2020-2021學年浙江省溫州市高一（上）期末數學試卷（A卷）

一、選擇題(共8小題).

1.已知全集U={0,1,2,3,4},集合4={1,2,3},B={2,4},則(CuB)CA=()

A.{0,1,2,3}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D.{0,2,4}

2.下列函數既不是奇函數也不是偶函數的是（）

A.y--xB.C.D.

3.在平面直角坐標系中，角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點

P(-加，1)，則sin(n-a)=()

A.-AB.—C.3sD.迪

2222

4.已知函數f(x)=log2(x2-x)，則/(f)的定義域為()

A.(-8,-1)U(1,+8)B.(-8,0)U(1,4-co)

C.(-1,1)D.(0,1)

5.已知a,b,c是實數，且aWO,則“VxeR,a^+bx+c<0"是“層-4。。<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知a>0,b>0,a+b=1,則下列等式可能成立的是（）

A.（T+b2=1B.ab=1C.a2+b2=—D.a-b2=—

22

7.某工廠有如圖1所示的三種鋼板，其中長方形鋼板共有100張，正方形鋼板共有60張,

正三角形鋼板共有80張.用這些鋼板制作如圖2所示的甲、乙兩種模型的產品，要求正

方形鋼板全部用完，則制成的甲模型的個數最少有（）

8.已知函數/（x）—In（Vsin2x+l+sinr（x€R），則存在非零實數沏，使得（）

A.f(沏)=-1B.f(xo)-/(-xo)=2

c.f(f(x0))=ln(V2+l)D.f(Jl+xo)-f(Xo)=|-

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.已知函數/(x)=|log2x|的值域是[0,2],則其定義域可能是()

A.曹，4]B.弓，4]C.[[,2]D.或，2]

JTJT

10.已知9￡(―,—),且tan8=機，則下列正確的有()

q]、

A.cos~IQB.tan(n-0)=m

Mm'+l

/Q兀、1+mD.tan26=2mg

C.tan"丁F

11.在同一直角坐標系中，函數/(x)=loga(x-b),g(x)=6…的圖象可能是()

則下列不等關系一定成立的是()

2

A.sinaVsirt^B.cos^>cos(3-b)

C.sin(J+6)<sin3D.cosb>sin(a2_^_)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知5"=3,3'=2,貝ijlogslO-〃〃=.

14.當(p=時，函數/(x)=sin(x+(p)在區間(?，等)上單調(寫出一個值

OO

即可).

15.某單位要租地建倉庫，已知每月土地費用與倉庫到碼頭的距離成反比，而每月貨物的運

輸費用與倉庫到碼頭的距離成正比.經測算，若在距離碼頭10碗處建倉庫，則每月的土

地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元.那么兩項費用之和的最小值是萬元.

2x」-，0<x4l

16.已知函數/(x)=\*,若方程/J)(aeR)有兩個不同的實根

17XVX>1

X\,如且滿足、■<x1X則實數。的取值范圍為_______.

2143

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知〃ER,集合A={x|f-2x-3W0},B={x|x2-ax-2=0}.

(I)若a=l,求AGB,CRA;

(II)若AUB=A,求實數a的取值范圍.

18.己知函數f(x)=2sinxecos(x+-^-)+Y2.

(I)求f(x)的最小正周期及對稱軸的方程；

TTOJT

(II)若g(0,—),且/(a)=4，求/(a+丁)的值.

454

19.已知函數f(x)=x-一~+m(/HGR)是奇函數.

2X+1

(I)求機的值；

(II)求不等式/(2x)<2fQx)的解集.

20.用打點滴的方式治療“新冠”病患時，血藥濃度(血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內

的總濃度)隨時間變化的函數符合％(0=a(1-2-就)，其函數圖象如圖所示，其中

V為中心室體積(一般成年人的中心室體積近似為600),，即為藥物進入人體時的速率,

%是藥物的分解或排泄速率與當前濃度的比值.此種藥物在人體內有效治療效果的濃度在

4到15之間，當達到上限濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數

(I)求出函數ci(力的解析式；

(II)-■病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長

時間開始進行第二次注射？(保留小數點后一位，參考數據/g2-0.3,/g3Po.48)

21.已知函數f(x)=x2-x」-2(x>0).

