考向17任意角、弧度制及其任意角的三角函數1．（2020·全國高考真題（理））若α為第四象限角，則（）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【分析】由題意結合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當時，，選項B錯誤；當時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【點睛】本題主要考查三角函數的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數值等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2．（2020·浙江高考真題）已知圓錐的側面積（單位：）為2π，且它的側面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______．【答案】【分析】利用題目所給圓錐側面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查圓錐側面展開圖有關計算，屬于基礎題.(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角．(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．(3)利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出角α終邊的位置．(4)判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線．【知識拓展】三個三角函數的性質如下表：三角函數定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－1．（2021·鄂爾多斯市第一中學高一月考（文））半徑為2，中心角為的扇形的面積等于（）A． B． C． D．2．（2021·安徽池州一中高三其他模擬（理））已知一個半徑為3的扇形的圓心角為，面積為，若，則（）A． B． C． D．3．（2021·全國高三其他模擬）已知點，為坐標原點，線段繞原點逆時針旋轉，到達線段，則點的坐標為（）A． B．C． D．4．（2021·全國高三其他模擬（理））方程實數根的個數為___________.1．（2021·安徽池州一中高三其他模擬（理））已知一個半徑為3的扇形的圓心角為，面積為，若，則（）A． B． C． D．2．（2021·重慶高三其他模擬）已知是第二象限角，角的終邊經過點，則為（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（2021·全國高三其他模擬（理））中國傳統扇文化有著深厚的底蘊，一般情況下，折扇可以看做是從一個圓形中前下的扇形制作而成的，當折扇所在扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比值為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的圓心角的弧度數為（）A． B． C． D．4．（2021·河北衡水中學高三三模）已知，則的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限5．（2021·珠海市第二中學高三其他模擬）已知為銳角的內角，滿足，則（）A． B．， C．， D．，6．（2021·遼寧高三其他模擬）“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號．如圖是折扇的示意圖，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M為OA的中點，則扇面（圖中扇環）部分的面積是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm27．（2021·合肥市第六中學高三其他模擬（理））如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線(也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線)，它每過相同的間隔振幅就變化一次，且過點，其對應的方程為(，其中為不超過的最大整數，).若該葫蘆曲線上一點到軸的距離為，則點到軸的距離為（）A． B． C． D．8．（2021·遼寧高三三模）（多選題）如圖，圓心在坐標原點、半徑為的半圓上有一動點，、是半圓與軸的兩個交點，過作直線垂直于直線，為垂足．設，則下列結論正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則的最大值為9．（2021·寧夏銀川一中高三其他模擬（文））若，，則___________.10．（2021·浙江高三其他模擬）已知為平面內一定點且，平面內的動點滿足：存在實數，使，若點的軌跡為平面圖形，則的面積為___________.11．（搶分樣卷2021年普通高等學校招生全國統一考試）在平面直角坐標系中，圓，直線與圓交于，兩點，是線段的中點，若點的橫坐標為1，則______；者變化，則點的軌跡長度為______．12．（2021·河南高一三模）已知角的終邊經過點().