優(yōu)化集訓(xùn)21空間角與距離

基礎(chǔ)鞏固

1.（2018浙江學(xué)考）如圖，在正方體力頗-486；”中，直線4c與平面46切所成角的余弦值是（）

A.iB.農(nóng)

33

C.-D.—

33

2.在四面體ABCD^,二面角A-BC-D為60°,點戶為直線比'上一動點,記直線PA與平面6繆所成角

為。，則（）

A.9的最大值為60°B.e的最小值為60°

C.9的最大值為30°D.0的最小值為30°

3.在三棱柱ABC-A^G中，△/勿是邊長為2的等邊三角形,幽」底面ABC,M=3,〃是"的中點，則

異面直線能與匐所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.在正四棱柱ABCD-ABCD中,44仆月,AB=^2.,二面角A.-BD-A的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（2019浙江學(xué)考）如圖,在四棱柱ABCD-A^CM中，平面4瓜切，平面ABCD,且四邊形/以力和四邊

形4反切都是正方形,則直線被與平面所成角的正切值是（）

A-?B-TC.V2D.V3

6.正方體力比％4a&4的棱長為1,。為底面481G"的中心，則點。到平面A6G”的距離是（）

rV2

Bc.—D

-T2-T

7.在平行六面體ABCD-ABCR中，AB=AD=AAl=\,/物場90°,/8AAi=NDAAi=6Q；則異面直線M與

8G所成角的余弦值是（）

B-tC-TD-1

8.（2023浙江紹興）軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示,在直角圓錐?T8C

中,4?為底面圓的直徑,C在底面圓周上且為觸的中點，則異面直線期與4C所成角的大小為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

9.（多選）（2023浙江舟山中學(xué)）在平行六面體ABCD-ABCD中，ZDAB=AAlAB=Z

4加%,A414,48刃加2,以下選項正確的是（）

A.平行六面體4853歸G0的體積為6V2

B.異面直線能與4c所成角的正弦值為斗

C./a_L平面BDDxBx

D.二面角2T4-6的余弦值為:

10.（2023浙江溫州A卷）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為

面圍成的多面體,如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐,共可截去八個三棱

錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則直線仞V與平面465所成角

的正弦值為.

D

11.在長方體ABCD-A.BiCM中，AB2AD=AAl=i,則點反到平面"6。的距離為.

12.（2023浙江杭州）已知正三棱柱ABC-A^G的各條棱長都是2,則直線笫與平面448歸所成角的

正切值為；直線CS與直線48所成角的余弦值為.

13.（2023浙江臺州）已知正方體ABCD-A瓜CD的棱長為3,在正方體的頂點中，到平面4龍的距離為

舊的頂點可能是.（寫出一個頂點即可）

14.（2023浙江麗水）在直三棱柱ABC-A^Q中，D,￡分別是AA,B.G的中點,DGLBD,AC=BC=1,M=2.

（1）求證:6C_L平面MGC;

⑵求點￡到平面的距離.

能力提升

15.（2023浙江臺州）在正三棱臺ABC-ABC中，平面B\BCC、,AB畛AB,則異面直線圈與8G所成

角的余弦值為（）

A/B-C.iD.叵

5555

16.（2022浙江杭州二中）在平行六面體ABCD-ABGD1中,AB2/%2,NBAD=NBAAi=/

加4140°,則直線正與陽所成角的正弦值為（）

AVHV3「V21n5^7

A.D.-L.U.

42421414

17.（多選）（2023浙江余姚）已知正四棱柱ABCD-ABCD的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,點〃為側(cè)棱CQ

上的動點（包括端點），/此平面*下列說法正確的有（）

A.異面直線■與8K可能垂直

B.直線6c與平面a可能垂直

C.4?與平面a所成角的正弦值的取值范圍為，￥]

D.若a且CM=MCX,則平面a截正四棱柱所得截面多邊形的周長為3V2

18.(2023浙江紹興)在正方體ABCD-AiBCK中，棱長為3,。是上底面A^CM的一個動點.

