2022-2023學(xué)年福建省寧德市長溪中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.由確定的等差數(shù)列，當時，序號等于（

）A.99

B.100

C.96

D.101參考答案：B略2.已知數(shù)列{an},，其中，則等于

()A.1

B.2

C. D.3參考答案：A略3.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝60°，b＝10，則結(jié)合a的值解三角形有兩解的為(

)A.a＝8 B.a＝9 C.a＝10 D.a＝11參考答案：B【分析】根據(jù)正弦定理得到，分情況討論，得到正確的結(jié)果.【詳解】由正弦定理知，由題意知，若，則，只有一解；若，則A＞B，只有一解；從而要使的值解三角形有兩解，則必有，且，即，解得，即，因此只有B選項符合條件，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)三角形的解的個數(shù)選擇邊長的可取值的問題，涉及到的知識點有正弦定理，屬于簡單題目.4.已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），則g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+7參考答案：B【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】先根據(jù)f（x）的解析式求出g（x+2）的解析式，再用x代替g（x+2）中的x+2，即可得到g（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3=2（x+2）﹣1，∴g（x）=2x+3=2x﹣1故選B5.函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值是（

）

參考答案：D解法一:令,則,而所以,故答案選D.解法二:設(shè),則,又圖可知:,∴,∴∴,故選D.6.已知過點A（-2，）和B（

，4）的直線與直線2x+y-1=0平行，則的值為（）A．B．

C．

D．參考答案：A略7.已知，并且是方程的兩根，實數(shù)的大小關(guān)系可能是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C方程化為一般形式得：，∵是方程的兩根，∴，，，，，又二次函數(shù)圖象開口向上，所以實數(shù)的大小關(guān)系可能是，故選C.

8.直線在y軸上的截距是（

）A.－3 B.3 C. D.參考答案：C【分析】求直線與y軸的交點即可得出結(jié)果.【詳解】直線方程為令，得所以直線在y軸上的截距是.故選C.【點睛】本題考查直線的的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9.在ΔABC中，點M是ＡＢ的中點，Ｎ點分ＡＣ的比為ＡＮ：ＮＣ＝１:２ＢＮ與ＣＭ相交于Ｅ，設(shè)，則向量（

）A．B．C．D．參考答案：C10.（5分）在△ABC中，D在BC上，=2，設(shè)=，=，則=（） A． + B． + C． + D． ﹣參考答案：B考點： 向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾何意義．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的加法與減法的幾何意義，求出向量即可．解答： 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示；在△ABC中，=2，=，=，∴=﹣=﹣，∴=﹣=﹣（﹣）；∴=+=﹣（﹣）=+．故選：B．點評： 本題考查了平面向量加法與減法的幾何意義的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的對應(yīng)邊，則①若a＞b，則f（x）=（sinA﹣sinB）?x在R上是增函數(shù)；②若a2﹣b2=（acosB+bcosA）2，則△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值為；④若cos2A=cos2B，則A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，則，其中錯誤命題的序號是．參考答案：③⑤【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①由正弦定理，可知命題正確；②由余弦定理可得acosB+bcosA==c，可得a2=b2+c2；③由三角函數(shù)的公式可得，由的范圍可得∈（1，]；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π﹣2B，A=π﹣B，A+B=π（舍）；⑤展開變形可得，即tan（A+B）=1，進而可得【解答】解：①由正弦定理，a＞b等價于sinA＞sinB，∴sinA﹣sinB＞0，∴f（x）=（sinA﹣sinB）x在R上是增函數(shù)，故正確；②由余弦定理可得acosB+bcosA==c，故可得a2﹣b2=c2，即a2=b2+c2，故△ABC是Rt△，故正確；③由三角函數(shù)的公式可得，∵0＜c＜π，∴＜c＜，∴∈（﹣，1]，∴∈（﹣1，]，故取不到最小值為，故錯誤；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π﹣2B，A=π﹣B，A+B=π（舍），∴A=B，故正確；⑤展開可得1+tanA+tanB+tanA?tanB=2，1﹣tanA?tanB=tanA+tanB，∴，即tan（A+B）=1，∴，故錯誤；∴錯誤命題是③⑤．故答案為③⑤12.關(guān)于函數(shù)有下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；②在區(qū)間(－∞,0)上，函數(shù)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最小值為lg2；④在區(qū)間(1,+∞)上，函數(shù)f(x)是增函數(shù)．其中正確命題序號為_______________．參考答案：①③④13.若變量x，y滿足約束條件，則的最大值為___________.參考答案：2【分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，平移動直線可得的最大值.【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：平移動直線至?xí)r，有最大值，又得，故，故填.【點睛】二元一次不等式組條件下的二元函數(shù)的最值問題，常通過線性規(guī)劃來求最值，求最值時往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比如表示動直線的橫截距的三倍，而則表示動點與的連線的斜率．14.如圖，長為4米的直竹竿AB兩端分別在水平地面和墻上（地面與墻面垂直），T為AB中點，，當竹竿滑動到A1B1位置時，，竹竿在滑動時中點T也沿著某種軌跡運動到T1點，則T運動的路程是_________米.參考答案：15.將參加數(shù)學(xué)競賽的1000名學(xué)生編號如下：0001，0002，0003，…，1000，打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個部分，如果第一部分編號為0001，0002，0003，…，0020，第一部分隨機抽取一個號碼為0015，則抽取的第10個號碼為____________.參考答案：019516.“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有實數(shù)解”的________條件．參考答案：充分不必要解析：若一元二次方程x2－x＋a＝0有實數(shù)解，則Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有實數(shù)解”的充分不必要條件．17.若函數(shù)既是冪函數(shù)又是反比例函數(shù),則這個函數(shù)是=

