拋物線的焦點弦長公式為|AB|＝x1+x2+p，代入數據，運算即可．【解答過程】解：由題意知，p＝2，由拋物線的定義知，|AB|＝x1+x2+p=43+故選：C．【變式3-1】（2023?嘉定區三模）設拋物線y2＝8x的焦點為F，過點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點E到y軸的距離為3，則弦AB的長為（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．與l的斜率有關【解題思路】根據拋物線方程可求得p的值，進而利用拋物線的定義可求得|AB|＝x1+x2+4，根據線段AB的中點E到y軸的距離求得x1+x2的值，代入|AB|＝x1+x2+4，求得答案．【解答過程】解：拋物線方程可知p＝4|AB|=|AF|+|BF|=x由線段AB的中點E到y軸的距離為3得，12∴|AB|＝x1+x2+4＝10，故選：A．【變式3-2】（2020秋?懷仁市期末）已知直線ax+y+1＝0經過拋物線y2＝4x的焦點，則直線與拋物線相交弦弦長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【解題思路】求出拋物線的焦點和準線方程，代入焦點，可得a＝﹣1，聯立直線和拋物線方程，運用韋達定理，結合拋物線的定義可得弦長AB＝x1+x2+p＝6+2＝8．【解答過程】解：拋物線y2＝4x的焦點為（1，0），準線為x＝﹣1，由題意可得，a+1＝0，解得a＝﹣1，聯立直線y＝x﹣1和拋物線方程y2＝4x，可得x2﹣6x+1＝0，設交點A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2＝6，由拋物線的定義可得|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．故選：C．【變式3-3】（2023春?平頂山期末）已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為x＝﹣1，過其焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若直線l的斜率為1，則弦AB的長為（）A．4 B．6 C．7 D．8【解題思路】求出拋物線以及直線的方程，聯立方程組，由韋達定理結合拋物線的定義求解即可．【解答過程】解：依題意得，拋物線C的方程是y2＝4x，直線l的方程是y＝x﹣1，聯立y2=4x，y=x?1可得（x﹣1）2＝4x，即x2﹣6x設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝6，所以|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．故選：D．【題型4拋物線中的面積問題】【方法點撥】拋物線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯立直線與拋物線方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.【例4】（2023秋?常州期中）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F與雙曲線x2?y23=1的右頂點重合，過點M（3，0）作?斜角為45°的直線（1）求拋物線方程；（2）若O為坐標原點，求△AOB的面積．【解題思路】（1）求出雙曲線的右頂點，得到拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F，即可求解拋物線方程．（2）聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理，求解三角形的面積．【解答過程】解：（1）由雙曲線x2?y23即可得拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F（1，0），所以拋物線的方程為y2＝4x．（2）由題意可得直線l的方程：y＝x﹣3，將直線與拋物線聯立y=x?3y2=4x，整理可得y2﹣4y設A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣12，S△AOB=12×3×|y1﹣y2【變式4-1】（2023秋?柳州月考）已知動點P到點F1（﹣1，0）的距離與到點F2（1，0）的距離之和為22，若點P形成的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過F1作直線l與曲線C分別交于兩點M，N，當F2M→?F【解題思路】（1）根據橢圓的定義可得動點P的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，求出a，b的值，即可得出答案．