2.3.1函數(shù)的單調(diào)性和最值(1)教學設計-2023-2024學年高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊一、教學內(nèi)容

教材章節(jié)：北師大版（2019）必修第一冊，第2章，第3節(jié)，第1課時

教學內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性和最值

課程主要內(nèi)容：

1.函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷方法

2.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義

3.函數(shù)的最值概念和求法

4.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值

5.實際問題中的應用和案例分析

教學目標：

1.學生能夠理解函數(shù)單調(diào)性的定義，并掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。

2.學生能夠通過函數(shù)圖像理解函數(shù)單調(diào)性的幾何意義。

3.學生能夠理解函數(shù)最值的概念，并掌握求函數(shù)最值的方法。

4.學生能夠利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值。

5.學生能夠運用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題。二、教學目標分析

教學目標分析：

1.核心素養(yǎng)目標：培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模能力。通過本節(jié)課的學習，學生能夠理解和掌握函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷方法，學會運用函數(shù)圖像來觀察和理解函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。同時，學生能夠運用邏輯推理來理解和掌握函數(shù)的最值概念和求法，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。此外，學生能夠通過實際問題來運用函數(shù)的單調(diào)性和最值，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。

2.教學目標：通過本節(jié)課的學習，學生能夠理解函數(shù)單調(diào)性的定義，并掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；學生能夠通過函數(shù)圖像理解函數(shù)單調(diào)性的幾何意義；學生能夠理解函數(shù)最值的概念，并掌握求函數(shù)最值的方法；學生能夠利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；學生能夠運用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題。

3.教學難點：函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)最值的求法。

4.教學重點：函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷方法，函數(shù)最值的概念和求法，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，運用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題。三、教學難點與重點

1.教學重點

（1）函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷方法

（2）函數(shù)單調(diào)性的幾何意義

（3）函數(shù)最值的概念和求法

（4）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值

（5）運用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題

2.教學難點

（1）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

-學生可能對函數(shù)單調(diào)性的定義理解不深刻，需要通過具體的例子來幫助學生理解。

-學生可能對單調(diào)性的判斷方法不熟悉，需要通過練習和指導來掌握。

（2）函數(shù)最值的求法

-學生可能對函數(shù)最值的概念理解不清晰，需要通過具體的例子來幫助學生理解。

-學生可能對求函數(shù)最值的方法不熟練，需要通過練習和指導來掌握。

（3）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值

-學生可能對導數(shù)的概念和應用不熟悉，需要通過具體的例子來幫助學生理解。

-學生可能對利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值的方法不熟練，需要通過練習和指導來掌握。

（4）運用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題

-學生可能對將函數(shù)的單調(diào)性和最值應用于實際問題的方法不熟悉，需要通過具體的例子來幫助學生理解。

-學生可能對解決實際問題的方法不熟練，需要通過練習和指導來掌握。四、教學資源

1.軟硬件資源：黑板、粉筆、多媒體投影儀、計算機等。

2.課程平臺：無。

3.信息化資源：無。

4.教學手段：講解、板書、例題演示、小組討論、練習題等。五、教學過程設計

1.導入新課（5分鐘）

目標：激發(fā)學生的學習興趣，引導學生進入本節(jié)課的學習。

過程：通過一個生活中的實例，如商品價格的變動，讓學生觀察價格變化的特點，引導學生思考價格變化的規(guī)律，從而引出函數(shù)的單調(diào)性概念。

2.函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷方法（10分鐘）

目標：讓學生理解函數(shù)單調(diào)性的定義，并掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。

過程：通過講解和例題演示，讓學生理解函數(shù)單調(diào)性的定義，并通過具體的例子來展示如何判斷函數(shù)的單調(diào)性。

3.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義（20分鐘）

目標：讓學生通過函數(shù)圖像理解函數(shù)單調(diào)性的幾何意義。

過程：通過講解和例題演示，讓學生理解函數(shù)圖像的斜率與函數(shù)單調(diào)性的關系，并通過具體的例子來展示如何通過函數(shù)圖像來判斷函數(shù)的單調(diào)性。