。參考答案：

解析：設(shè)則

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在D內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間，使在區(qū)間上的值域也為，則稱為D上的“和諧”函數(shù)，為函數(shù)的“和諧”區(qū)間。（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)符合條件的“和諧”區(qū)間；(Ⅱ)判斷函數(shù)是否為“和諧”函數(shù)？并說明理由。（Ⅲ）若函數(shù)是“和諧”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）因為是單調(diào)遞增函數(shù),所以有,即或或.…………4分(Ⅱ)函數(shù)在上不單調(diào),不是“和諧”函數(shù)…………8分（Ⅲ）若是“和諧”函數(shù).設(shè),則,所以是單調(diào)遞增函數(shù).…………10分若它是“和諧”函數(shù),則必具備方程有兩個不相同的實數(shù)解,即方程有兩個不同的實數(shù)解且同時大于或等于和m.若令,則.…………15分另解:方程有兩個不相同的實數(shù)解,等價于兩函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點,如圖當直線過時,;直線與拋物線相切時,∴.…………15分19.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為AD，AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結(jié)BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能證明直線EF∥平面CB1D1．（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，從而CC1⊥B1D1，由此能證明B1D1⊥平面CAA1C1，從而能證明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【解答】（1）證明：連結(jié)BD，在△ABD中，E、F分別為棱AD、AB的中點，故EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…又B1D1?平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，所以直線EF∥平面CB1D1．…（2）證明：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，則A1C1⊥B1D1…又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，則CC1⊥B1D1，…又A1C1∩CC1=C1，A1C1?平面CAA1C1，CC1?平面CAA1C1，所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1?平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…20.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且．（1）求實數(shù)a與b的值；（2）若函數(shù)，數(shù)列{an}為正項數(shù)列，，且當，時，，設(shè)（），記數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為，且對有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，再由，得;（2），將原式化簡得到，進而得到，數(shù)列的前項和，，原恒成立問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，對n分奇偶得到最值即可.【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，，得，又，得。（2）由（1）知，得，又，化簡得到：，又，所以，又，故，則數(shù)列的前項和；又，則數(shù)列的前項和為，對恒成立對恒成立對恒成立，令，則當為奇數(shù)時，原不等式對恒成立對恒成立，又函數(shù)在上單增，故有；當為偶數(shù)時，原不等式對恒成立對恒成立，又函數(shù)在上單增，故有。綜上得。【點睛】這個題目考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列前n項和的求法，還涉及不等式恒成立的問題，屬于綜合性較強的題目，數(shù)列中最值的求解方法如下：1．鄰項比較法，求數(shù)列的最大值，可通過解不等式組求得的取值范圍；求數(shù)列的最小值，可通過解不等式組求得的取值范圍；2．數(shù)形結(jié)合，數(shù)列是一特殊的函數(shù)，分析通項公式對應(yīng)函數(shù)的特點，借助函數(shù)的圖像即可求解；3．單調(diào)性法，數(shù)列作為特殊的函數(shù)，可通過函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，必須注意的是數(shù)列對應(yīng)的是孤立的點，這與連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性有所不同；也可以通過差值的正負確定數(shù)列的單調(diào)性．21.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為4m2，問x，y分別為多少時用料最省？并求最省用料．參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】通過設(shè)面積為S，利用S=xy+=4可知y=﹣，進而化簡可知c=x+，利用基本不等式計算即得結(jié)論．【解答】解：設(shè)面積為S，則S=xy+=4，y=﹣，∴c=2x+2y+x=（2+）x+2（﹣）=x+≥2=4+4，當且僅當x=即x=4﹣4、y=2時取等號，于是當x=（4﹣4）米、y=2米時用料最省，為（4+4）米．22.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）判斷當時，函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明之；（2）求的值域；（3）設(shè)函數(shù),，若對于任意,總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：(1)函數(shù)在上是增函數(shù).任取，則，，

在[－2,－1)為增函數(shù).