（1）求的值；（2）若是第二象限角，求的值.1．（2011·全國高考真題（理））已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()A．－ B．－ C． D．2．（2007·北京高考真題（理））已知，那么角是（）A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角3．（2012·安徽高考真題（理））在平面直角坐標系中，，將向量按逆時針旋轉后，得向量則點的坐標是A． B．C． D．4．（2018·全國高考真題（文））已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則A． B． C． D．5．（2018·北京高考真題（文））在平面直角坐標系中，是圓上的四段弧（如圖），點P在其中一段上，角以O??為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．6．（2011·山東高考真題（文））點(a,9)在函數y=3x的圖象上，則tan的值為（）A．0 B． C．1 D．7．（2012·上海高考真題（文））若，則在中，正數的個數是（）A．16 B．72 C．86 D．1008．（2017·北京高考真題（理））在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若，則=___________.9．（2010·北京高考真題（理））如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設頂點p（x，y）的軌跡方程是，則的最小正周期為；在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區域的面積為．說明：“正方形PABC沿軸滾動”包括沿軸正方向和沿軸負方向滾動．沿軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續．類似地，正方形PABC可以沿軸負方向滾動．10．（2008·江蘇高考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為（1）求的值；（2）求的值．1．【答案】C【分析】根據扇形的面積公式即可求解.【詳解】解：因為扇形的半徑，中心角，所以扇形的面積，故選：C.2．【答案】C【分析】由扇形的面積公式得,進而根據正切的和角公式解方程得.【詳解】解:由扇形的面積公式得,解得,所以,解得故選:C3．【答案】D【分析】根據三角函數的定義確定出終邊經過點的的三角函數值，然后根據位置關系判斷出的終邊經過，結合兩角和的正、余公式求解出的坐標.【詳解】由的坐標可知在單位圓上，設的終邊經過點，所以，又因為由繞原點逆時針旋轉得到，所以的終邊經過點且也在單位圓上，所以，又因為，所以，故選：D.4．【答案】2【分析】先將化簡為，求得，然后根據，即可得到或，進而得到實數根的個數.【詳解】因為，所以，即，因此，解得（舍）或，又因為，所以或，所以方程實數根的個數為2個，故答案為：2.1．【答案】C【分析】由扇形的面積公式得,進而根據正切的和角公式解方程得.【詳解】解:由扇形的面積公式得,解得,所以,解得故選:C2．【答案】D【分析】利用誘導公式和第二象限中三角函數值的正負可確定角的終邊所過點所處的象限，由此可確定結果.【詳解】，，又為第二象限角，，，點位于第四象限，角的終邊經過點，為第四象限角.故選：D.3．【答案】A【分析】設扇形的弧長為，半徑為，圓心角的弧度數為，由扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比得出，即得出所求.【詳解】設扇形的弧長為，半徑為，圓心角的弧度數為，由題意得，變形可得，因為，所以折扇所在扇形的圓心角的弧度數為．故選：A.4．【答案】D【分析】兩邊平方得，進而得或，，，再分為偶數和為奇數兩種情況討論求解即可.【詳解】解：由，平方得：，則，即，則或，，即有或，，當為偶數時，位于第二象限，，，，不成立，當為奇數時，位于第四象限，，，成立.∴角的終邊在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查正弦的二倍角公式，根據三角函數的符號求角的范圍，考查運算求解能力，分類討論思想，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據題意得，進而根據函數符號得的范圍，再分類討論求解.5．【答案】C【分析】設，則，根據零點存在性定理判斷零點所在區間；【詳解】解：為銳角的內角，滿足，設，即，，則函數在上為連續函數，又在上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞增；在中取，得，在中取，得，，，，.故選：.6．【答案】B【分析】根據扇形面積公式計算可得；【詳解】解：扇環的面積為．故選：B7．【答案】B【分析】根據的坐標，求得，若該葫蘆曲線上一點到軸的距離為，即，代入即可求得結果.【詳解】由曲線過知，，即，又，求得，若該葫蘆曲線上一點到軸的距離為，即代入得到故選：B8．