4.函數(shù)最值的概念和求法（10分鐘）

目標：讓學生理解函數(shù)最值的概念，并掌握求函數(shù)最值的方法。

過程：通過講解和例題演示，讓學生理解函數(shù)最值的概念，并通過具體的例子來展示如何求函數(shù)的最值。

5.學生小組討論（10分鐘）

目標：讓學生通過小組討論加深對函數(shù)單調(diào)性和最值的理解。

過程：將學生分成小組，給每個小組分配一個實際問題，要求小組成員共同討論并解決問題，最后每個小組進行匯報和交流。

6.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：讓學生通過課堂展示加深對函數(shù)單調(diào)性和最值的理解，并通過點評提高學生的解題能力。

過程：邀請幾個小組進行課堂展示，教師對學生的解題過程進行點評，指出優(yōu)點和不足之處，并給出改進建議。

7.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標：總結(jié)本節(jié)課的學習內(nèi)容，幫助學生鞏固記憶。

過程：對本節(jié)課的學習內(nèi)容進行總結(jié)，強調(diào)函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷方法，函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，函數(shù)最值的概念和求法，以及如何利用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題。六、學生學習效果

1.學生能夠理解函數(shù)單調(diào)性的定義，并掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。

2.學生能夠通過函數(shù)圖像理解函數(shù)單調(diào)性的幾何意義。

3.學生能夠理解函數(shù)最值的概念，并掌握求函數(shù)最值的方法。

4.學生能夠利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值。

5.學生能夠運用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題。

6.學生能夠通過小組討論加深對函數(shù)單調(diào)性和最值的理解。

7.學生能夠通過課堂展示提高解題能力和自信心。

8.學生能夠通過課堂小結(jié)鞏固對函數(shù)單調(diào)性和最值的理解。

9.學生能夠?qū)⒑瘮?shù)的單調(diào)性和最值應用于實際問題的解決中，提高解決問題的能力。

10.學生能夠通過本節(jié)課的學習，提高數(shù)學思維能力和邏輯推理能力。

11.學生能夠通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)數(shù)學建模能力，能夠?qū)?shù)學知識應用于實際問題的解決中。

12.學生能夠通過本節(jié)課的學習，提高自主學習和合作學習能力，能夠積極參與課堂討論和小組活動。

13.學生能夠通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)對數(shù)學的興趣和愛好，提高學習數(shù)學的動力和積極性。

14.學生能夠通過本節(jié)課的學習，提高數(shù)學應用能力，能夠?qū)?shù)學知識應用于實際問題的解決中。

15.學生能夠通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象能力，能夠理解和掌握數(shù)學概念和原理。七、重點題型整理

1.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

（1）已知函數(shù)f(x)，判斷f(x)在區(qū)間[a,b]上是否單調(diào)遞增。

答案：首先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)，然后判斷f'(x)在區(qū)間[a,b]上的符號。如果f'(x)>0在區(qū)間[a,b]上恒成立，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增；否則，f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減。

（2）已知函數(shù)f(x)，判斷f(x)在區(qū)間[a,b]上是否單調(diào)遞減。

答案：與（1）類似，首先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)，然后判斷f'(x)在區(qū)間[a,b]上的符號。如果f'(x)<0在區(qū)間[a,b]上恒成立，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減；否則，f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增。

2.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義

（1）已知函數(shù)f(x)，判斷f(x)在區(qū)間[a,b]上是否單調(diào)遞增。

答案：在函數(shù)圖像上，如果函數(shù)圖像在區(qū)間[a,b]上始終位于x軸的上方，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增。

（2）已知函數(shù)f(x)，判斷f(x)在區(qū)間[a,b]上是否單調(diào)遞減。

答案：在函數(shù)圖像上，如果函數(shù)圖像在區(qū)間[a,b]上始終位于x軸的下方，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減。

3.函數(shù)最值的求法

（1）已知函數(shù)f(x)，求f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值。

答案：首先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)，然后找出導數(shù)f'(x)在區(qū)間[a,b]上的零點，并判斷這些零點是否為極值點。如果f'(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個零點，且該零點為極值點，則該零點即為最大值點，f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為f(x)在該點的值。如果f'(x)在區(qū)間[a,b]上沒有零點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為f(a)或f(b)中的較大值。

