第12章復數章末題型歸納總結章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：復數的概念經典題型二：復數的幾何意義經典題型三：復數的四則運算經典題型四：復數最值問題經典題型五：復數方程經典題型六：復數的三角表示模塊三：數學思想與方法①分類與整合思想②等價轉換思想③數形結合的思想模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：典型例題經典題型一：復數的概念例1．（2024·高三·河南商丘·階段練習）若復數z滿足為純虛數，且，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，因為為純虛數，所以所以，，因為，所以，解得，則，即z的虛部為.故選：A.例2．（2024·內蒙古赤峰·三模）若復數滿足，則（

）A．B．是純虛數C．復數在復平面內對應的點在第二象限D．若復數在復平面內對應的點在角的終邊上，則【答案】D【解析】由題設，且對應點在第一象限，A、C錯誤；不是純虛數，B錯誤；由在復平面內對應的點為，所以，D正確.故選：D例3．（2024·高二·山西太原·階段練習）已知，，若（i為虛數單位），則的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由題意，故為實數或故選：A例4．（2024·高二·北京海淀·期末）已知下列三個命題：①若復數z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復數；②z1，z2都是復數，若z1+z2是虛數，則z1不是z2的共軛復數；③復數z是實數的充要條件是z.則其中正確命題的個數為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】運用復數的模、共軛復數、虛數等知識對命題進行判斷.對于①中復數和的模相等,例如,,則和是共軛復數是錯誤的;對于②和都是復數,若是虛數,則其實部互為相反數,則不是的共軛復數,所以②是正確的;對于③復數是實數,令,則所以,反之當時,亦有復數是實數,故復數是實數的充要條件是是正確的.綜上正確命題的個數是個.故選例5．（2024·山東濰坊·二模）下面四個命題中，正確的是A．若復數，則 B．若復數滿足，則C．若復數，滿足，則或 D．若復數，滿足，則，【答案】A【解析】分析：由復數的基本概念及基本運算性質逐一核對四個選項得答案.對于A，若復數，則，故A正確；對于B，取，則，而，故B錯誤；對于C，取，，滿足，但不滿足或，故C錯誤；對于D，取，，滿足，但不滿足，，故D錯誤.故選A.例6．（2024·高二·全國·課時練習）下列命題中為假命題的是()．A．復數的模是非負實數B．復數等于零的充要條件是它的模等于零C．兩個復數模相等是這兩個復數相等的必要條件D．復數z1>z2的充要條件是|z1|>|z2|【答案】D【解析】A中任意復數z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0總成立，∴A正確；B中由復數為零的條件z＝0??|z|＝0，故B正確；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時，|z1|＝|z2|，故C正確；D中兩個復數不能比較大小，但任意兩個復數的模總能比較大小，∴D錯．選D.經典題型二：復數的幾何意義例7．（2024·高一·上海閔行·階段練習）設和是關于x的方程的兩個虛數根，若、、在復平面上對應的點構成直角三角形，則實數.【答案】13【解析】設，由實系數一元二次方程虛根成對定理可得，由根與系數的關系可得，整理得，設、、在復平面上對應的點分別為、、，則，可知A，B關于x軸對稱，若復平面上、、對應點構成直角三角形，則，即，解得，所以.故答案為：13.例8．（2024·高一·上海嘉定·期末）已知復平面上有點和點，使得向量所對應的復數是，則點的坐標為.【答案】【解析】因向量所對應的復數是，所以，因，所以.故答案為：.例9．（2024·高一·北京西城·期末）已知復數z在復平面內所對應的點的坐標為，則為．【答案】1【解析】由已知得該復數，則，故答案為：1.例10．（2024·高一·江蘇淮安·期末）復數與復數在復平面內對應的點分別為、，若為坐標原點，則鈍角的大小為.【答案】/【解析】依題意，，，，則，，，在中，由余弦定理得，又，所以.故答案為：例11．（2024·高一·江蘇·專題練習）在復平面內，是原點，向量對應的復數是，將繞點按逆時針方向旋轉，則所得向量對應的復數為.【答案】【解析】如圖，由題意可知，與軸正向夾角為，繞點逆時針方向旋轉后到達軸上點，又，所以的坐標為，所以對應的復數為.故答案為：例12．（2024·高一·浙江·期中）復數與復數在復平面上對應點分別是A，B，則．【答案】1【解析】根據復數與對應的點的坐標為，如下圖所示：易知；則.故答案為：1例13．