【答案】AC【分析】利用三角形三邊關系可判斷A選項的正誤；取可判斷B選項的正誤；利用基本不等式可判斷C選項正誤；利用輔助角公式結合正弦型函數的有界性可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，由三角形三邊關系可得，即，A選項正確；對于B選項，當時，，B選項錯誤；對于C選項，，，，則，，由基本不等式可得，當且僅當時，因為，即當時，等號成立，C選項正確；對于D選項，，，所以，，，可得，所以當時，即當時，取最大值為，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：三角函數最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數化為的形式求最值；③利用和的關系轉換成二次函數求最值．9．【答案】【分析】根據三角函數的誘導公式，求得，結合，進而求得的值.【詳解】由三角函數的誘導公式，可得，即，又因為，所以.故答案為：.10．【答案】【分析】以為圓心，以為半徑作圓，過作圓的切線，分別與圓切于點，，連結，，延長與圓交于點，設點，滿足，由，則點在的延長線上，若要存在使得，所以的延長線與圓有交點，從而得出點點的軌跡圖形，從而可求解.【詳解】以為圓心，以為半徑作圓，過作圓的切線，分別與圓切于點，，連結，，延長與圓交于點，存在點以及實數，設點，滿足，，即由，可知點在的延長線上，若要存在使得，相當于的延長線與圓有交點，故只能在圖中陰影部分，所以點的軌跡面積，因為與圓相切于點，所以，由勾股定理可知，，所以，同理，因為，所以，所以，綜上所述，的面積為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題考查軌跡問題，圓的幾何性質和平面向量的共線的結論的應用，解答本題的關鍵是設點，滿足，由，可知點在的延長線上，由條件得出相當于的延長線與圓有交點，從而得出點點的軌跡圖形，屬于中檔題.11．【答案】【分析】(1)由知，聯立圓和直線的方程得出一元二次方程，結合韋達定理表示跟與系數的關系，得出，結合的范圍解出即可.(2)由知點的軌跡是以為直徑的圓在圓內部的一段弧,記為弧易知，結合弧長公式求出弧.【詳解】(1)連接，因為點是弦的中點，所以，設，，有得，，，又是的中點所以，，所以，即，解得或(舍去).(2)連接，由知點的軌跡是以為直徑的圓在圓內部的一段弧(不包括弧的兩個端點)，記為弧．連接，，，，因為，，所以在直角三角形和直角三角形中，，所以，故弧的長度為．故答案為：；.【點睛】處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法．在解題時應強化有關直線與圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積或扇形面積(弧長)等問題．12．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用誘導公式對式子進行化簡，再根據角的終邊經過的點求出，即可求解；（2）先根據是第二象限角，判斷出的符號，進而根據三角函數定義求出，再對式子進行化簡代入即可求解.【詳解】解：（1）,,即.又角的終邊經過點()，，故；（2）是第二象限角，，則，，.1．【答案】B【分析】根據直線的斜率等于傾斜角的正切值，由已知直線的斜率得到tanθ的值，然后根據同角三角函數間的基本關系求出cosθ的平方，然后根據二倍角的余弦函數公式把所求的式子化簡后，把cosθ的平方代入即可求出值．【詳解】解：根據題意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，則cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故選B．【點睛】此題考查學生掌握直線的斜率與傾斜角之間的關系，靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．2．【答案】C【詳解】∵，∴當cosθ<0，tanθ>0時，θ∈第三象限；當cosθ>0，tanθ<0時，θ∈第四象限，故選C．3．【答案】A【詳解】試題分析：設，再設，則，由題意可得，從而可得，故答案選A.考點：平面向量.4．【答案】B【分析】首先根據兩點都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數的定義式，求得，從而得到，再結合，從而得到，從而確定選項.【詳解】由三點共線，從而得到，因為，解得，即，所以，故選B.【點睛】該題考查的是有關角的終邊上點的縱坐標的差值的問題，涉及到的知識點有共線的點的坐標的關系，余弦的倍角公式，余弦函數的定義式，根據題中的條件，得到相應的等量關系式，從而求得結果.5．【答案】C【解析】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項，利用三角函數的三角函數線可得正確結論.詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項：當點在上時，，，故A選項錯誤；B選項：當點在上時，，，，故B選項錯誤；C選項：當點在上時，，，，故C選項正確；D選項：點在上且在第三象限，，故D選項錯誤.綜上，故選C.點睛：此題考查三角函數的定義，解題的關鍵是能夠利用數形結合思想，作出圖形，找到所對應的三角函數線進行比較.6．【答案】D【詳解】將（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴=．故選D．7．【答案】C【詳解】令，則，當1≤n≤14時，畫出角序列終邊如圖，其終邊兩兩關于x軸對稱，故有均為正數，而，由周期性可知，當1