（2）對直線l的斜率分類討論，若斜率不存在，直接求出F2M→?F2N→和S△MF2N的最值；若斜率不存在，設直線方程和點M，N坐標，聯立方程組，并消元得到一元二次方程，根據韋達定理表示出x1+x2，x1x2【解答過程過程】解：（1）動點P到兩頂點F1（﹣1，0），F2（1，0）的距離之和為22，所以|PF1|+|PF2|＝22＞|F1F2|＝2則動點P的軌跡是F1，F2為焦點的橢圓，所以2a＝22，c＝1，即a=2，b2＝a2﹣c2＝1所以曲線C的方程為x22+y2（2）①當直線l的斜率不存在時，x＝﹣1，則M（﹣1，22），N（﹣1，?此時F2M→S△MF2N=12×2×②當直線l的斜率存在時，設為y＝k（x+1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），聯立y=k(x+1)x22+y2=1，得（1+2k2）x2+4k2x+2所以x1+x2=?4k22k2所以y1y2＝k（x1+1）?k（x2+1）＝k2（x1x2+x1+x2+1）=?F2M→?F2M→=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x=2(=7=7綜合①②可得，當直線l：x＝﹣1時，F2M→所以S△M【變式4-2】（2023秋?路南區校級期中）已知拋物線T：y2＝2px（p∈N+）和橢圓C：x25+y2=1，過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交橢圓（Ⅰ）若F恰是橢圓C的焦點，求p的值；（Ⅱ）若MN恰好被AB平分，求△OAB面積的最大值．【解題思路】（1）由題可知F是橢圓C的焦點，根據橢圓方程即可求解；（2）由拋物線與直線相交于A，B兩點，則聯立直線與拋物線方程，可得到AB中點G的坐標，根據垂直關系，以及點G在橢圓內部，即可進行求解．【解答過程】解：（Ⅰ）在橢圓中，c2＝a2﹣b2＝4，所以c＝2，由p2=2，得p＝（Ⅱ）設直線l：x=my+p2，代入拋物線方程得y2﹣2mpy﹣p2＝設AB的中點G（x0，y0），則y0＝mp，x0由kOG?kMN=?由點G在橢圓內，得(m2p+因為p∈Z，所以p的最大值是2，△OAB面積S=1所以，當p＝2時，△OAB面積的最大值是32【變式4-3】（2023?閔行區校級開學）如圖，直線l：y＝kx+b與拋物線x2＝4y相交于不同的兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝h（h為定值），線段AB的中點為D，與直線l平行的拋物線x2＝4y的切線的切點為C．（1）用k、b表示出點C、點D的坐標，并證明CD垂直于x軸；（2）求△ABC的面積（只與h有關，與k、b無關）；【解題思路】（1）直線l：y＝kx+b代入拋物線x2＝4y，求出D的坐標，設切線方程為y＝kx+m，代入拋物線方程，求出C的坐標，即可證明結論；（2）利用韋達定理，表示出三角形面積，即可得出結論；【解答過程】解：（1）由直線l：y＝kx+b與拋物線x2＝4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b∴點D（2k，2k2+b）…（2分）設切線方程為y＝kx+m，代入拋物線方程可得x2﹣4kx﹣4m＝0，得Δ＝4p2k2+16m＝0，m＝k2，切點的橫坐標為2k，得C（2k，k2），由于C、D的橫坐標相同，∴CD垂直于x軸．（2）∵h2=|x2?x1|2=16∴S△ABC=12|CD||x2﹣x1|∴△ABC的面積與k、b無關，只與h有關．【題型5拋物線中的定點、定值問題】【例5】（2023秋?廬陽區校級期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點P（x0，2）到焦點F的距離|PF|＝2x0．（1）求C的方程；（2）點M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．【解題思路】（1）利用拋物線的定義，轉化求解拋物線方程即可．（2）①直線MN斜率不存在時，PM⊥PN不成立；②直線MN斜率不存在時，設直線MN：y＝kx+m，聯立直線與拋物線方程，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結合向量的數量積，推出k、m的關系，說明直線MN過點H（5，﹣2），推出結果．【解答過程】解：（1）由拋物線定義，得|PF|=x0+p所以拋物線C的方程為y2＝4x．