X

(I)用定義證明/(X)在(0,1)內單調遞減；

(II)證明/(X)存在兩個不同的零點M，X2,且M+X2>2.

22.已知定義域為[0,+8)的兩個函數f(x)=x2+|ar+l|,g(x)=，+|云+1|,a,b為兩

個不同的常數.

(I)求/(x)的最小值；

(II)3xoG[O,+8),使得對于+8),f(x)2/(沏)，g(x)2g(沏)恒成

立，求/(Xo)+g(XO)所有可能的值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知全集"={0,1,2,3,4),集合A={1,2,3},B={2,4),則(QB)CA=()

A.{0,1,2,3}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D.{0,2,4}

解：；U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},8={2,4},

???CuB={0,1,3},(CuB)HA={1,3).

故選：B.

2.下列函數既不是奇函數也不是偶函數的是()

A.y=xB.C.y=xD.

解：4函數為奇函數，

B.函數為偶函數，

C.函數為奇函數，

D.函數的定義域為［0,+8),關于原點不對稱，

函數為非奇非偶函數.

故選：D.

3.在平面直角坐標系中，角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點

P(~V3>1)，則sin(n-a)=()

A.」B.—C.D.返

2222

解：；角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(飛耳，1),

/.r=\OP\=2fy=1,

???sina=-^=—,

r2

Asin(7i-a)=sina=—.

2

故選：B.

4.已知函數f(x)=log2(x2-x)，則的定義域為()

A.(-8,-1)U(1,+8)B.(-oo,0)U(1,+8)

C.(-1,1)D.(0,1)

解：由x2-x>0,得x>l或x<0,即/(x)的定義域為(-8,0)u(1,+8),

由，>1或/〈()，得%>1或-1,則/(釣的定義域為(-8,-1)u(1,+oo),

故選：A.

5.已知a,b,c是實數，且oHO,貝!|"VxeR,aX2+bx+c<0,t是-4ac<0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：因為VxeR,ax+hx+c<0,所以。<0且〃？-4“c<0,

因為ltb2-4ac<0>>,**V.reR,ax2+bx+c<0,,不一定成立，

所以“VxeR,a^+bx+c<On是“62-4改<0”的充分不必要條件.

故選:A.

6.已知a>0,b>0,a+b=l,則下列等式可能成立的是()

A.a+b2=lB.ab=\C.a+b2=—D.a-fe2=—

22

解：由a>0,b>0,a+b=1,知：

對于A,cT+b2=a2+(1-a)2=2tz2-2a+l=2a(1-a)+1=2ab+\>1,故A錯誤；

對于B,a+b>24，.SW(號?)2=/當時取等號，故B錯誤；

對于C,cT+b2—a2+(1-a)'—2cT-2a+\—2a(I-a)+1=2ab+\>1,故C錯誤：

對于￡),a2-If—(a+b)(a-h)—a-b—a-(1-a)—2a-1,

由/-/=工，得2a-1=工，解得a=3,b=—,故。正確.

2244

故選：D.

7.某工廠有如圖1所示的三種鋼板，其中長方形鋼板共有100張，正方形鋼板共有60張,

正三角形鋼板共有80張.用這些鋼板制作如圖2所示的甲、乙兩種模型的產品，要求正

方形鋼板全部用完，則制成的甲模型的個數最少有()

圖1圖2

A.10個B.15個C.20個D.25個

解：因為要求制成的甲模型的個數最少，

所以優先做乙模型，做到沒有材料了再考慮做甲模型，

做一個乙模型需要一塊正方形鋼板，四塊正三角形鋼板,

又正三角形鋼板共有80張，

所以80+4=20,

故做20個乙模型，消耗了20塊正方形鋼板，

又長方形鋼板共有100張，正方形鋼板共有60張，

所以剩余正方形鋼板為60-20=40塊，

做一個甲模型需要2塊正方形鋼板和4塊長方形鋼板，

故40+2=20,且20X4=80<100,

所以制成的甲模型的個數最少有20個.

故選：C.