(1)求三棱錐4-4況的體積；

⑵當(dāng)a是上底面4AG”的中心時，求與平面所成角的余弦值.

19.(2023浙江麗水)

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面/題為直角梯形,AB//CD,/掰。K0°,AB畛CDAPALCD,在銳角三

角形序〃中，AD=PD%正，點、E在PD上,PE丸ED.

⑴求證:以〃平面ACE;

(2)若/C與平面R力所成的角為30°,求二面角PTC-6的正切值.

優(yōu)化集訓(xùn)21空間角與距離

基礎(chǔ)鞏固

1.D解析；正方體ABCD-A\BC。,

?％2」平面四必

?：N4G4即為直線4c與平面/皿所成角，設(shè)正方體棱長為1,

?/Aj—ACV2V6

??cos/LA\CA------=-p——.

ArCV33

故選D.

2.A解析設(shè)點A在平面皿上的射影為點。，作OE±BC,連接AE,則為二面角A-BC-D的平

面角.

連接OP,AP,則sin/"。&=—?—=sinZAEO?—<—,故選A.

4PAEAPAP2

E

C

3.A解析取48中點兒連接NM,Na,

:?〃為A6的中點，易知仞V〃陽，

二/G仞V即為異面直線能與閱所成角.

：N4_L平面ABC,

.,.AAxYNG,

.,.MNLNG.

:是邊長為2的等邊三角形，且M=3,

；.NC\=W,MNA,

ZtanZGW=^=—,

MN3

?：/CiMN1>0°.故選A.

4.C解析取劭中點ft連接AO,在正四棱柱ABCD-AiBrCM中，易知AO±BD,

：24_L平面ABCD,可知,A.OLBD,

.,.ZAOA即為二面角Ar-BD-A的平面角.

.：tan//@嘿=?=遍，.：//@到。.故選C.

5.C解析連接4c交能于點0,由對稱性可知，吟1C

:'四邊形26口是正方形，

.\BCVCD.

又平面461ali平面ABCD,平面481切門平面ABCD=CD,."C_L平面ABCD,

.：即為直線能與平面AB切所成的角，

不妨設(shè)AD=a,則tan/BOC與=去=鬼.

6.B解析：?。為4G的中點，3點。到平面48G"的距離是點4到平面A6G"的距離的一半，故可

計算點4到平面ABCM的距離.

：%反1平面ADDxA,,且月8u平面ABQIX,

.：平面平面ADD1Al.

過點4作A.MLAIX,.：4辦平面ABQIX,

.:點4到平面ABCQ的距離即為AM

:?正方體ABCD-ABCD的棱長為1,

二4〃金.

2

.:點。到平面ABCM的距離是乎.故選B.

7.B解析如圖，：2"〃必，

.:異面直線AA與8G所成的角即瓦

在△/瓜”中，ABkAD^W,BM=y[2,所以cosZRAB^,故選B.

8.C解析因為48為底面圓的直徑,。在底面圓周上且為Q的中點，則/

ACBWO°,PA=PB巫AB=AC=BC.

2

過點6作物〃4C交底面圓于點D,連接PD,AD,如圖，

則/物是異面直線陽與力，所成角或其補(bǔ)角，顯然BD與AB=PB=PD,即必是正三角形,所以/

必方60°,即異面直線陽與然所成角的大小為60°.故選C.

9.ABD解析對于A,連接/C初交于點。，則。為物的中點.

因為/物6甘,AB=AD=2,則△/劭為正三角形,故BD2A0忐,BO=DO=\.

又/4A8=/AiA哈44=3,由余弦定理,得48=4氏J22+32-2x2x3xj=V7,

2

則△4(2^Zk4如故/A10B=4A\0D.

