第27講圖形與變換第1課時(shí)圖形軸對(duì)稱與中心對(duì)稱1．軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形考試內(nèi)容考試要求軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形a定義把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形，那么就說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是，兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)．如果一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能夠完全，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的．區(qū)別軸對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系．軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形．軸對(duì)稱的性質(zhì)1.對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸____________________；2．對(duì)應(yīng)線段____________________；3．對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線段的交點(diǎn)在____________________上；4．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形．c2.中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形考試內(nèi)容考試要求中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形a定義把一個(gè)圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，如果與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做其對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)前后重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)．把一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能與其自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做．區(qū)別中心對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系．中心對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形．中心對(duì)稱的性質(zhì)1.中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過____________________，而且被對(duì)稱中心____________________；2．成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形．c考試內(nèi)容考試要求基本思想轉(zhuǎn)化思想：有關(guān)幾條線段之和最短的問題，都是把它們轉(zhuǎn)化到同一條直線上，然后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決．c(2016·紹興)我國傳統(tǒng)建筑中，窗框(如圖1)的圖案玲瓏剔透、千變?nèi)f化，窗框一部分如圖2，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸有()A．1條B．2條C．3條D．4條2．(2016·湖州)為了迎接杭州G20峰會(huì)，某校開展了設(shè)計(jì)“YJG20”圖標(biāo)的活動(dòng)，下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()(2017·衢州)如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3)D.eq\f(5,4)4．(2017·麗水)如圖，由6個(gè)小正方形組成的2×3網(wǎng)格中，任意選取5個(gè)小正方形并涂黑，則黑色部分的圖形是軸對(duì)稱圖形的概率是____________________．【問題】給出下列圖形．(1)這些圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是________；(2)畫出平行四邊形ABCD關(guān)于DC所在直線對(duì)稱的平行四邊形A1B1C1D1；(3)通過(1)、(2)解題體驗(yàn)，你想到哪些知識(shí)和方法？【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱和中心對(duì)稱以及畫圖．類型一軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形eq\a\vs4\al(例1)(1)(2015·無錫)下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是()A．等邊三角形B．平行四邊形C．矩形D．圓(2)(2017·山東模擬)如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，則陰影部分的面積為________．【解后感悟】(1)軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，兩邊圖形折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后重合；(2)解答的關(guān)鍵是菱形是中心對(duì)稱圖形，并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半．(1)如圖，△ABC中，AB＝AC，△ABC與△FEC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，連結(jié)AE，BF，當(dāng)∠ACB為________度時(shí)，四邊形ABFE為矩形()A．90°B．30°C．60°D．45°(2015·陽谷模擬)若∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連結(jié)OP1，OP2，則下列結(jié)論最準(zhǔn)確的是()A．OP1⊥OP2B．OP1＝OP2C．OP1≠OP2D．OP1⊥OP2且OP1＝OP2(2017·溫州模擬)如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個(gè)小正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的一個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形的涂法有種．類型二網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系中的圖形變換eq\a\vs4\al(例2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)，請(qǐng)解答下列問題：(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；(2)畫出△A1B1C1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．【解后感悟】本題運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱變換及旋轉(zhuǎn)變換．解答此類題目的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，然后根據(jù)題意找到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連結(jié)即可．2．