2

8.已知函數/(x)=/〃(7sinx+l+sinx)(x6R),則存在非零實數即，使得()

A.f(刈)=-1B.f(沏)-/(-xo)=2

c.f(f(x0))=ln(V2+l)D.f(7T+Xo)-f(Xo)=|-

解：令g(x)=Vsin2x+l+sinx,sin_r=/e[-1,1],則g(x)—h(t)+]+><

t

h'⑺=/。+l>0,

Vt2+1

二函數〃(力在在[-1,1]上單調遞增，

⑺日揚1,揚1],

：.f(x)E[ln(&-1),In(揚1)],即/(x)e[-In(揚1),In(揚1)].

_

又/(-x)—In(^/sin2x+lsirw)--In(<^s^n2x+^+sinx)=-f(x),

：.f(x)是R上的奇函數.

A.-I<-//?(J分1),；./(的)—-1,因此不正確；

B.若/(xo)-/(-%o)=2,則f(%o)—\>ln(J分1),因此不正確；

C.若f(/(xo))=ln(揚1),則/(助))=1,因此不正確；

D./(K+XO)-/(X0)=ln(Jsin2(兀+x0)+l+sin(TT+XO))-In(Jsin2x°+l+si的)

=ln2_

sinx0+lsinxo)-In(Jsin?x/l+si的)="21rl(Jsi,n?x°+l+siw)

e[-2ln,2ln)].

-2ln(揚1),2ln(揚1)],存在非零實數沏，使得/(n+xo)-f(xo)=

3

2

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2()分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.己知函數/(x)=|log2x|的值域是[0,2],則其定義域可能是()

A.李4]B.亭4]C.亭2]D.李2]

解：由f(x)=2,得log2X=±2,即x=4或1

4

即x=4,工至少取一個，且定義域內必須包含x=l,

4

則A不可以，8可以，C可以，。不可以，

故選：BC.

IT7T

10.已知8€(-于，子)，且tane=加，則下列正確的有()

a]

A.COSy=IB.tan(n-0)-m

vmJ+l

C.tan(8-[)=料D.tan29=2mg

41-m

ITjr

解：已知8￡(—一“，7-)'且tan6=)〃,

對于4利用三角函數的定義，所以cosV1+m2故A正確;

對于8：tan(TT-0)=-tan0=-tn,故3錯誤;

對于c：tan(e-F)口號罷，故C錯誤;

41+tany1+m

,一ca2tan02m一十6

對于D：tan20=------y—=----亍,故D正確；

1-tan^01-m*

故選：AD.

11.在同一直角坐標系中，函數/(x)=loga(x-b),g(x)的圖象可能是()

解：A.由對數圖象知，a>\,b=l,此時g(x)=1,為常數函數，滿足條件.

B.由指數函數圖象知OVb<l,對數函數圖象應該向右平移人個單位，不滿足條件.

C.由對數圖象知，0<?<1,0<b<\,g(x)圖象有可能對應，

D.由對數圖象知，0<a<\,OVbVl,g(x)為減函數，則g(x)單調性不滿足，

故選：AC.

12.已知實數a,b滿足0<2aV〃<3-/,則下列不等關系一定成立的是()

A.sinaVsi修B.coscz2>cos(3-i>)

C.sin(a2+b)<sin3D.cosb〉sin(a,

2

解：由0<2“<匕<3-J,

fa>0

所以/°，

2a<3-a

解得OVaCl,

所以6<3-/<3,

所以0《<馬<提〈二，

222

所以sina<sin-^-,選項A正確；

由OV。2V3-人V3,所以cos/>cos(3-b),選項8正確；

由d+8VB,不能得出sin(〃?+/?)<sin3,所以選項C錯誤；

由sin(a2--)=cos(6r2---)=cos(冗+3—J),

2222

且bV3-a2V3,所以cosb>cos(3-a2)；

又3-a2V兀+3_.2,所以cos(3-a2)>cos(兀,

22

所以cosZ?>cos(二+3-a2)=sinb,選項。正確.

2

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知5"=3,3b=2,則1。川10一〃6=1.

解：?.5'=3,3"=2,

，a=k)g53,b=log32,

logslO-a〃=log510-log5310g32

=log510-log52

=log55

=1.

故答案為：1.

14.當9=-衛時,函數f（x）=sin（x+<p）在區間（工，"）上單調（寫出一

633

個值即可）.