（2）證明：①直線MN斜率不存在時，PM⊥PN不成立；②直線MN斜率存在時，設直線MN：y＝kx+m，y2=4xy=kx+m解得k2x2+（2km﹣4）x+m2設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x因為PM⊥PN，所以PM→得(k所以(k得5k2+（6m﹣8）k+m2﹣4＝0，即（k+m﹣2）（5k+m+2）＝0，當m＝﹣k+2時，過定點P（1，2），不符合題意；當m＝﹣5k﹣2時，直線MN過點H（5，﹣2），所以點D在以PH為直徑的圓上，故當Q為PH的中點Q（3，0）時，|DQ|=22【變式5-1】（2023秋?徐州期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F到雙曲線x23?（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C上一點P到F的距離是4，求P的坐標；（3）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且OA⊥OB，求證：直線l過定點．【解題思路】（1）由拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離可得p值，即得拋物線方程，（2）由拋物線的定義，可得P點，（3）由直線的位置關系，再聯立拋物線，可得定點．【解答過程】解：（1）拋物線的焦點F為(p2，即x±3y=0解得p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x，（2）設P（x0，y0），由拋物線的定義可知x0+p解得x0＝2，將x0＝2代入方程y2＝8x，得y0＝±4，即P的坐標為（2，±4）．證明：（3）由題意知直線l不能與x軸平行，故方程可設為x＝my+n（n≠0），與拋物線聯立得x=my+ny2=8x，消去x得y2﹣8my﹣8n設A（x1，y1）B（x2，y2），則y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝0，y1y2亦即﹣8n（1+?8n64）＝0，又n≠解得n＝8，所以直線方程為x＝my+8，易得直線l過定點（8，0）．【變式5-2】（2023秋?浙江期中）已知點P是曲線C上任意一點，點P到點F（1，0）的距離與到y軸的距離之差為1．（1）求曲線C的方程；（2）設直線l1，l2為曲線C的兩條互相垂直切線，切點為A，B，交點為點M．（ⅰ）求點M的軌跡方程；（ⅱ）求證：直線AB過定點，并求出定點坐標．【解題思路】（1）由題意直接寫出拋物線方程即可，（2）（i）求出過A，B兩點的切線方程，再由題意兩切線互相垂直，得出M的軌跡方程即可，（ii）寫出AB的方程，再化簡得出定點即可．【解答過程】解：（1）點P到（1，0）的距離等于到直線x＝﹣1的距離，p2=1，則p＝∴曲線C的方程：y2＝4x，（2）設A(y124，同理可得過點B的切線為y=2根據l1⊥l2，可得y1y2＝﹣4．所以聯立兩條切線方程y=2可得xM＝﹣1，所以M的軌跡為x＝﹣1，（ii）由題意可得lAB的直線方程為y?y=4所以必過（1，0）．【變式5-3】（2023秋?溫州月考）如圖，曲線C2與拋物線C1：y＝x2關于x軸對稱．P是C2上一動點，過點P作C2的切線與C1自下而上依次交于兩點A，B，過點P作C1的切線與C1切于點C（P，C在y軸同側），直線BC與y軸交于點Q．（Ⅰ）若直線AB經過C1的焦點，求|AB|；（Ⅱ）記△QAB和△PAC的面積分別為S1和S2，判斷S1【解題思路】（Ⅰ）設P(x0，?x02)(x0＜0)，根據導數寫出切線方程，由（Ⅱ）lPC：y=k(x?x0)?x02，聯立y＝x2，得x2?kx+kx0【解答過程】解：（Ⅰ）由對稱性不妨設P在y軸左側，設P(x∵y＝﹣x2，∴y'＝﹣2x，∴lAB又lAB過拋物線y＝x2的焦點(0，∴x02=14，∴x聯立y＝x2，得x2設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1∴|AB|=2（Ⅱ）由對稱性不妨設P在y軸左側，設P(xlPC：y=k(x?x0)?x0∴Δ=k∵點C在y軸左側，∴k=2x設C（x3，y3），∴x3聯立y=?∴x2＝﹣x3，∴BC∥x軸．∴SΔQAB＝SΔQAC＝S1，∴2S∴S1【題型6拋物線有關的應用問題】【方法點撥】利用拋物線解決實際問題的基本步驟：

①建立適當的直角坐標系；

②求出拋物線的標準方程；

③根據拋物線的方程及定義、直線與拋物線的位置關系來解決實際應用問題.【例6】如圖，一拋物線型石拱橋在如圖所示的直角坐標系中，橋的最大高度為16m，跨度為40m．（1）求拋物線的關系式；（2）求距離y軸5m的石拱橋的高度．【解題思路】（1）根據題意，拋物線的頂點坐標是（0，0），并且過（20，﹣16），利用拋物線的頂點坐標式待定系數法求它的表達式即可；（2）把x＝5代入函數表達式，解方程即可．【解答過程】解：（1）設拋物線的解析式為：y＝ax2，∵拋物線過（20，﹣16），根據題意代入，得a=?即得拋物線的解析式為y=?125（2）把x＝5代入函數表達式，得y=?125×516﹣