(1)(2015·杭州模擬)如下圖均為2×2的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正形的邊長(zhǎng)均為1，請(qǐng)分別在四個(gè)圖中各畫出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱、頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且位置不同的三角形．(2)(2017·寧波)在4×4的方格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．①在圖1中畫出與△ABC成軸對(duì)稱且與△ABC有公共邊的格點(diǎn)三角形(畫出一個(gè)即可)；②將圖2中的△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的三角形．(3)(2015·南昌)如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱，已知A，D1，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求對(duì)稱中心的坐標(biāo)；(2)寫出頂點(diǎn)B，C，B1，C1的坐標(biāo)．類型三軸對(duì)稱變換解決折疊問題eq\a\vs4\al(例3)(1)(2016·齊齊哈爾)如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié)MC，將菱形ABCD翻折，使點(diǎn)A落在線段CM上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)N，則線段EC的長(zhǎng)為.【解后感悟】此題運(yùn)用菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形．(2)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE＝BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點(diǎn)G，連結(jié)DG，B′G.求證：①∠1＝∠2；②DG＝B′G.【解后感悟】本題運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的證明等知識(shí)，首先折疊問題是一種常見題型，折疊前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，也就是說折疊變換就是全等變換．另外本題考查了一種常見的解題思路，證明兩條線段相等或兩個(gè)角相等，可以證明它們所在的兩個(gè)三角形全等．(1)(2015·莆田)數(shù)學(xué)興趣小組開展以下折紙活動(dòng)：①對(duì)折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN.觀察，探究可以得到∠ABM的度數(shù)是()A．25°B．30°C．36°D．45°(2016·河南)如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3.點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，過點(diǎn)B′作AD的垂線，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N.當(dāng)點(diǎn)B′為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為.類型四軸對(duì)稱變換解決最小值問題eq\a\vs4\al(例4)(2015·內(nèi)江)如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE最小，則這個(gè)最小值為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)【解后感悟】此題主要運(yùn)用了軸對(duì)稱求最短路線以及正方形、等邊三角形的性質(zhì)，把線段PD與PE長(zhǎng)度之和轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．4．(2016·百色)如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD＋CD的最小值是()A．4B．3eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2＋eq\r(3)【探索研究題】(2017·臺(tái)州)如圖，矩形EFGH四個(gè)頂點(diǎn)分別在菱形ABCD的四條邊上，BE＝BF，將△AEH，△CFG分別沿邊EH，F(xiàn)G折疊，當(dāng)重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的eq\f(1,16)時(shí)，則eq\f(AE,EB)為()A.eq\f(5,3)B．2C.eq\f(5,2)D．4【方法與對(duì)策】利用菱形的翻折變換(折疊問題)為背景給出問題的信息，借助基本圖形，即陰影部分是菱形，揭示數(shù)量關(guān)系，設(shè)AB＝4y，BE＝x，從而得出陰影部分邊長(zhǎng)為4y－2x，再由重疊部分面積是菱形ABCD面積的eq\f(1,16)，可得陰影部分邊長(zhǎng)為eq\f(AB,4)＝y(tǒng)，根據(jù)4y－2x＝y(tǒng)，求出x，從而得出答案．【對(duì)稱圖形的概念理解不透】以下圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()A．等邊三角形B．矩形C．等腰梯形D．平行四邊形參考答案第27講圖形與變換第1課時(shí)圖形軸對(duì)稱與中心對(duì)稱【考點(diǎn)概要】1．重合對(duì)稱軸重合對(duì)稱軸垂直平分相等對(duì)稱軸全等2.180°180°對(duì)稱中心對(duì)稱中心平分全等【考題體驗(yàn)】1．B2.D3.B4.eq\f(1,3)【知識(shí)引擎】【解析】(1)①(2)(3)軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形以及對(duì)稱變換畫圖．【例題精析】例1(1)A(2)12例2(1)如圖所示：點(diǎn)A1的坐標(biāo)(2，－4)；(2)如圖所示，點(diǎn)A2的坐標(biāo)(－2，4)．例3(1)如圖，過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M為AD中點(diǎn)，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝eq\f(1,2)MD＝eq\f(1,2)，∴FM＝DM×cos30°＝eq\f(\r(3),2)，∴MC＝eq\r(FM2＋CF2)＝eq\r(7)，∴EC＝MC－ME＝eq\r(7)－1.故答案為：eq\r(7)－1.(2)證明：①由折疊知，∠1＝∠CEF，又由平行四邊形的性質(zhì)知，CD∥AB，∴∠2＝∠CEF，∴∠1＝∠2.②由折疊知，BF＝B′F，又∵DE＝BF，∴DE＝B′F，由①知∠1＝∠2，∴GE＝GF，又由平行四邊形的性質(zhì)知，CD∥AB，∴∠DEF＝∠EFB，由折疊知，∠EFB＝∠EFB′，∴∠DEF＝∠EFB′，即∠DEG＋∠1＝∠GFB′＋∠2，∴∠DEG＝∠GFB′，∴△DEG≌△B′FG(SAS)，∴DG＝B′G.例4由題意，可得BE與AC交于點(diǎn)P.∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面積為12，∴AB＝2eq\r(3).又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝2eq\r(3).故所求最小值為2eq\r(3).故選B.【變式拓展】1．(1)C(2)D(3)32．(1)(2)①畫出下列其中一個(gè)即可．②①根據(jù)對(duì)稱中心的性質(zhì)，可得對(duì)稱中心的坐標(biāo)是D1D的中點(diǎn)，∵D1，D的坐標(biāo)分別是(0，3)，(0，2)，∴對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(0，2.5)．②∵A，D的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)都是：4－2＝2，∴B，C的坐標(biāo)分別是(－2，4)，(－2，2)，∵A1D1＝2，D1的坐標(biāo)是(0，3)，A1的坐標(biāo)是(0，1)，∴B1，C1的坐標(biāo)分別是(2，1)，(2，3)，綜上，可得頂點(diǎn)B，C，B1，C1的坐標(biāo)分別是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．(1)B(2)eq\f(3\r(2),2)或eq