解：由題意可令hr-在Z,

JI——,K

貝ljHr-<p-—WxWZrN-------(Orkez,

22

因為在區間』，吁）上單調，

OO

即E-5兀WcpWZni-'兀,依Z,

66

所以<p=%T依Z,

若k=0,此時年=-哈滿足條件.，

故答案為：-器（答案不唯一）.

6

15.某單位要租地建倉庫，已知每月土地費用與倉庫到碼頭的距離成反比，而每月貨物的運

輸費用與倉庫到碼頭的距離成正比.經測算，若在距離碼頭10h"處建倉庫，則每月的土

地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元.那么兩項費用之和的最小值是」萬元.

解：設倉庫到車站距離為xhw時，土地費用為以萬元，運輸費用為以萬元，費用之和為

y萬元，

根據題意，則有打=旦，y2=k2X）

因為在距離碼頭10妨,處建倉庫，則每月的土地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元，

---二24-

則有?10”,解得k1=20,k2=^

10k2=8

所以y4x^^，

5x

因為x>0,

所以"x號》N|xT=&

當且僅當各x衛■，即x=5時取等號，

5x

所以倉庫應建在離車站5km處，兩項費用之和最小為8萬元.

故答案為：8.

2x」S0<x4l

16.已知函數f(x)=<X，若方程/CO=〃(花R)有兩個不同的實根

33X、>11

X],工2，且滿足x]X2<、宗則實數。的取值范圍為—400)—.

2x」~，O〈x《l

x

解：函數/(x)

,fxVX>1

作出函數/(X)的圖象如圖所示，

當0<x<l時,f(x)=2x=2近

當且僅當2x」，即乂1%取等號,

x2

故f(x)1T11n=2近，

又f⑴=3,嗚)=3,

當a>R0寸，方程/(x)=。(aeR)才有兩個不同的實根，

當時，/(x)=a(?GR)有兩個不同的實根，

即2x4=a有兩個解，即2?-以+1=0有兩個根，

X

此時X1X不符合題意，

1/2

當。>3時，分別與y=2x△，yVx+l有交點，

設為〈工2,貝(JOVxiV、，乂2>1，

2x[+—=a

由，1，消去?？傻茫?x[2+l[x[乂2-白乂[二。

江3導3a121/21

所以x/z^x/w-xi，

因為X[*2<多

所以

231313

解得0<xi"或xi<1，

又因為0<X]</,

所以0<xi<《，

14

由圖象可知，.f(x)=2x』(0,J)上單調遞減，又fC)最，

x442

所以f(xpEg,Q)，

故實數〃的取值范圍為a€(5，K°)?

故答案為：e，Q).

y1|/

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知aGR,集合/1={小2-2x-3W0),B={x|x2-ax-2=0).

(I)若a=l,求AA8,CRA；

(ID若AU8=A,求實數a的取值范圍.

解：(I)a=l時，集合A={x|f-2x-3<0}={x|-1Wx<3},

B={x\x-x-2=0}={x|x=-1或x=2}={-1,2).

所以AC1B={-1,2},

CRA={X|X<-1或x>2}；

(II)若AU8=A,則BQAt

8=0時，方程f-奴-2=0無實數根，所以△=J-4X(-2)<0,不等式無解;

時，方程-奴-2=0的實數根在［-1,3］內，

所以4

(-1)2-a■(-1)-2》。'

2

L3-a-3-2>0

7

解得-1:

所以實數a的取值范圍是［-1,

18.已知函數/(x)=2siru,cos(x+-^-)+YZ.

(I)求/(x)的最小正周期及對稱軸的方程;

n2TT

(II)若aE(0,---),且f(ct)=—,求f(cd---)的值.

454

解：(I)/(x)=2siar(-^cosx-^^-sinx)+上二

個不\/

=sinxcosx-vr3:si.n2x+,v--3=-1s.inzx-vQXl---c-o--s-2-x-F,-v-3

V22V22

i.Vsz?兀、

=-sinZ0￥+-~cos20jt=sin(2Ox+--),

223

則函數的最小周期7=等=冗，

兀九yf1

由2x+---=加+---,々EZ,得2x=kn+---,k￡Z,

326

即函數的對稱軸方程為犬=上—二，依Z.