（2024·高一·河南鄭州·期中）如圖，在復平面內，復數，對應的向量分別是，，試寫出一個與復數的虛部相等．且模為1的復數z的代數形式．【答案】【解析】因為向量，，所以，故，則可設，由，解得，所以，故答案為：經典題型三：復數的四則運算例14．（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期中）（1）化簡；（2）已知復數的，求.【解析】（1）;（2）由已知得，∴.例15．（2024·高一·全國·單元測試）計算：(1)；(2)【解析】（1）（2）因為，所以，因為，所以，所以例16．（2024·高一·河北石家莊·期末）已知復數，，其中是實數.(1)若，求實數的值；(2)若是純虛數，求.【解析】（1）復數，則，又a是實數，因此，解得，所以實數a的值是.（2）復數，，，則，因為是純虛數，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.例17．（2024·高一·河南焦作·階段練習）計算：(1)；(2).【解析】（1）.（2）.例18．（2024·高一·全國·課時練習）計算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）（2）（3）例19．（2024·高二·廣西百色·期末）已知復數，.(1)求；(2)求.【解析】（1）由題可得：，所以（2）因為所以.例20．（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習）計算：（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.經典題型四：復數最值問題例21．（2024·高一·河南鄭州·期中）已知復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】設復數在復平面內對應的點為，因為復數滿足，所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，當為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．例22．（2024·高一·山東菏澤·期中）已知復數，，且，在復平面內對應向量為，，，（O為坐標原點），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，，且，所以得，設,∴,，，其中,∴時,取最小值為.故選：B.例23．（2024高一·全國·專題練習）（2024·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期中）復數滿足（為虛數單位），則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】設，復數的對應點在以原點為圓心，半徑的圓上運動，表示點與復數的對應點的距離，故選：B.例24．（2024·全國·模擬預測）設是復數且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根據復數模的幾何意義可知，表示復平面內以為圓心，1為半徑的圓，而表示復數到原點的距離，由圖可知，.故選：C例25．（2024·高三·江西贛州·階段練習）若復數z滿足(為虛數單位），則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【解析】設，則.由已知可得，.設，，則.所以，.當，即時，該式有最大值，所以，，所以，.故選：C.例26．（2024·安徽安慶·一模）設復數z滿足條件|z|＝1，那么取最大值時的復數z為（

）A．+i B．+i C．i D．i【答案】A【解析】復數滿足條件，它是復平面上的單位圓，那么表示單位圓上的點到的距離，要使此距離取最大值的復數，就是和連線和單位圓在第一象限的交點．點到原點距離是2．單位圓半徑是1，又，所以．故對應的復數為．故選：A例27．（2024·湖北黃岡·二模）已知復數滿足，則（為虛數單位）的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由可設：，，（其中），當時，即時，.故選：C.經典題型五：復數方程例28．（2024·高一·湖北武漢·階段練習）已知是關于的方程的一個根，則.【答案】1【解析】由題，，即，所以，得，，所以.故答案為：1.例29．（2024·高三·全國·課時練習）若關于x的方程無實根，則實數p的取值范圍是．【答案】【解析】若方程無實根，即：無實根，假定方程有實數根，而為實數，則，且，解得或，因此原方程無實數根時，且，故實數p的取值范圍是.故答案為：例30．（2024·高三·全國·課時練習）設關于x的實系數方程的兩個虛根為、，則．【答案】【解析】由題可知，，設，a，b∈R，則，則．故答案為：例31．