又NA\OB+/A、OD=w,故/4/=/4①芳,A[0^m=V6.

因為A,6+Ad=Aj,則Ar0LAO.

又A.OLBO,AOPiB0=0,AO,人亡平面ABCD,故40_L平面ABCD,

則平行六面體ABCD-A^GD,的體積為々S平行四邊形曲?400Xsin?x故A正確.

對于B,因為AAJ/BB.,所以。為異面直線圈與4c所成的角.

因為AxOLAO,且AO=OC,所以△246'為等腰三角形,則/■〃=/俏。cos/Z4。/匹=—,所以cosZ

AA13

MC=COS2ZM6?=2COS2ZM(9-1=2X(^)2-1-|,故sinZMC=Jl-(|)2=等，所以異面直線2?與

4。所成角的正弦值為苧,故B正確.

對于C,因為cos/A4CW>0,所以AG與44不垂直.

又■〃陽,所以陽與陽不垂直.

因為防u平面BDIXBi,故/GJ_平面BDAB、不成立,故C錯誤.

對于D,由AA^AA,AB=AD,DAi=BAlt故/的

作皿/4于點已連接必由全等性質(zhì)可得DPVAA,,

則二面角2T4刃的平面角為N7W

又BP=DP=ABsix\-=V3,BD=2,故cosZDPB=-^^-==

32Xy3X'y33

即二面角以T4-6的余弦值為:，故D正確.

故選ABD.

10解析如圖所示，將多面體放置于正方體中，連接陽設(shè)團(tuán)的中點為￡連接俄6F

6

M

D

因為X。分別為所在正方體棱的中點,所以MC//NF,且ME=NF^MC,則四邊形㈤W為平行四邊形,所

以MN//EF,故直線就與平面力及力所成的角即為直線環(huán)與平面46(力所成的角.

又見L平面ABCD,所以直線項與平面/及/所成的角即為/廝C

設(shè)正方體的棱長為2,則EC=1,CF=yj22+I2=V5,EF^/EC2+CF2=逐，所以sinNEFC型=之=

EFV6

￥,即直線腑與平面力?0所成的角的正弦值為萼.

66

11.W解析設(shè)點B\到平面〃比■的距離為d

?^B-BCD=力廠8煙，

.1111

?：1ABCD、°djS^BCBi?481?

.".-X-XlxV5Xd^x-XlXlX2.

32325

12.孚；解析取加的中點〃連接CD,反〃

54

因為△/比■為等邊三角形,所以CDLAB.

因為仍」平面ABC,如平面ABC,所以BBdCD.

因為BBl^AB=B,BB\,A6u平面AA^B,所以CZLL平面AA^B,

所以為直線M與平面44a6所成的角.

因為正三棱柱ABC-A^Q的各條棱長都是2,所以CD當(dāng)X2忐,DB^22+I2=遮

所以tanNCBJ）黑=噌=字,所以直線M與平面區(qū)6所成角的正切值為紀(jì)

DB^V555

取BC,陽,4區(qū)的中點￡￡G,連接EF,FG,EG.

則EF//B.C,b勿48,貝I]E吟B*X2a=五,FG=A*X2讓=V2,所以/廝G（或其補(bǔ)角）為直線

⑦與直線46所成的角.2-'

連接DG,DE,貝ijEG=^DG2+DE2=V22+l2=遮

在△用G中，由余弦定理得c"EFG里黑薩=/U

因為異面直線所成的角的取值范圍為（0,9],所以直線圖與直線46所成角的余弦值為

13.點/（答案不唯一）’

14.（1）證明連接CD.

因為AC=1,2422是■的中點,

所以CD=y[2,QD=y[2,

貝ljci}+cJ=ccl，

所以CDLCxD.

又DCdBD,DCCBD=D,DC,皿七平面BCD,所以比;_L平面BCD.

又比t平面BCD,所以DQYBC.

因為CG_L平面ABC,〃?u平面ABC,所以CaVBC.

