§6.4BCH和RS碼的仿真實例【例6-14】考慮例6-2中有限域各個元素的MATLAB仿真問題。如表6-4所示，用于表示有限域中元素的方法有冪形式和向量形式（即多項式形式中的系數），此外也經常將向量形式折算成對應的十進制整數來表示，稱為整數形式。表6-4GF(8)元素的三種表示下列代碼可以生成并顯示中元素的冪形式、向量形式和整數形式。prim_poly=[1101];%用素多項式x^3+x+1生成GF(8)gf8_elements=[-inf0123456]';%生成GF(8)中的元素（冪形式的指數）[polyformat,expformat]=gftuple(gf8_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);disp('GF(8)中的元素（冪形式中的指數）：');disp(expformat);disp('GF(8)中的元素（向量形式）：');disp(polyformat);disp('GF(8)中的元素（整數形式）：');disp(integerformat);程序運行結果如下圖：

p=2;%有限域GF(2)g2=[11111];%多項式x^4+x^3+x^2+x+1x1=[01];%x^1[quot1,remd1]=gfdeconv(x1,g2,p);x2=[001];%x^2[quot2,remd2]=gfdeconv(x2,g2,p);x3=[0001];%x^3[quot3,remd3]=gfdeconv(x3,g2,p);x4=[00001];%x^4[quot4,remd4]=gfdeconv(x4,g2,p);x5=[000001];%x^5[quot5,remd5]=gfdeconv(x5,g2,p);disp('元素X^1的多項式形式為：’);disp(remd1);disp('元素X^2的多項式形式為：’);disp(remd2);disp('元素X^3的多項式形式為：’);disp(remd3);disp('元素X^4的多項式形式為：’);disp(remd4);disp('元素X^5的多項式形式為：’);disp(remd5);程序運行結果如下圖：【例6-16】考慮例6-5中最小多項式的仿真問題。用于產生共軛類的最小多項式的代碼如下。m=4;%GF(2^m)=GF(16)prim_poly=[11001];%GF(16)的生成多項式gf_elements=[1248]';%生成冪形式的元素alpha^{1,2,4,8}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alphabpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^2cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^4dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^8epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly=conv(epoly,fpoly);disp('元素alpha的最小多項式為：’);disp(min_poly.x);【例6-17】考慮例6-7中生成多項式的仿真問題。采用上題生成最小多項式的方法，可以得到產生該BCH碼生成多項式的代碼如下：m=4;%GF(p^m)=GF(16)prim_poly=[11001];%GF(16)的生成多項式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[1248]';%生成冪形式的元素alpha^{1,2,4,8}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alphabpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^2cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^4dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^8epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly_alpha=conv(epoly,fpoly);%元素alpha的最小多項式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[36129]';%生成冪形式的元素alpha^{3,6,12,9}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^3bpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^6cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^12dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^9epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly_beta=conv(epoly,fpoly);%元素alpha^3的最小多項式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[510]';%生成冪形式的元素alpha^{5,10}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^5bpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^10min_poly_gamma=conv(apoly,bpoly);%元素alpha^5的最小多項式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[7141311]';%生成冪形式的元素alpha^{7,14,13,11}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^7bpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^14cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^13dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^11epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly_delta=conv(epoly,fpoly);%元素alpha^7的最小多項式%-----------------------