（2024·高二·江西新余·開學考試）已知關于的方程，其中a，b為實數．(1)設（是虛數單位）是方程的根，求a，b的值；(2)證明：當，且時，該方程無實數根．【解析】（1）∵是方程的根，∴也是方程的根，由一元二次方程根與系數的關系得，得，解得，；（2）∵，∴，∴，即，∴，∴原方程無實數根．例32．（2024·高一·上海閔行·階段練習）已知關于的實系數一元二次方程(1)若，求方程的兩個根；(2)若方程有兩虛根，，求的值；(3)若方程的兩根為，其在復平面上所對應的點分別為，點關于軸的對稱點為（不同于點），如果，求的取值范圍.【解析】（1）當時方程為，則，所以方程的根為、（2）因為方程有兩虛根，所以，解得，此時方程有兩個共軛復根、，故，又，所以，所以，解得或（舍去）.（3）若，即或時，此時，，則，，，顯然，所以，則，即，解得或，所以或；若，即時，設，（），則，，，所以，，所以，即，又，，所以，解得或，所以；綜上可得的取值范圍為.例33．（2024·高一·江蘇無錫·期末）已知復數，其中是正實數，是虛數單位(1)如果為純虛數，求實數的值；(2)如果，是關于的方程的一個復根，求的值.【解析】（1）因為，所以，因為為純虛數，所以，解得（負值舍去），所以.（2）因為，所以，則，因為是關于的方程的一個復根，所以與是的兩個復根，故，則，所以.經典題型六：復數的三角表示例34．（2024·高一·全國·隨堂練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.例35．（2024·高一·全國·隨堂練習）計算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）（2）（3）例36．（2024·高一·全國·課時練習）計算：(1)；(2)；(3)(4)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例37．（2024·高一·全國·課時練習）在復平面內，把復數對應的向量繞原點逆時針旋轉后所得向量對應的復數為，繞原點順時針旋轉后所得向量對應的復數為(1)求復數；(2)若復數，求復數.【解析】（1）復數逆時針旋轉后得,順時針旋轉后得.（2）由（1）得.例38．（2024·高二·河南商丘·階段練習）已知復數z滿足，的虛部是2，z對應的點A在第一象限，(1)求z的值；(2)若在復平面上對應點分別為A，B，C，求cos∠ABC.【解析】（1）設，，則，由題意得，故，因為z對應的點A在第一象限，所以，解得，故；（2）由（1）知，，，對應的復數為，對應的復數為，因為，且的輻角為，所以例39．（2024·高一·全國·課時練習）回答下面兩題(1)求證：；(2)寫出下列復數z的倒數的模與輻角：①；②；③．【解析】（1）證法1：左邊右邊證法2：，∴原等式成立.（2）①時，，的模為，輻角為.②時，.的模為1，輻角為.③時，，的模為1，輻角為.例40．（2024·高一·全國·課時練習）設i為虛數單位，n為正整數，．(1)觀察，，，…猜測：（直接寫出結果）；(2)若復數，利用（1）的結論計算．【解析】（1）由觀察得；（2），由（1）得模塊三：數學思想方法分類與整合思想例41．（2024·高一單元測試）已知復數z滿足的虛部為2.（1）求復數z；（2）設在復平面上對應的點分別為，求△的面積.【解析】（1）設，則，即有.由的虛部為2，有.∴或即或.（2）當時，.∴點，知：且到的距離為1；∴.當時，.∴點，知：且到的距離為1；∴.∴△的面積為1.例42．（2024·高一單元測試）已知復數的實部和虛部相等，其中為虛數單位.(1)求復數z的模；(2)若復數是純虛數，求實數m的值.【解析】（1）由題意得：，解得，復數；（2）由題知：的實部為零，虛部不為零，，令得：或，當時，，不合題意，當時，，符合題意，所以.例43．（2024·江蘇南通·高二啟東中學校考階段練習）設復數z的實部為正數，滿足，且復數在復平面上對應的點在第一、三象限的角平分線上.（1）求復數z；（2）若有，，對任意均有成立，試求實數a的取值范圍.【解析】（1）設，①，，且在一、三象限角平分線上，②由①、②得或，，，；（2），，，，均有成立，∴，即對恒成立，①時，恒成立，②，，解得，綜上所述，.等價轉換思想例44．（2024·全國·高三專題練習）設復數，，其中．(1)若復數為實數，求θ的值；(2)求的取值范圍．【解析】（1），又復數為實數，故，即，∵，∴；（2），∴，∵，∴，故例45．（2024·湖北恩施·高一校聯考期中）已知復數（1）若，求角；（2）復數對應的向量分別是，其中為坐標原點，求的取值范圍.【解析】（1）由，可得，由，可得：，所以，所以或；（2）由題意可得，由，所以，所以，所以的取值范圍為.例46．（2024·山東煙臺·高一統考期中）已知復數（i為虛數單位，）為純虛數，和b是關于x的方程的兩個根.（1）求實數a，b的值；（2）若復數z滿足，說明在復平面內z對應的點Z的集合是什么圖形？并求該圖形的面積【解析】（1