又CG^DG=G,CG,，Gu平面AAGC,所以6C_L平面AAx&C.

⑵解由8aL平面AAGC,/Ct平面AAaC,得BCYAC.

又制_L/CCGnBC=C,CG,比t平面BRCC

所以47_L平面陽GC

因為47%C=1,

所以4%怎

貝ijBD忐.

設(shè)點￡到平面G初的距離為h,

因為%-C1BD=%-BQE，所以＞相遇。?吟S^BJE?陽即方嚀X/X遍=[X）2XI,解得吟

所以點￡到平面G初的距離為，

能力提升

15.A解析將正三棱臺/6CT心G補(bǔ)全為正三棱錐S-ABC.

A

R

因為44_L平面BrBCa,

即弘，平面SBC,

即//萍//SC=90。，

根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得，NBSCWO。.

因為所以合為胡的中點，同理可得,4為外的中點，G為SC的中點.

取SG的中點〃連接&D,AD,則RD//BQ.

所以ZAB.D即為異面直線A&與BQ所成的角（或補(bǔ)角）.__________

不妨令SB2則ABN12+22=V5,AD=^22+（|）2=乎,O=ll2+（|）2=今

在△48。中,由余弦定理得AI}=ABl+DBl-2ABi-DBicos/ABW,即（師小（遮產(chǎn)釁上邛xVScos

/A&D,解得cos/超品,所以異面直線/笈與磨所成角的余弦值為|.

故選A.

16.D解析跖=而+西，耳=京一前=京一前一屈，

則雨*-CA1=（AD+砒）?（麗＞-AD-AB）^AD-AAl-AD2-AD-AB+AAl-AD-AA^-AB-

I

AA^=6,/BQhJ⑥+雙產(chǎn)、而2+2AD?AA2+AA^=2夕，

In

[CAl^=A（AA^-ADJAB'）2=^AA1+AD2+AB2-2AA^?AD-2AB-AA1+2AD?AB=2A

C0S⑦Q，C力i＜砥11司==百

所以sin蝠，鬲=當(dāng)

故選D.

17.AD解析在正四棱柱力員％4AG〃中，底面正方形力即9的邊長為1,442如圖.

當(dāng)叫時，在矩形BCQBv中，tan/CBM^=tan/C&B,則NCBM=/CBiB,

所以氐入加

又因為/瓦L平面BCGBr,46t平面BCCB,所以ABLBC

因為ABHBM=B,AB,@仁平面ABM,

所以5；CL平面ABM,所以AMLBC故A正確.

因為AM與8c是異面直線,所以/〃與8c不可能平行,故BC與a不可能垂直,故B錯誤.

因為/此平面是平面a的斜線，則46與平面。所成角

所以sin（9=cosABAM^-=—.

AMAM_

又因為當(dāng)點〃在棱CG上移動時,V2^^V6,

所以聶<白<焉所以萼Wsin。wg故C錯誤.

<6AMV262

￡>iG

當(dāng)〃為棱制中點時,連接陽,M,AC,MBX,MIX,薇,如圖所示,則有

AC=?AM=W,AB\=AD\X,所以AM+MBl^>=ABl，所以AMLMB,.

同理可得,AMY.MD,.

又因為姐AJffl或倒,磔u平面MBM,

所以刈小平面屹；"，

所以平面。截正四棱柱所得截面多邊形為正三角形反加,

所以其周長35^72,故D正確.

故選AD.

18.解（1）由題可得,以一018c=V01-ABc=jxi%3X3X3^.

⑵過點a作a。，平面切交平面/靦于點。，連接加,/。（圖略），則/a/。即為直線4a與平面

48切所成的角.

:Q02A0當(dāng),加普

.".cosAOiAO^-=—.

A0r3

19.（1）證明連接初交/。于點。，連接龐：

p

因為CD//AB,所以吆=竺