212

JTOJTQ

(II)若aE(0,---),且于(a)=—,則sin(2oH——)=--

4535

JTJTTV7TTT兀

/./(a+---)=sin[2(a+---)+---]=sin(2a+---F---)=cos(2a+---),

,443233

??.”兀、—3/1近、

?sin(2C(H"——)——€r(—,),

3522

.一<2a+；V：(舍去)或等<2a+,〈萼

634436

'TTTTA

貝(Jcos(2a+---)<0,即cos(2a+---)-----.

335

19.已知函數/（幻=x-一~+m（AWER）是奇函數.

2X+1

（I）求小的值；

（II）求不等式/（2x）<2f（x）的解集.

解：（I）函數的定義域為R,

?.?函數/（x）是奇函數，二/（是=0,

即0--pr+m=0,得m=—.

2°+12

(II)由/(x)—X---+jL史1,

XX

2+1222+1

12'Tpx-l

由f(2x)<2f(x)得---<2x+-~--

222+12X+1

22X-I

即J-<2X2、-l

22X+12X+1

即(2*+l)(2^-1)<2(2J-1)(2^+1),

即(2"+l)(2*-l)(2V+1)<2(2'-1)(2*1),

即(2^-1)[(2X+1)2-2(21V+1)]<0,

即(2X-1)[(2r)2-2X(2X)2+2X(2X)-l]<0,

(2*-l)[-(2X)2+2X(2*)-l]<0,

即(2*-1)[(2*)2-2X(2V)-l]>0,即(2X-1)(2V-1)2>0,

即(2*-1)3>0,即2'-l>0,得2、>1,得X>0,

即不等式的解集為（0,+8）.

20.用打點滴的方式治療“新冠”病患時，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內

的總濃度）隨時間變化的函數符合56）=即（1-2-9），其函數圖象如圖所示，其中

丫為中心室體積（一般成年人的中心室體積近似為600），，處為藥物進入人體時的速率,

k是藥物的分解或排泄速率與當前濃度的比值.此種藥物在人體內有效治療效果的濃度在

4到15之間，當達到上限濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數

符合C2（t）=c?2"kt，其中c為停藥時的人體血藥濃度.

(I)求出函數Q⑺的解析式；

(II)一病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長

時間開始進行第二次注射？(保留小數點后一位，參考數據/g2Po.3,/g3-0.48)

解：(I)令型_=即則5&)=a1-2一班)，

KV

由圖象可知，圖象經過(4,8),(8,12)兩點，

N(l-2-4k)=8件16

則有'"5,解得1'

了(卜2-8k)=12|k%

所以.(力=16(1-2J)；

(II)由題意可知，有治療效果的濃度在4到15之間，

所以濃度在15時為最遲停止注射時間，

故?！?=16(卜2+)=15'解得Q6，

濃度在從15時降到4時為最長間隔時間，

故C2(t)=15X2丁=4'即24t卡

兩邊同時取以2為底的對數，

_Lt.

4-，

則有log2?=log2jT

乙乙I3

即tlg(3X10X演2)

^=log24-log2l5=2-彳丁=2--------適-------

=2串吟22筆吟1.93，

J.gNUaO

所以f=1.93X4-7.7,

所以最遲隔16小時停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時開始進行第二次注射.

21.己知函數f（x）=x2-xd-2（x>0）.

x

（I）用定義證明/（X）在（0,1）內單調遞減；

（II）證明了（X）存在兩個不同的零點X”XI,且Xl+X2>2.

解：（I）設0<X|<X2<l，

911

則火Xl)-火X2)=*：-為+「-2-X.1221

\+X2-丁+2=xf-X9+X2-Xl+---=(xi+x2)

1X1x2X1x2

(%1-X2)+(X2-X|)----------

xlx2

=(X2-Xl)[1+--(X1+X2)1

X1x2

V0<XI<X2<L

1

'.X2-%|>0,0<Xl%2<1?0<Xl+X2<2,>1,

xlx2

則1+-(X1+X2)>0,

xlx2

即/（即）-f（%2）>0,得/（Xl）>f（%2）,即/（尤）在（0,1）內單調遞減.

（II）證明：同理可知當X>1時，/（X）在（1,+8）上為增函數,

/(1)=1-1+1-2=