【學生版】微專題：函數圖像自身的對稱【主題】1、一個函數圖像本身的對稱性（自對稱性）；2、在平面直角坐標系中，兩點A1、A2對稱的幾何特征與對應的代數特征；兩點A1、A2對稱的幾何特征對應的代數特征兩點A1、A2關于原點對稱A1(x,y)、A2(－x,－y)兩點A1、A2關于有軸對稱A1(x,y)、A2(－x,y)兩點A1、A2關于軸對稱A1(x,y)、A2(x,－y)3、關于函數圖像的常用結論（1）函數圖像自身的軸對稱：函數y＝f(x)的圖像關于y軸對稱?f(x)＝f(－x)；（2）函數圖像自身的中心對稱：函數y＝f(x)的圖像關于原點對稱?f(x)＝－f(－x)；【典例】題型1、利用對稱性畫圖例1、作出下列函數的圖像；（1）；（2）；【提示】；【解析】【說明】作函數圖像一般有兩種方法：直接法、描點法、圖像變換法；特別是圖象變換法，有平移變換、伸縮變換和對稱變換，要記住它們的變換規律；要熟練掌握基本函數圖像的畫法，如一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數等。題型2、利用對稱性識圖例2、函數的大致圖像是（）B．C．D．【提示】；【答案】；【解析】；【說明】。題型3、驗證：函數的圖像關于軸對稱的充要條件是：例3、函數的圖像關于軸對稱的充要條件是：函數滿足【提示】；【證明】【說明】；題型4、驗證：函數的圖像關于點對稱的充要條件是：。例4、函數的圖像關于點對稱的充要條件是：。【提示】；【證明】【說明】；題型5、利用充要條件判別圖形特征例5、函數的圖像的對稱性為（）A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線對稱【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例6、函數的大致圖像為（）A．B．C． D．【提示】；【答案】；【解析】【歸納】關于函數圖像常用結論1．函數圖象自身的軸對稱：f(－x)＝f(x)?函數y＝f(x)的圖像關于y軸對稱；2．函數圖象自身的中心對稱f(－x)＝－f(x)?函數y＝f(x)的圖像關于原點對稱；【即時練習】1、函數的圖像大致為下圖的（）2、函數y＝x|x|的圖象經描點確定后的形狀大致是()3、函數f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖像關于對稱。4、在平面直角坐標系中,若直線與函數的圖像只有一個交點,則的值為_____.5、直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個交點，求a的取值范圍。6、畫出函數f(x)＝eq\f(x·2x,|x|)的大致圖像；【教師版】微專題：函數圖像自身的對稱【主題】1、一個函數圖像本身的對稱性（自對稱性）；2、在平面直角坐標系中，兩點A1、A2對稱的幾何特征與對應的代數特征；兩點A1、A2對稱的幾何特征對應的代數特征兩點A1、A2關于原點對稱A1(x,y)、A2(－x,－y)兩點A1、A2關于有軸對稱A1(x,y)、A2(－x,y)兩點A1、A2關于軸對稱A1(x,y)、A2(x,－y)3、關于函數圖像的常用結論（1）函數圖像自身的軸對稱：函數y＝f(x)的圖像關于y軸對稱?f(x)＝f(－x)；（2）函數圖像自身的中心對稱：函數y＝f(x)的圖像關于原點對稱?f(x)＝－f(－x)；【典例】題型1、利用對稱性畫圖例1、作出下列函數的圖像；（1）；（2）；【提示】注意：先根據解析式研究函數的對稱性；【解析】（1）由不妨設，而，所以，函數圖像關于軸對稱，作出的圖像，再將的圖像關于軸對稱，即得的圖像，如圖中實線部分；（2）由不妨設，且，所以，函數圖像關于軸對稱，因為，原函數可化簡為，先用描點法作出上的圖像，再根據對稱性作出上的圖像，即得函數的圖像，如圖：【說明】作函數圖像一般有兩種方法：直接法、描點法、圖像變換法；特別是圖象變換法，有平移變換、伸縮變換和對稱變換，要記住它們的變換規律；要熟練掌握基本函數圖像的畫法，如一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數等。