------------------------------------------------a_x=conv(min_poly_alpha,min_poly_beta);b_x=conv(min_poly_gamma,min_poly_delta);g_x=conv(a_x,b_x);%生成多項式disp('生成多項式的系數為：');disp(g_x.x);程序運行結果如下圖：【例6-18】考慮例6-9中BCH碼譯碼問題的MATLAB仿真，代碼如下：n=15;%碼字向量長度k=7;%消息向量長度[genpoly,t]=bchgenpoly(n,k);%genpoly是生成多項式，t是可糾正錯誤個數y=gf([000000000001001]);%接收向量X^3+1[decoded,cnumerr,ccode]=bchdec(y,n,k);%譯碼disp('糾錯后的消息向量：');disp(decoded.x);disp('錯誤個數：');disp(cnumerr);disp('糾錯后的碼字向量：');disp(ccode.x);程序運行結果如下圖：【例6-19】考慮例6-10中RS碼生成多項式的仿真問題。生成該碼生成多項式的代碼如下：m=4;%GF(p^m)=GF(16)prim_poly=[11001];%GF(16)的生成多項式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[123456]';%生成冪形式的元素alpha^{1,2,3,4,5,6}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);poly1=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^1poly2=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^2poly3=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^3poly4=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^4poly5=gf([integerformat(5)1],m);%x+alpha^5poly6=gf([integerformat(6)1],m);%x+alpha^6apoly=conv(poly1,poly2);bpoly=conv(poly3,poly4);cpoly=conv(poly5,poly6);dpoly=conv(apoly,bpoly);g_x_dec=conv(dpoly,cpoly);g_x_poly=double(de2bi(g_x_dec.x));[polyformat,g_x_exp]=gftuple(g_x_poly,prim_poly);disp('生成多項式的系數（冪形式的指數，升冪排列）為：');disp(g_x_exp');程序運行結果如下圖：【例6-20】考慮例6-11中RS碼生成多項式和碼字多項式的仿真問題，代碼如下：m=3;%GF(2^m)=GF(8)prim_poly=[1101];%GF(8)的生成多項式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[1234]';%生成冪形式的元素alpha^{1,2,3,4}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);poly1=gf([1integerformat(1)],m);%x+alpha^1poly2=gf([1integerformat(2)],m);%x+alpha^2poly3=gf([1integerformat(3)],m);%x+alpha^3poly4=gf([1integerformat(4)],m);%x+alpha^4apoly=conv(poly1,poly2);bpoly=conv(poly3,poly4);g_x_dec=conv(apoly,bpoly);%生成多項式的系數（整數形式）g_x_poly=double(de2bi(g_x_dec.x));[polyformat,g_x_exp]=gftuple(g_x_poly,prim_poly);disp('生成多項式（降冪排列）的系數（冪形式的指數）為：');disp(g_x_exp');%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[531-inf-inf-inf-inf]';%移位消息多項式的系數（冪形式）[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);m_x=bi2de(polyformat)';%移位消息多項式的系數（整數形式）[quot,p_x]=deconv(m_x,g_x_dec);%除以生成多項式c_x=[m_x(1:3)p_x(4:7)];%碼字多項式的系數（整數形式）c_x_polyformat=double(de2bi(c_x.x,3));[polyformat,c_x_expformat]=gftuple(c_x_polyformat,prim_poly);disp('碼字多項式（降冪排列）的系數（冪形式的指數）為：');disp(c_x_expformat');程序運行結果如下圖：【例6-21】考慮例6-12中RS碼譯碼過程中伴隨式的仿真問題，代碼如下：p=2;m=3;%GF(p^m)=GF(8)g=[1101];%GF(8)生成多項式r_x_expformat=[5,-Inf,1,6,4,2,0]’;%接收多項式（降冪排列）的冪形式系數[r_x_polyformat,expformat]=gftuple(r_x_expformat,m,p);r_x_integerformat=gf(bi2de(r_x_polyformat)',m);%接收多項式（降冪排列）的整數形式系數X_expformat=[6,5,4,3,2,1,0]';%X^{6,5,4,3,2,1,0}[X_polyformat,X_expformat]=gftuple(X_expformat,m,p);X_integerformat=gf(bi2de(X_polyformat),m);s1_integerformat=r_x_integerformat*X_integerformat;s1_polyformat=double(de2bi(s1_integerformat.x));[s1_polyformat,s1_expformat]=gftuple(s1_polyformat,m,p);disp('伴隨式s1為：');disp(s1_expformat);%伴隨式s1（冪形式的指數）只需要將變量X_expformat的值依次換為[12,10,8,6,4,2,0]'、[18,15,12,9,6,3,0]'、[24,20,16,12,8,4