（2）已知函數(shù)f(x)，求f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值。

答案：與（1）類似，首先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)，然后找出導數(shù)f'(x)在區(qū)間[a,b]上的零點，并判斷這些零點是否為極值點。如果f'(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個零點，且該零點為極值點，則該零點即為最小值點，f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值為f(x)在該點的值。如果f'(x)在區(qū)間[a,b]上沒有零點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值為f(a)或f(b)中的較小值。

4.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值

（1）已知函數(shù)f(x)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。

答案：首先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)，然后找出導數(shù)f'(x)>0的區(qū)間，即為單調(diào)遞增區(qū)間；找出導數(shù)f'(x)<0的區(qū)間，即為單調(diào)遞減區(qū)間。

（2）已知函數(shù)f(x)，求f(x)的最大值和最小值。

答案：與（3）中的解答類似，首先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)，然后找出導數(shù)f'(x)的零點，并判斷這些零點是否為極值點。如果f'(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個零點，且該零點為極值點，則該零點即為最大值點或最小值點，f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值或最小值為f(x)在該點的值。如果f'(x)在區(qū)間[a,b]上沒有零點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值或最小值為f(a)或f(b)中的相應值。

5.運用函數(shù)的單調(diào)性和最值解決實際問題

（1）已知某商品的價格函數(shù)為p(x)，其中x為商品的銷售數(shù)量，求銷售數(shù)量在區(qū)間[a,b]上時，商品的銷售總額的最大值。

答案：首先求出商品價格函數(shù)p(x)的導數(shù)p'(x)，然后找出導數(shù)p'(x)在區(qū)間[a,b]上的零點，并判斷這些零點是否為極值點。如果p'(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個零點，且該零點為極值點，則該零點即為銷售總額的最大值點，銷售總額的最大值為p(x)在該點的值乘以銷售數(shù)量。如果p'(x)在區(qū)間[a,b]上沒有零點，則銷售總額的最大值為p(a)或p(b)中的較大值乘以銷售數(shù)量。

（2）已知某商品的銷售數(shù)量x與銷售總額y之間的關系為y=p(x)，其中p(x)為商品價格函數(shù)，求銷售數(shù)量在區(qū)間[a,b]上時，商品的銷售總額的最大值。

答案：與（1）類似，首先求出商品價格函數(shù)p(x)的導數(shù)p'(x)，然后找出導數(shù)p'(x)在區(qū)間[a,b]上的零點，并判斷這些零點是否為極值點。如果p'(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個零點，且該零點為極值點，則該零點即為銷售總額的最大值點，銷售總額的最大值為p(x)在該點的值乘以銷售數(shù)量。如果p'(x)在區(qū)間[a,b]上沒有零點，則銷售總額的最大值為p(a)或p(b)中的較大值乘以銷售數(shù)量。八、教學反思

本節(jié)課的內(nèi)容是函數(shù)的單調(diào)性和最值，是高中數(shù)學中的重要知識點，對于學生來說有一定的難度。在教學過程中，我采取了講解、板書、例題演示、小組討論等多種教學手段，希望能夠幫助學生更好地理解和掌握這些知識點。

首先，在導入新課的環(huán)節(jié)，我通過一個生活中的實例，如商品價格的變動，來激發(fā)學生的學習興趣。這個環(huán)節(jié)的效果還不錯，大部分學生都能夠積極參與，對函數(shù)的單調(diào)性有了初步的認識。

其次，在講解函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷方法時，我通過具體的例子來展示如何判斷函數(shù)的單調(diào)性。這個環(huán)節(jié)的講解比較清晰，大部分學生都能夠理解并掌握。但是在講解函數(shù)單調(diào)性的幾何意義時，我發(fā)現(xiàn)有的學生對這個概念的理解還不夠深入，需要在后續(xù)的練習中進一步鞏固。

再次，在講解函數(shù)最值的概念和求法時，我通過具體的例子來展示如何求函數(shù)的最值。這個環(huán)節(jié)的講解也比較清晰，大部分學生都能夠理解并掌握。但是，在利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值時，我