題型2、利用對稱性識圖例2、函數的大致圖像是（）B．C．D．【提示】注意：依據解析式分析函數的圖像特征；【答案】C；【解析】不妨設，則，所以，圖像關于軸對稱，由已知，原函數可變形為：，所以，答案為：C；；【說明】本題主要考查由指數函數進行的絕對值變換，一般地，通過去絕對值轉化為分段函數，每段用基本函數研究，對稱區間上的圖像，則由對稱性研究。識圖：對于給定的函數的圖像，要留意它們的變化趨勢，與坐標軸的交點及一些特殊點，特別是對稱性等特點，應引起足夠的重視。題型3、驗證：函數的圖像關于軸對稱的充要條件是：例3、函數的圖像關于軸對稱的充要條件是：函數滿足【提示】注意：用集合觀點理解“函數圖像”；【證明】（充分性）由“函數滿足”；不妨設函數的圖像上任意一點，則滿足，又因為滿足，則有，則也在函數的圖像上，所以，函數的圖像關于軸對稱；（必要性）由“函數的圖像關于軸對稱”；不妨設函數的圖像上任意一點，則滿足，而點關于軸對稱點為，又因為函數的圖像關于軸對稱，則點也在函數的圖像上，則，所以；綜上，函數的圖像關于軸對稱的充要條件是：；【說明】本題的證明，既驗證了結論；又體驗了證明圖像關于軸對稱的代數方法；題型4、驗證：函數的圖像關于點對稱的充要條件是：。例4、函數的圖像關于點對稱的充要條件是：。【提示】注意：用集合觀點理解“函數圖像”；【證明】（充分性）設點是函數圖像上任一點，則(*)；因為，所以，由(*)，得；所以，點也在函數圖像上，而點與點關于點對稱，充分性得證；（必要性）設點是函數圖像上任一點，則(*)；因為，點關于點的對稱點也在圖像上，所以，，即(**)由(*)，(**)，得，必要性得證。【說明】本題的證明，既驗證了結論；又體驗了證明圖像關于原點對稱的代數方法；題型5、利用充要條件判別圖形特征例5、函數的圖像的對稱性為（）A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線對稱【提示】注意：分析與判斷函數解析式的代數特征；【答案】B；【解析】因為，所以，所以函數圖像關于軸對稱；故選：B；【說明】注意：在保證有意義的前提下，先化簡再判斷；例6、函數的大致圖像為（）A．B．C． D．【提示】先“分解”已知函數為“若干”個初等函數；【答案】D；【解析】函數的定義域為，且滿足，所以，圖像關于原點成中心對稱；（或，根據“選擇題”特點，取特殊值，當時，，排除B和C；當時，，排除A；）故選：D.【歸納】關于函數圖像常用結論1．函數圖象自身的軸對稱：f(－x)＝f(x)?函數y＝f(x)的圖像關于y軸對稱；2．函數圖象自身的中心對稱f(－x)＝－f(x)?函數y＝f(x)的圖像關于原點對稱；【即時練習】1、函數的圖像大致為下圖的（）【答案】A2、函數y＝x|x|的圖象經描點確定后的形狀大致是()【答案】A；【解析】y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>0,0，x＝0,－x2，x<0))為奇函數，奇函數圖象關于原點對稱．3、函數f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖像關于對稱。【答案】y軸；【解析】因為f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)＝ex＋e－x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖像關于y軸對稱；．4、在平面直角坐標系中,若直線與函數的圖像只有一個交點,則的值為_____.【答案】【解析】在同一直角坐標系內,作出與的大致圖像，如下圖:由題意可知.5、直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個交點，求a的取值范圍。【解析】y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋a，x≥0，,x2＋x＋a，x<0，))作出圖象，如圖所示．此曲線與y軸交于點(0，a)，最小值為a－eq\f(1,4)，要使y＝1與其有四個交點，只需a－eq\f(1,4